第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型） 题型1：相似三角形解答证明题 1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长． 2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用 3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 4．综合与实践 已知：矩形，是边上一点．    【基本图形】 （1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：； 【扩展延伸】 （3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积． 题型3：翻折问题 5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点． (1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由； (2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点． ①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值； ②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积． 6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线交于点G，连接． (1)当时，求的长． 小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长与的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长． 请用小星的方法或自己的方法求的长； (2)当G是的中点时，求的长； (3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线交于点F，若，求的长． 7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 题型4：旋转问题 8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； (2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论； 拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值． 10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数； (2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积； (3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值． 题型5：最值问题 11．如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F． (1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长； (2)如图②，当D是的中点时，求证：； (3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值． 题型6：比值问题 14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，． (1)图1中，求证：； (2)当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由； ②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值． 15．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 题型7：“手拉手”模型 16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：； (3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值． 17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，，得到图3，请解答下列问题： (1)若，请探究下列数量关系： ①在图2中，与的数量关系是 ； ②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想； (2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明． 题型8：定值问题 18．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 题型9：情景探究题 19．[问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用] （3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展] （4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用 20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值． 21．综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)当平分时，＝________°； (2)若，求的长； (3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型） 题型1：相似三角形解答证明题 1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点作于点，证，得，即，由得，从而可得； （2）过点作于点，证，得，从而即可得解； （3）过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，使得，由()得，，证，，得，，从而，，设，则，证，得即，于是有，再利用勾股定理构造方程得，解得，从而利用勾股定理即可得解． 【解析】（1）解：如图1，过点作于点，    ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点作于点，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，连接，使得，    由()得，， ∵， ∴，，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得(舍去)或， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断； （2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【解析】（1）解：； 理由如下：设与交于O， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：， 证明：过点B作交于点M， ∵， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得，，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题． 题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用 3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接． (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【解析】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．综合与实践 已知：矩形，是边上一点．    【基本图形】 （1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：； 【扩展延伸】 （3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】（1）由四边形是矩形得，从而得到，，进而得到，，由就可得到结论； （2）延长、交于点，如图，由三角形相似可证到，再由可得，再由垂直平分线的性质可得到，结合就可得． （3）延长、交于点，如图，由（2）得，进而证到，再由可证到，进而得到．根据就可求出的面积． 【解析】解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴，． ∵， ∴． （2）证明：延长、交于点，如图，    ∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，即． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． （3）延长、交于点，如图，    同理可得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ ． ∴的面积为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识．本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度．而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联想到构造等腰三角形是解决第二小题的关键． 题型3：翻折问题 5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点． (1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由； (2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点． ①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值； ②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②△是等腰三角形，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（）①利用证明即可；②由全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半得，即可求解； （）①由对称可得，，由菱形的面积可得，进而由勾股定理得，得到，，即得，再由，，，可得，，，由可得，即得，设，则，则，可得，进而得，得到，即得，据此即可求解；②如图，过点作于，由，可得，由折叠的性质得，，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由菱形的面积可得，即得，由勾股定理得，再证明，得到，即可得，得到，同理由可得，再根据即可求解． 【解析】（1）①证明：∵为中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：①∵点与点关于对称， ∴，， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， 设，则，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为； ②如图，过点作于， ∵，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线交于点G，连接． (1)当时，求的长． 小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长与的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长． 