第三章 位置与坐标（压轴专练）（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 位置与坐标（压轴专练）（八大题型） 题型1：线段分面积成比例问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【解析】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③的值为2或9； (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和平移的特点求解即可； （2）①根据题意求出点E的横坐标为，纵坐标为6，进而求解即可；②首先求出点E的横坐标为9，，，然后表示出点E的纵坐标为，进而求解即可；③根据题意分点E在上和点E在上，然后分别根据点到轴距离为7列方程求解即可； （3）首先求出四边形的面积，然后根据题意分和两种情况讨论，分别根据题意列方程求解即可． 【解析】（1）解：∵点，将向下平移10个单位得线段， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：①∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动一圈， ∴当时，， ∴点E的横坐标为，纵坐标为6 ∴点E的坐标为， 故答案为：； ②∵点在边上运动， ∴点E的横坐标为9 ∵， ∴ ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； ③∵点到轴距离为7， ∴点E的横坐标为7 ∵点E的运动路程为， ∴当点E在上时，， 解得； ∴当点E在上时， ∵点到轴距离为7， ∴ ∴ ∴ 解得； 综上所述，当点到轴距离为7时，的值为2或9； （3）∵， ∴四边形的面积 如图所示，点E在上，延长交y轴与点F，连接， 当时， ∴ ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， 点P的坐标为， 如图所示，当交于点E，连接，延长交y轴于点G，则，过P点作交的延长线于点H， 当时， ∴ ∴， ∴，即 解得， ，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了坐标与图形，动点问题，三角形的面积公式，列代数式等知识，解题的关键是正确表示出点E运动的路程及用分类讨论的思想． 题型2：存在性问题 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴．动点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动． (1)当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标； (2)点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）通过全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得，，易得点的坐标； （2）设，．需要分类讨论：①，；②，．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得、的值，得解． 【解析】（1）证明：， ． 轴， ． ． 与中 ． ． ，． ； （2）设， ①，． ． 解得或． ，或，或，或，； ②， ． 解得． ，，或，，． 综上所述，，或，或，或，或，，或，，． ∴或或 【点睛】考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角，所以需要分类讨论，以防漏解． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，），点B（，），其中、满足． (1)求、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； (4)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值是2，的值是3 (2)四边形面积 (3)； (4)存在，或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解方程即可得到，的值； （2）过点作轴于点．根据四边形面积求解即可； （3）先求出，进而得到，解之即可得到答案； （4）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当在轴上时，②当在轴上时，进行讨论得到点的坐标． 【解析】（1），满足， ，， 解得，． 故的值是2，的值是3； （2）过点作轴于点． 四边形面积 ； （3）， ， ， ； （4）当时，四边形的面积． ， ①当在轴上时，设，则 ， 解得或 ②当在轴上时， 设，则， 解得或． ∴或或或． 【点睛】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得，的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． 5．如图1，在平面直角坐标系中，，，，点为y轴上一动点，且．    (1)直接写出，的值：__________，__________． (2)当点P在直线OC上运动时．是否存在一个点P使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论点P运动到直线OC上的任何位置（不包括点O、C），、、三者之间是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 ，4； (2)点P的坐标为或 (3)分三种情况： ①若点P在线段的延长线上，则； ②若点P在线段上，则； ③若点P在线段的延长线上，则． 【分析】（1）利用非负数的性质，求出b、c即可解决问题； （2）根据点A、B、C的坐标求得线段，，的长，从而得到梯形的面积，进而得到的面积，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式求得y的值，从而得到点P的坐标； （3）分三种情况讨论：①若点P在线段的延长线上，过点P作，则，因此，，从而得到结论；②若点P在线段上，同①可得；③若点P在线段的延长线上，同①可得． 【解析】（1）∵， 且 ∴， ∴， 故答案为：6 ，4 （2）∵，， ∴，，， ∴ ∴ 设点P的坐标为，则 ∵ ∴ ∴ ∴点P的坐标为或 （3）分三种情况讨论： ①若点P在线段的延长线上，如图①    过点P作 ∵ ∴ ∴， ∴ ②若点P在线段上，如图②    过点P作 ∵ ∴ ∴， ∴ ③若点P在线段的延长线上，如图③    过点P作 ∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．在平面直角坐标系中，已知，，且．    (1)求点A的坐标； (2)如图，过点A作轴于点，连接，延长交轴于点，设交轴于点，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点以每秒2个单位长度的速度从原点O出发沿轴正方向运动，点从D点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向运动．设运动时间为秒，请问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积的一半，若存在，请求出的值及点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在和使三角形的面积等于三角形的面积的一半 【分析】 本题主在要考查了非负数与等腰直角三角形综合．熟练掌握非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键． （1）直接利用绝对值与算术平方根的非负性计算得出m，n的值，进而得出答案； （2）过作轴于N，于M，根据，，得到 ，得到，得到，根据， ，得到，根据，得到； （3）推出，过作轴于R，得到，当在点下方时，，得到，根据得到，解得，得到，当在点上方时， ，得到，得到，解得，，得到． 【解析】（1） ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2） 过作轴于N，于M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴；    （3） 存在．