第26章 反比例函数 综合训练 2023—2024学年人教版数学九年级下册

反比例函数 综合训练 一、选择题 1． 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 2．若点在反比例函数图象上，则该函数图象一定经过点(　　) A． B． C． D． 3． 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．图象关于原点对称 C．图象经过点（1，） D．若点，都在该函数图象上，且，则 4． 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 6． 若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，则的面积的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．如图所示，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，如果矩形OABC面积是4，那么反比例函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 9．伟大的阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”.已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过150N，则动力臂(单位：m)需满足（　　） A． B． C． D． 10．购买 斤水果需 元，购买一斤水果的单价 与 的关系式是（　　） A． B． （ 为自然数） C． （ 为整数） D． （ 为正整数） 二、填空题 11．点在反比例函数的图象上，该反比例函数位于第　 　象限． 12．已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是　 　． 13．如图，点在函数的图象上，过点作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为，矩形的面积是6，则　 　． 14．饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为轴于点，连接，反比例函数与的两条边分别交于两点，若点是的中点，连接，则的面积为　 　． 三、解答题 16． 已知反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为． （1）求的值； （2）设点为该反比例函数图象上的一点，且，请比较与的大小关系． 17．某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500Pa时，求木板的面积． 18． 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一条边长为7.5 cm时，它的邻边长为8 cm. （1）设矩形相邻的两条边长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗? （2）若其中一个矩形的一条边长为5 cm，求这个矩形与之相邻的另一条边长. 19．如图所示，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=的图象经过点(1，4)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上. （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出菱形OABC的面积. 20．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数解析式，自变量x的取值范围；药物燃烧后y关于x的函数解析式. （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少经过几分钟后，员工才能回到办公室. （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、函数经过（3，-1），则，解得k=-3，A说法正确； B、因为k=-3＜0，故此反比例函数分布在第二、第四象限，B说法正确； C、反比例函数关于原点中心对称，C说法正确； D、当x＜0时，y随x的增大而增大，D说法错误. 故答案为：D. 【分析】本题考查对反比例函数图象的掌握，k＜0，则图像分布在二、四象限；k＞0，则分布在一、三象限. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：点在反比例函数图象上， k=-2×3=-6， A、3×2=6≠-6，即该函数图象不经过点 （3，2），不符合题意； B、-3×2=6，即该函数图象经过点 （-3，2），符合题意； C、-3×（-2）=6≠-6，即该函数图象不经过点 （-3，-2），不符合题意； D、-2×（-3）=6≠-6，即该函数图象不经过点 （-2，-3），不符合题意. 故答案为：B. 【分析】先根据反比例函数图象上点的横纵坐标相乘等于k，求出k的值，再根据xy=k，对各选项逐一判断即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】A选项：∵k=-2， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项错误； B选项：图象关于原点对称 ，故B选项错误； C选项：∵当x=1时，y=-2， ∴图象经过点(1，)，故C选项错误； D选项：∵k=-2， ∴y随x的增大而减小， ∴当，时，，故D选项正确； 故答案为：D. 【分析】根据反比例函数图象的性质进行分析，即可得到答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点是反比例函数图象上的两个点， ， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴， ∴ . 故答案为：A. 【分析】根据反比例函数的性质得到函数图象在第一、三象限，根据，得到，即可得到答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、当x=1时，y=，因此点（1，3）在函数图象上，不符合题意； B、当x=-1时，y=，因此点（-1，-3）在函数图象上，不符合题意； C、当x=时，y=，因此点（，1）不在函数图象上，符合题意； D、当x=时，y=，因此点（，9）在函数图象上，不符合题意； 故选：C． 【分析】把点的坐标代入，逐一计算判定即可． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：点，，在反比例函数的图象上， ，，； 又， ； 故答案为：C． 【分析】先根据点在函数图象上求出点的横坐标，再进行比较大小即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴设点坐标为，把代入反比例函数得，， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【分析】本题考查反比例函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质.