请用小星的方法或自己的方法求的长； (2)当G是的中点时，求的长； (3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）延长与的延长线相交于点H，可证，，在中根据勾股定理即可求出的长． （2）延长与的延长线相交于点H，设，则，证明，得，求出， ，在中根据勾股定理，，求出x即可； （3）分两种情况：当点F在线段上时，当点F在延长线上时，根据等边三角形及相似三角形解决问题 【解析】（1）解：延长与的延长线相交于点H， 由翻折得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，， ∴ 解得或（舍去）； （2）延长与的延长线相交于点H， 设，则 ∵G是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ 解得或（舍去） 即； （3）当点F在线段上时， 设，，则，， ∵是等边三角形， ∴，， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当点F在延长线上时， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 解得或（舍）． 综上，的长为或或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，是综合性较强的一题，综合掌握各种图形的性质，正确引出辅助线分类讨论是解题的关键． 7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可； （2）连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，从而得；设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果； （3）分两种情况考虑：①时；②时，分别利用勾股定理建立方程求解． 【解析】（1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ； 由折叠知，， 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）由于四边形是菱形， 则； ①如图，当时； 延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R； 设，则； ， ， ， 则； 由折叠知：，， 平分， ； ，， 上两式相比并化简得：， 即，故有：； ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ； ②当时， 如图，延长交延长线于点，过点作于， 则； 设，则； ， ， ， ； 由折叠性质得：，； 与前一情况同理，得：， 即， ； ， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定与性质是关键． 题型4：旋转问题 8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； (2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①利用定理证明； ②根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论； （2）①证明，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可； ②根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】（1）证明：①， ，即， 在和中， ， ； ②， ， ， ，即； （2）①证明：在和中， ， ， ， ， ； ②解：在中，，，， ∴ ， 在中，，，， ， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由（1）②可知，， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论； 拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：等边三角形，理由见解析；拓展创新：6 【分析】问题背景：由得，利用即可证明全等； 尝试应用：取中点P，连接，则是等边三角形，得；由三角形中位线定理得，，则，从而可得，从而可证明，则可得，，问题即可证明； 拓展创新：过C作，垂足为C，且，连接，可得，从而；.取的中点G，连接，则，由可得，即的最大值为6． 【解析】问题背景：证明：， ， 即， ， ； 尝试应用：解：等边三角形；证明如下： 取中点P，连接，如图， ，， ，，， 是等边三角形， ； ， ； 为的中点，中点为P， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 拓展创新：解：如图，过C作，垂足为C，且，连接， 则； 由旋转知，， ； ， ； ， ， ， ； 取的中点G，连接，则； 点是的中点， ， 由勾股定理得：， ， 即， 的最大值为6． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，构造辅助线证明三角形全等与相似是本题的关键． 10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数； (2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积； (3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)线段长度的最大值为与最小值为． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数； （2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形的性质可得答案； （3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值． 【解析】（1）解：由旋转的性质可得：，， ∴， ∴． （2）解：由旋转的性质可得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，而，， ∴， ∵的面积为2， ∴． （3）解：过点B作，D为垂足， ∵为锐角三角形， ∴点D在线段上， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∵点E为线段中点， ∴； ①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，，此时最小，且最小值为： ； ②如图，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：． 综上分析可知，线段长度的最大值为与最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系． 题型5：最值问题 11．如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，则，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，作交于点Q，再证明，可得，即可求证； （3）取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．证明，可得，设，则，设，则，根据， ∴，可得，再由勾股定理可得，然后根据点M为的中点，，可得，从而得到，进而得到 ，即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点D作于点K，则， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称的性质得：，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 设，则， 同理， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当点A，H，M三点共线时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x． (1)如图1，连接， ①求的度数； ②求证：． (2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围． (3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值． ②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）①由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得，则得； ②由题意易得，从而得，即有，则可证明平行； （2）过P作．易得四边形是矩形，则，；由得，由折叠性质得；在中由勾股定理求得；在中，由勾股定理求得的长，从而确定x的范围； （3）①当点落在的延长线上时，则，过B作于G，交于H．由，得，求得，从而求得x的值； ②分当P在上与当P在上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【解析】（1）解：①， ． ， ， ． ②证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：当A'落在上时，过P作． 则， ， 四边形是矩形， ，． ， ， 由翻折得， ， ， ， ， ， ， ， 故点A'落到四边形内部时，． （3）①解：当点落在的延长线上时，则， 过B作于G，交于H． 则四边形是矩形，四边形为矩形， ，， ， ， 即， ， ． ②当P在上时，过M作于H，过M作于G． 由垂线段最短，知M、、H共线时，最短． 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， ， ， ． 当P在上时，由于点到点B的距离是定值8， 故离BD的距离越短越好， 故P与B重合时，最短，则就最小． 过M作，交延长线于Q，交于G，过作． 则得四边形、都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 由上一问知， ， ， ， ， ， 最小， ． ， ． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知识点，涉及的知识较多，综合性较强，注意分类讨论． 13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F． (1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长； (2)如图②，当D是的中点时，求证：； (3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，继而可得，则，根据即可得证； （2）过点D作于点N，作于点M，证明，得到，进而得证； （3）根据对称的性质和已知可得出，当最短时，点，，三点共线，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，，根据平行线成比例，可得，设，则，在中，，证明，继而得到，设，则，，由（1）可得，设，在中，，可推出 ， ，证明，表示出，再根据勾股定理求出，代入化简即可． 【解析】（1）解：如图①，过点D作于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ． （2）证明：如图②，过点D作于点N，作于点M． 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：． 