理由： ， 过作轴于R，则， （1）当在点下方时，    ， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； （2）当在点上方时，    ， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 综上，存在，和，，使三角形的面积等于三角形的面积的一半． 7．已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，， (1)______，______． (2)设的面积为，用含的式子表示S． (3)在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？ 【答案】(1)，； (2)； (3)当或秒时，的面积与面积相等． 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解； （2）根据面积公式即可求得； （3）分当点在上和点在上，两种情况利用一元一次方程，分类讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵ ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，，，， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：由得， ∴， 当点在上时， ∵，，的面积与面积相等， ∴，， ∴， ∴秒时，的面积与面积相等， 当点在上时， ∵，，的面积与面积相等， ∴ ∴， ∴， ∴秒时，的面积与面积相等， 综上所述，当或秒时，的面积与面积相等． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，熟练掌握算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，分别平分，；求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 或或或 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴、； （2）解：如图，过点作，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，分别平分，，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：连接，如图．    设， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为，， 当点在轴上时，设， ∵， ∴， 解得或， ∴此时点坐标为或， 当点在轴上时，设， ， 解得或， ∴此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键． 题型3：定值问题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段平移至线段．使点的对应点在轴的正半轴上，点的坐标，点在第一象限． (1)点的坐标为__________．（直接用含的式子表示）； (2)连接、，若三角形的面积为5，求的值； (3)在（2）的条件下，点是轴的正半轴上的动点（），的面积记为，的面积记为，的面积记为，试探究当为何值时，的值是个定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的值是个定值，定值为 【分析】本题考查坐标与平移，掌握利用割补法求三角形的面积是解题的关键． （1） 由平移的性质可得出答案； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由四边形D的面积可得出答案； （3）分别求出，，，然后代入整理得到，然后根据定值得到方程解题即可． 【解析】（1）解：∵点，将线段平移至线段， ∴点向上平移一个单位，向右平移个单位到点， ； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， AI ， ， ∵， ， 解得： ； （3）当时，点D的坐标为，点C的坐标为 ∴， ， ， ∴， ∵它是定值， 所以分母a不影响取值，即分母可以约去， ∴， 解得：，即，     ∴当时，的值是个定值，定值为． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一点（点P不与点B重合），连接AP，过点B作交y轴于C点，，分别平分，．    (1)填空：________，________．（直接写出答案） (2)若点E是x轴上的一点且，则点E的坐标为________．（直接写出答案） (3)若点P的纵坐标为， ①线段的中点的坐标为________．（直接写出答案） ②在直线m上是否存在点Q，使得的面积等于16？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (4)在点P的运动过程中，的值是不变的，则这个值是________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)或 (3)①②或 (4) 【分析】（1）可得，即可求解； （2）可得，由点E是x轴上的一点且，即可求解； （3）①可求，，由中点坐标公式即可求解； ②可设，可得，由即可求解； （4）过作，可得，，，从而可得，，可求，，即可求解． 【解析】（1）解：由得 ， 解得：， 故答案：，． （2）解：由（1）得 ， 因为点E是x轴上的一点且， 所以的坐标为或． 故答案：或． （3）解：①由（1）得： ，， 因为过点B作直线轴，P的纵坐标为， 所以 所以，， 所以中点坐标为 故答案：； ②因为Q在直线m上， 所以可设， 所以， ， 所以 ， 解得：或， 所以的坐标为或． （4）解：如图，过作，    因为， 所以， 所以，， ， 因为，分别平分，， 所以，， 所以，， 所以 因为， 所以，， 所以， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了三角形综合问题，非负数和为零的性质，平行线的判定及性质，角平分线的定义，中点坐标公式，掌握相关的性质及公式是解题的关键 11．如图，已知，，且，满足．    (1)求，两点的坐标． (2)如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论． (3)如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，见解析 (3)的面积是定值，这个值是4 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，即可得出结论； （2）求出，，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可； （3）过P作轴于G，证得，根据全等三角形的性质得到，，再证，得到，过点作轴于点，证明，求出即可得到结论． 【解析】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）结论：； 证明：∵，，， ∴， ，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中，， ∴， ，， ， ， ∴； （3）是定值，定值为4． 理由：由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 过P作轴于G，    在与中，， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，    ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形． 题型4：角度问题 12．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①点的坐标为；② 【分析】本题是三角形综合题，考查的是平行线的性质，非负数的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，由非负性可求，，的值，再由列出等式，即可求解； （2）①过点B作，由可得，从而得出，求得，可得，得出点的坐标为； ②过点作，交轴于点，则，由可得，再由得出，从而可得，再由EM平分可得，再由AM平分可得，从而得出． 