根据可推出为等腰直角三角形，设点坐标为，本题点A代入反比例函数解析式可求出点的坐标，据此可知，根据点B的坐标可求出OB，利用三角形面积公式可求出的面积． 8．【答案】C 【解析】【解答】解： 矩形OABC面积是4 ， 根据反比例函数k的几何意义得：， ∵图象在第四象限，k＜0 ∴k=-4 反比例函数的解析式是 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，结合图象在第四象限，可得k=-4，即可得解. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：由图像可知，当时，， 根据题意可知，， 把，代入可得：1200×0.5=150×L2， 解得：L2=4， F2与L2成反比例， 若小明想使动力不超过150N，则动力臂 需满足. 故答案为：D. 【分析】根据杠杆平衡的条件列出方程，求出L2的值即可得到答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】根据单价=总价除以数量，可得y= （x>0）. 故答案为：A 【分析】根据购买 斤水果需 元，求反比例函数解析式即可。 11．【答案】二、四 【解析】【解答】解：把点代入到中，可得k=23×（-3）=-69 ∵-69＜0 函数图象在第二、四象限． 故答案为：二、四 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 12．【答案】m<－2 【解析】【解答】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限， ∴m+2<0， 解得m<−2， 故答案为m<−2. 【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一、三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二、四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可. 13．【答案】-6 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得， ∵图象位于第二象限， ∴． 故答案为：． 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义.根据题，利用矩形的面积公式可得：，解方程可得：，再根据反比函数图象分布的象限可确定k的值． 14．【答案】50 【解析】【解答】解：设反比例函数为y=； ∵反比例函数过点（8，100）将其代入，可得k=800； ∴反比例函数为y= 当y=20是，x=40； ∴水温从20℃升至100摄氏度，再将至20℃，所需的总时间为：8+40=48分； ∵56-40=16＞8 ∴当x=16时，y=50℃. 故答案为：50. 【分析】根据待定系数法可求出反比例函数的表达式；根据时间的关系，作比较后，将反比例函数上的点的横坐标代入即可求解. 15．【答案】6 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥OB于E， ∵点D为OA的中点，AB⊥OB ∴DE∥AB，DE是三角形OAB的中位线， ∵点A（-8，6）， ∴ED=AB=3，OE=OB=4， 即D（-4，3）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k=-4×3=-12，则， ∵AB⊥OB交反比例函数的图象于点C， ∴S△BOC=×|-12|=6. 故答案为：6. 【分析】过点D作DE⊥OB于E，结合已知易得DE是三角形OAB的中位线，由三角形的中位线定理可求得点D的坐标，把点D的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，进而根据反比例函数k的几何意义可得△BOC的面积. 16．【答案】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得，反比例函数的解析式为， ∵点为该反比例函数图象上的一点，且， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）先求出点P的坐标，再将点P的坐标代入求出k的值即可； （2）先将点Q的坐标代入可得，再结合可得. 17．【答案】解：设木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 从板对地面的压强与从板面积之间的函数表达式为， 当时，有，解得， 当木板的压强为时，木板的面积为． 【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象及其应用，将点（4，200）代入，求出k的值，再将P=500代入反比例函数表达式，求得s值即可. 18．【答案】（1）解：设矩形的面积为S cm2，则S=7.5×8=60(cm2)，∴y关于x的函数解析式是y=，这个函数是反比例函数. （2）解：当x=5时，y==12， ∴这个矩形与之相邻的另一条边长为12 cm. 【解析】【分析】（1） 设矩形的面积为S cm2 ，可求得 S=60(cm2)，从而求解； （2）令x=5代入函数表达式即可求解. 19．【答案】（1）解：∵反比例函数y=的图象经过点(1，4)， ∴4=，即k=4. ∴反比例函数的解析式为y=. （2）S菱形OABC=8. 【解析】【解答】解：（1）连接AC交x轴于点D，如图， 四边形ABCD是菱形， AD=CD，AD⊥OB，OD=BD， 菱形OABC的面积为8. 【分析】（1）利用待定系数法求得k的值即可求解； （2）连接AC交x轴于点D，根据菱形对角线相互垂直且平分得到菱形的两条对角线分别为2和8，再利用三角形的面积公式求得从而求解. 20．【答案】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数解析式为y=k1x(k1>0). 将点(8，6)代入y=k1x中，得6=8k1， ∴k1=. 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0).将点(8，6)代入y=中，得6=. ∴k2=48. ∴药物燃烧时y关于x的函数解析式为y=x(0≤x≤8).药物燃烧后y关于x的函数解析式为y=(x>8). （2）解：结合实际，令y=中y<1.6得x>30， 即从消毒开始，至少30 min后员工才能进入办公室. （3）解：把y=3代入y=x，得x=4， 把y=3代入y=，得x=16， ∵16-4=12(min)>10 min， ∴这次消毒是有效的. 【解析】【分析】（1） 设药物燃烧时y关于x的函数解析式为y=k1x(k1>0) ， 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0).利用待定系数法求得 k1 、 k2 的值，从而求解； （2）令y<1.6，得到x>30，即可求解； （3）将y=3和y=4分别代入函数表达式求得对应的自变量的值，结合题意，从而求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$