依题意，将沿着翻折，得到， ，点在以C为圆心、的长为半径的圆上运动， ∴点M是上一点，当最短时，点，，三点共线， 此时如图③所示，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则，在中，， ， ， ， ， 设，则， ， 由（1）可得，设， 在中，， ，即， 在中，，则， 又， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 【点睛】本题是折叠变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，本题难度大，通过作适当的辅助线并综合运用以上知识是解题的关键． 题型6：比值问题 14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，． (1)图1中，求证：； (2)当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由； ②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)①仍然成立，见解析；② 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可． （2）①证明，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． ②由，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题． 【解析】（1）解：如图1，在中，，点、分别在边、上， ， ， 即， 点、、分别为、、的中点， ，， ， （2）解：①仍然成立， 如图2，连接，， 由题意知，，， ， ， 点、、分别为、、的中点， ，分别是和的中位线， ，， ； ②如图2中，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，同法可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 15．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3）先求解，作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【解析】证明：（1）在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）如图2，作于点N，如图所示：    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图3，作于点N，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 题型7：“手拉手”模型 16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：； (3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，最后根据三角形外角性质得到，即可解题； （2）利用直角三角形性质得到，结合等腰三角形性质得到，进而得到，，证明，得到，，推出，作，交延长线于点，证明，得到，证明，得到，再进行等量代换即可解题； （3）根据题意得到在的中垂线上，当时，最小，且此时四边形为矩形， 当取得最小值时，、关于对称，且，得到的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，作，交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，利用全等三角形性质推出为中点，设，则，（即），，利用勾股定理和相似三角形性质得到，，，，作于点，结合勾股定理和等腰直角三角形性质得到，，，，进而推出，即可解题． 【解析】（1）解：，， ， ，， ， ； （2）证明：，点P为的中点， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 根据题意画出图形， ， ， 作于点， 即在的中垂线上， ， ， 当时，最小， 易得此时四边形为矩形， 当取得最小值时， 、关于对称， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上， 则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，如图所示： 作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 即为中点， 设， ，四边形为矩形， ，（即），， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形外角性质，垂直平分线性质，轴对称性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． 17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，，得到图3，请解答下列问题： (1)若，请探究下列数量关系： ①在图2中，与的数量关系是 ； ②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想； (2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明． 【答案】(1)①；②，，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用全等三角形的证明方法解题是解题的关键． （1）①运用证明，所以； ②根据题意可得，，，所以得到，在和中，，，可证，所以，即． （2）直接类比（1）中结果可知，． 【解析】（1）（1）①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴图2中，，即 ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②，，理由如下： ， ∴，即， 在和中 ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∴，即； （2）结论：，．理由如下： ∵ ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 综上所述：，． 题型8：定值问题 18．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度为； (3)的长度是定值，这个定值为． 【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可． 【解析】（1）解：作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 在中，，， ∴的面积为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：，即的长度为； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，由折叠的性质得， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长度是的长度， 过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴，由折叠的性质得， 又， ∴， ∴． 综上，的长度是定值，这个定值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键． 题型9：情景探究题 19．[问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用] （3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展] （4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：． （4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和． 【解析】（1）证明： 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明： 小明的证明： 连接，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图，    ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （3）解：过点作，垂足为，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为． （4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由问题情景中的结论可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为，的中点， ∴，， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用 20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）使用待定系数法即可求函数表达式； 根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差即可； （2）根据已知条件，使用相似三角形的性质分别求出和E的纵坐标，作差表示出，然后列出S关于m的表达式，当时，直接将S代入表达式即可得出答案，当时，此时的面积均大于故不符合条件，当时，根据相似三角形求出重叠面积的表达式，令即可得到答案． 【解析】（1）解：设直线的函数表达式为 ∵直线过点、， ∴ 解得： ∴函数的表达式为：； （2）由（1）知所在的直线函数表达式为：，且点A在直线上 ∴ ∴ ∴A点坐标为 ∴， ∴ 过C作，交于F ∵轴， ∴ ∴ ∴ ∴点E的横坐标为 ∵点C坐标为 ∴设所在直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 ∵E在上， ∴E的纵坐标为 ∵在上， ∴的纵坐标为 ∴ 当时，E的坐标为 ∴此时点E在上 ∴当时（如图1），点E在下方 此时 当时， 解得或（舍） 当与B点重合时， 由图2知， 时，S恒大于，故此时无m符合题意； 当与B重合时，， 如图3， 当时，解得或 ∵， 故舍掉， ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一次函数以图像组合面积，涉及了相似三角形等知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，仔细计算，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 21．综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)当平分时，＝________°； (2)若，求的长； (3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式． 【答案】(1)22.5 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键． （1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可； （2）根据旋转的性质证，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据等腰直角三角形的性质证，根据全等三角形的性质，结合三角形的面积公求解即可． 【解析】（1）解：由旋转性质，得，， ∴， ∵平分， ∴， 由题意，得， ∴． 故答案为：22.5； （2）∵，， ∴，， 由旋转性质，得，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 由题意知，， ∵， ∴； （3）如图，设与交于点F，连接，由对称性质，得，． 由题意，得是等腰直角三角形， ∴F为中点，即． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴． 过点D作轴于点G， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$