【解析】（1）解：连接，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，， 依题可得，解得， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∴点的坐标为， （2）解：①过点B作， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为， ②过点作，交轴于点， 则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵EM平分 ∴ ∴ ∵AM平分 ∴ ∴ 13．如图1，在平面直角坐标系中，已知，且满足，线段交y轴于点F．    (1)填空： ， ； (2)如图1，在x轴上求点P，使得的面积与的面积相等． (3)如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且分别平分，求的度数． 【答案】(1)，3 (2)或 (3) 【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性即可求得a与b的值； （2）设，则，与等高，且高为3，从而可得关于p的方程，解方程即可； （3）设交y轴于点N，利用平行线的性质及三角形内角和即可求得结果． 【解析】（1）解：∵，且， ∴， 解得：， 故答案为：，3 （2）解：设，则， ∵与等高，且高为3，面积相等， ∴， 解得：或， 即或； （3）解：设交y轴于点N，如图， ∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， 而， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴．      【点睛】本题考查了坐标与图形，平方与算术平方根的非负性，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和，解绝对值方程等知识，掌握这些知识是关键． 14．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 【答案】(1)， (2)12或 (3)见解析 【分析】（1）根据，可得，，即可得出点、的坐标； （2）根据，得，从而得出绝对值方程即可得出答案； （3）分当点在线段上时，或点在线段的延长线上时，根据外角进行角之间的变换即可得出三个角之间的数量关系． 【解析】（1）解：， ，， ，， ，； （2）存在，使得， ， ， ， 解得（舍）或， 存在，的值为12或； （3）当点在线段上时，如图， ，， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， 当点在线段的延长线上时，如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的性质、三角形外角的性质等知识，运用外角进行角之间的转换是解题的关键． 题型5：取值范围问题 15．如图1，在平面直角坐标系中，点，，是直线上的点．    (1)求m的值； (2)点D为x轴上一点，横坐标为2，连接，请在图2中探究与之间的数量关系； (3)请画图探究：在（2）的条件下，点M从点D出发，沿射线方向平移，移动的距离为a． ①过点M作交所在直线于点N，的面积记为，的面积记为，若，求a的值； ②若点E沿射线方向平移，且点E与点M同时从点D出发，并满足，连接所在直线交y轴于点K，当时，请直接写出a的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）如图所示，连接，过点C作轴于T，根据结合三角形面积公式，进行代值计算即可； （2）根据题意可得，再由得到，则； （3）①分如图3-1所示，当点M在线段上时，如图3-2所示，当点M在延长线上时，根据，可以推出，再根据线段之间的关系进行求解即可；②先求出，再分如图3-3所示，当点K在店B下方时，且刚好满足时，如图3-4所示，当点K在点B上方，，且刚好满足时，分别求出这两种临界状态下a的值即可得到答案． 【解析】（1）解：如图所示，连接，过点C作轴于T， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：∵点D为x轴上一点，横坐标为2， ∴， 由（1）得， ∴轴，即， ∴；    （3）解：①如图3-1所示，当点M在线段上时， 由题意得，，则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴；    如图3-2所示，当点M在延长线上时， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或；    ②由题意得，， ∵， ∴， 如图3-3所示，当点K在点B下方时，且刚好满足时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以a得，；      如图3-4所示，当点K在点B上方，且刚好满足时， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以a得，； ∴综上所述，当时，．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想和数形结合的思想求解是解题的关键． 16．如图，已知，且，满足．    (1)求、两点的坐标； (2)如图，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)如图，在的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时线段的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出的长度． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)线段的长度不变，． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，即可得出结论； （2）求出，，推出，根据全等三角形的性质得到，，由于，得到即可； （3）过P作轴于G，证得，根据全等三角形的性质得到，，再证，得到． 【解析】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：结论：； 证明：∵，，， ∴， ，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ，， ， ， ∴； （3）解：是定值，定值为4．理由： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， 过P作轴于G，    在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，要学会添加常用辅助线构造全等三角形． 题型6：根据几何关系求数量关系 17．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；    (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．    【答案】(1)见解析 (2)； (3)，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【解析】（1）平分， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，    过点作于， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）； 证明：如图3，    在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点E在x轴的负半轴上，边交x轴于点C，且平分，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使，已知，，其中m，n满足．    (1)点B，E的坐标分别为______，______； (2)若，求的度数（用表示）； (3)当时，记的面积为S，点Q的纵坐标为t，求S与t的关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由，可得，，从而可得答案； （2）设，可得，而，可得，证明，再利用三角形的外角的性质可得答案； （3）过点Q作轴于点H，连接，可得则，，证明，可得，从而可得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； ∴，； （2）设， 则， 而， ∴在中，， ∵平分 ∴， ∵是的外角 ∴． （3）过点Q作轴于点H，连接    则，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S与t的关系为：． