第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（八大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（八大题型） 学习目标 1、 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2、 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3、了解“换元法”一元二次方程。 一、情境导入，初步认识 1.根据完全平方公式填空： （1）x2＋6x＋9＝( )2 （2）x2-8x＋16＝( )2 （3）x2＋10x＋( )2＝( )2 （4）x2-3x＋( )2＝( )2 2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 【方法规律】一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 2x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【方法规律】对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. 直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 【即学即练1】方程的根是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】方程的根是（    ） A．， B．， C． D． 【即学即练3】方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【即学即练4】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【即学即练5】解方程： (1) (2) (3) (4) 【即学即练6】方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 题型1：直接开平方法解一元二次方程 【典例1】．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】．若，则是（    ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 【典例3】．方程x2- =0的根为 ． 【典例4】．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【典例5】．若方程的两个根分别是与，则 ． 【典例6】．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 【典例7】．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【典例8】．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例9】．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【典例10】．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【典例11】．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 【典例12】．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【典例13】．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【典例14】．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 题型3：直接开平方法解一元二次方程—复合型 【典例15】．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 【典例16】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【典例17】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【典例18】．解方程： （1）；（2）． 题型4：一元二次方程的根的概念理解 【典例19】．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 题型5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式 【典例20】．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 【典例21】．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 题型6：直接开平方法解一元二次方程-降次 【典例22】．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型7：直接开平方法解一元二次方程-换元法 【典例23】．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【典例24】．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【典例25】．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 题型8：直接开平方法解一元二次方程-新定义题 【典例26】．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【典例27】．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【典例28】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（    ） A．方程的根为， B．方程的根为 C．方程的根为， D．方程的根为， 5．用直接开平方法解方程，得方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 6．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若则等于（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 8．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 9．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 10．对于不相等的两实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；．若，则（    ） A．3 B． C． D．3或 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．方程的根是 ． 13．方程的根是 ． 14．方程x2- =0的根为 ． 15．方程是关于的一元二次方程，则 ． 16．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝ ． 17．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)． （1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ； （2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ． 18．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为 ． 三、解答题 19．解下列方程：． 20．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 21．用开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．解方程：． 23．解下列关于x或y的方程．        24．先化简，再求值：(m+1)(m﹣1)﹣(2m+1)2+3m(m+2)，其中m2﹣1＝0． 25．计算 (1)化简： (2)小华在解方程时，解答过程如下： 解：移项，得 第一步 两边开平方，得 第二步 所以 第三步 “小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程． 26．阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解． 将方程整理，得.        ……………………第1步 变形得.    ……………………第2步 得.                ……………………第3步 于是得，即.……第4步 当时，得.……………………第5步 得，.………………第6步 当时，该方程无实数解. ……………………………第7步 学习任务： （1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________． （2）请用材料中提供的方法，解下列方程： ①；                        ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（八大题型） 学习目标 1、 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2、 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3、了解“换元法”一元二次方程。 一、情境导入，初步认识 1.根据完全平方公式填空： （1）x2＋6x＋9＝( )2 （2）x2-8x＋16＝( )2 （3）x2＋10x＋( )2＝( )2 （4）x2-3x＋( )2＝( )2 2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 【方法规律】一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 2x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【方法规律】对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. 直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 【即学即练1】方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，运用直接开平方法求解即可． 【解析】解： ∴， ∴， 故选：C 【即学即练2】方程的根是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解方程，利用直接开方法进行求解即可． 【解析】解：由，得， 两边开平方，得， ∴，． 【即学即练3】方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 用直接开平方求解即可． 【解析】解：两边直接开平方，得， 所以或， 所以，， 故选：C． 【即学即练4】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【解析】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 【即学即练5】解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程． （1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【解析】（1）解：， ， ， ∴； （2）， ， 或， ∴； （3）， ， 或， 或， 即：； （4）， ， ， ， 即． 【即学即练6】方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 【答案】C 【分析】利用直接开方法求解即可． 【解析】解：， 开方得：， 即或， 解得：，. 故选C． 【点睛】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 题型1：直接开平方法解一元二次方程 【典例1】．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： 故选：C． 【典例2】．若，则是（    ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 【答案】C 【分析】先计算，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 【解析】 故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键． 【典例3】．方程x2- =0的根为 ． 【答案】x=± 【分析】根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： x2- =0， ∴x2=8， ∴x=． 故答案为：x=． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤． 【典例4】．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴该方程无实数解． 故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 【典例5】．若方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 【典例6】．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【解析】（1）， ， ， ， 即； （2）， ， 或， 或， 即； （3）， ， 或， 或， 即； （4）， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 【典例7】．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【答案】D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可． 【解析】解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝， 所以3x+1＝±， 解得x＝﹣或x＝﹣， 由﹣2＝0得y3＝， 所以y＝， 所以x＝﹣或﹣，y＝． 故选：D． 【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键． 【典例8】．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【解析】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例9】．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【解析】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 【典例10】．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 【典例11】．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果． 【解析】①x2-2x=0，因式分解法； ②9x2-25=0，直接开平方法； ③(2x-1)2=1，直接开平方法； ④，直接开平方法， 则能用直接开平方法做的是②③④. 故选:C. 【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 【典例12】．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【答案】A 【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可. 【解析】∵(x-1)0有意义， ∴x-1≠0，即x≠1， ∵x2=（x﹣1）0 ∴x2=1，即x=±1 ∴x=-1. 故选A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂. 【典例13】．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围． 【解析】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 【典例14】．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【解析】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 题型3：直接开平方法解一元二次方程—复合型 【典例15】．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 【答案】A 【分析】可运用因式分解法来解这两个方程.因为方程两边都是平方的形式，可以移项，用平方差公式分解，用公式ab=0则b=0求值. 【解析】解：(x－2)2 (2x+3)2=0 (x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0 x-2+2x+3=0或x-2-2x-3=0 即x1=,x2=5. 故答案为A. 【点睛】应用因式分解法中的提公因式法是关键是找到公因式，此题渗透了数学中的整体思想． 【典例16】．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【答案】C 【分析】根据方程表示x+1与2（x-2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解． 【解析】解：原方程可化为：(x+1)2=[2(x-2)]2， x+1=±2(x-2)，即x+1=2x-4或x+1=-2x+4， 解得x1=5，x2=1； 所以选C 【点睛】解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程． 【典例17】．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 【典例18】．解方程： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【解析】解：（1）， 整理，得． ∴， 即； （2）， ， ∴或， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 题型4：一元二次方程的根的概念理解 【典例19】．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解. 【解析】， ， ∴； ， ， ∴，； ∴两个方程有一个相等的根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 题型5：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式 【典例20】．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 【答案】A 【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得． 【解析】∵b>0， ∴两边直接开平方,得：x+a=±， ∴x=±-a， 故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则 【典例21】．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 题型6：直接开平方法解一元二次方程-降次 【典例22】．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵ ∴=24， ∴x=±2， ∴方程的根是x=±2. 故选B. 【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次． 题型7：直接开平方法解一元二次方程-换元法 【典例23】．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【解析】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 【典例24】．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【解析】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【典例25】．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【解析】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 题型8：直接开平方法解一元二次方程-新定义题 【典例26】．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 【典例27】．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【解析】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 【典例28】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】D 【分析】根据题意找出规律，每四项为一个循环，进行计算即可． 【解析】∵i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1， ， ∴原式=（i-1-i+1）×504+i=0+i=i； 故选：D． 【点睛】此题运用直接开平方法解一元二次方程，弄清题中的新定义并找出规律是解本题的关键． 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程． 【解析】解： 两边同时除以2，得： 直接开方得： ，； 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． 2．方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法可得，再求解即可．解题的关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得． 【解析】解：∵， ∴， 即或， ∴，． 故选：A． 3．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【解析】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 4．下列说法不正确的是（    ） A．方程的根为， B．方程的根为 C．方程的根为， D．方程的根为， 【答案】C 【解析】略 5．用直接开平方法解方程，得方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】略 6．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解一元二次方程－直接开平方法，进行计算即可解答． 【解析】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程－直接开平方法是解题的关键． 7．若则等于（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】采用换元法另，然后根据直接开平方法求解即可，注意非负数的性质舍去不合题意的答案． 【解析】解：另，则， ， 或， 解得：或， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的性质舍去不合题意的答案． 8．已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可． 【解析】解：解方程，得． 当腰长为4，底边长为2时，其周长为； 当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 9．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查解一元二次方程，运算程序与方程计算，正确掌握一元二次方程的解法及理解运算程序图是解题的关键． 【解析】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 10．对于不相等的两实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如；．若，则（    ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，正确理解题目所给新定义，根据新定义进行分类讨论是解题的关键． 【解析】解：①当时， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ②当时， 解得：， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上：或， 故选：D． 二、填空题 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的常见解法：“直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法”； 运用直接开平方法解答即可； 【解析】解：， ， 故答案为：． 12．方程的根是 ． 【答案】 【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程． 【解析】解：由原方程，得． 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 13．方程的根是 ． 【答案】 【分析】先移项，然后化系数为1，最后通过直接开平方求得x的值． 【解析】由原方程得 ， ， 则， 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 14．方程x2- =0的根为 ． 【答案】x=± 【分析】根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： x2- =0， ∴x2=8， ∴x=． 故答案为：x=． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤． 15．方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值． 【解析】解：方程是关于的一元二次方程， ，且， 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 16．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝ ． 【答案】 【分析】设，将方程变形，开方求出a的值，即可确定出所求． 【解析】解：设，则， 方程变形得：， 开方得：或， 解得： 或（舍去）， ∴； 故答案为：6． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程， 熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键． 17．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)． （1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是 ； （2）关于x的方程a(x+3k) +2022=0的根为 ． 【答案】 ， ，， 【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一元一次方程即可； （2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再将a和k的值代入a(x+3k) +2022=0，解一元二次方程即可． 【解析】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作关于的一元二次方程， 而关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1， ∴或， ∴，， 故答案为：，； （2）将x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0， 得：， 解得：，， 代入a(x+3k) +2022=0得， 即， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握换元法、直接开方法解一元二次方程的方法步骤并正确计算是解题的关键． 18．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据，，化简各式即可求解． 【解析】解：依题意有， ∵2022÷4＝505…2， ∴= ∴＝−1−i＋1＋i＋…＋1＋i−1 ＝−1． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键． 三、解答题 19．解下列方程：． 【答案】 【分析】直接将方程开方求解即可． 【解析】解：方程开方得：或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 20．用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）移项，得，根据平方根的定义，得．即，． （2）根据平方根的定义，得，即，． 【解析】解：（1） ∴ ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 21．用开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程； （2）利用直接开平方法解一元二次方程； （3）利用直接开平方法解一元二次方程； （4）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解：， ， 即； （2）解：， 即， ∴， 即； （3）解：， 即， ∴， 即； （4）解：， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 22．解方程：． 【答案】 【分析】先开平方，再分情况求解． 【解析】解：两边开平方，得 ． ①当时，． ②当时，． 综上所述，原方程的解是：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，两边开方后先将一边加上绝对值，再分情况讨论． 23．解下列关于x或y的方程．        【答案】(1) ; (2)当b=0时，方程没有实数根；当b≠0时，; (3); (4) 当b<0时，方程没有实数根；当b>0时，. 【分析】（1）把a看作已知数，按照移项合并同类项、系数化为1即可求得; （2）把b看作已知数，按照去括号、移项、系数化为1即可求得.注意对b值的范围进行分类讨论； （3）把a看作已知数，按照合并同类项、系数化为1，再开方即可求得； （4）把b看作已知数，按照移项合并同类项、系数化为1，再开方即可求得.注意对b值的范围进行分类讨论； 【解析】解：（1）合并同类项得   系数化为1得 （2）去括号得 移项得 当b=0时，方程没有实数根； 当b≠0时，系数化为1得. （3）合并同类项得    系数化为1得 ∴方程的根是 (4)移项合并同类项得 ∵b≠0 ∴系数化为1得 当b<0时，方程没有实数根； 当b>0时， 【点睛】本题考查了含字母系数的整式方程的解法.方法是把字母系数看作常数，按照数字系数的方程的解法步骤去解即可，但要注意对字母的范围进行分类讨论，这点很容易忽视. 24．先化简，再求值：(m+1)(m﹣1)﹣(2m+1)2+3m(m+2)，其中m2﹣1＝0． 【答案】2m﹣2，0或﹣4 【分析】根据乘法公式和整式的乘法对式子进行化简，然后代入求值即可． 【解析】解：原式＝m2﹣1﹣（4m2+4m+1）+3m2+6m ＝m2﹣1﹣4m2﹣4m﹣1+3m2+6m ＝2m﹣2， ∵m2﹣1＝0， ∴m＝±1， 当m＝1时，原式＝2﹣2＝0， 当m＝﹣1时，原式＝﹣2﹣2＝﹣4， 综上所述：原式的值为0或﹣4． 【点睛】本题考查整式的化简求值，准确掌握乘法公式是解题的关键，计算中注意符号问题． 25．计算 (1)化简： (2)小华在解方程时，解答过程如下： 解：移项，得 第一步 两边开平方，得 第二步 所以 第三步 “小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)-1； (2)二 ；正确的解答过程，见解析 【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可； （2）根据直接开平方法求解即可． 【解析】（1）解： =-1； （2）解：第二步开始出现错误； 正确解答过程： 移项，得（x+6）2=9， 两边开平方，得x+6=3或x+6=-3， 解得x1=-3，x2=-9， 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 26．阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解． 将方程整理，得.        ……………………第1步 变形得.    ……………………第2步 得.                ……………………第3步 于是得，即.……第4步 当时，得.……………………第5步 得，.………………第6步 当时，该方程无实数解. ……………………………第7步 学习任务： （1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________． （2）请用材料中提供的方法，解下列方程： ①；                        ②． 【答案】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想；（2）①x1=-1；x2=-9；②，． 【分析】（1）直接根据平方差公式和转化的数学思想即可解答； （2）直接根据题意中的求解方法求解即可． 【解析】（1）平方差公式[或（a+b）（a-b）=a²-b²）]；转化思想 （2）①整理，得 变形，得， 得 得 得 得x1=-1 ，x2=-9 ②移项，二次项系数化为1，得 整理，得 变形，得 得 得 得 解得， 【点睛】此题主要考查阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意中的解题方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$