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的含义，平行线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型7：新定义题 19．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．    (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 【答案】(1)C、D、F； (2)①，，，，，，，，，； ②31． 【分析】（1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，的最大值为31． 【解析】（1）解：∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图， ∴n的最大值为．    【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． 题型8：勾股定理在平面直角坐标系的应用 20．已知三边长，． （1）如图1，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，________，点的坐标________，点的坐标________． （2）如图2，过点作交于点，，请证明． （3）如图3，当点，分布在点异侧时，则（3）中的结论还成立吗？ 【答案】（1）；；；（2）证明见解析；（3）成立． 【分析】（1）由题意利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，从而得到△ABC是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠C以及点C的横坐标与纵坐标即可得解； （2）根据题意把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，根据旋转的性质可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′，∠ACM=∠BCM′，然后求出∠MCN=∠M′CN，∠M′BN=90°，再利用“边角边”证明△MCN和△M′CN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，然后利用勾股定理列式证明即可； （3）根据题意把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，根据旋转的性质可得AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN，然后判断出点N′在y轴上，再求出∠MCN′=45°，从而得到∠MCN=∠MCN′，再利用“边角边”证明△MCN和△MCN′全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MN′，然后利用勾股定理列式即可得证． 【解析】解：（1）∵，， ∵， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴点， 如图， 过点作轴于， 则， ∴点的坐标为． 故答案为：；；． （2）如图， 把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，， ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）仍然成立， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， 把绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ，， ∴， ∴点在轴上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形的综合问题，主要利用了旋转的性质，勾股定理逆定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，熟记各性质与全等三角形的判定方法是解题的关键． 21．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值： (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． (5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）由即可求解； （2）直接利用两点之间距离公式，把两点代入求解即可； （3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，求出的坐标，再利用两点之间距离公式求解即可； （4）代数式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短可知点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小，再利用两点之间距离公式求解即可； （5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，，由对称性可证的周长的最小值为，利用勾股定理求解即可； 【解析】（1）由题意知：、， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：5； （3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段，如图， B关于x轴对称的点， 点的坐标为， ， ， 的最小值为； （4）代数式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短可知，点在以点和为端点的线段上时，其距离之和最小， 的最小值为：； （5）过A作，作B关于直线的对称点，连接，， B，关于直线对称， ，， ， 的最小值为， 的周长的最小值为， ，，， ， ， 在中， ， 的周长的最小值为． 22．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和； （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【解析】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 位置与坐标（压轴专练）（八大题型） 题型1：线段分面积成比例问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 题型2：存在性问题 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴．动点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动． (1)当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标； (2)点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（，），点B（，），其中、满足． (1)求、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当为何值时，三角形的面积等于三角形的面积； (4)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，，，，点为y轴上一动点，且．    (1)直接写出，的值：__________，__________． (2)当点P在直线OC上运动时．是否存在一个点P使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)不论点P运动到直线OC上的任何位置（不包括点O、C），、、三者之间是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，已知，，且．    (1)求点A的坐标； (2)如图，过点A作轴于点，连接，延长交轴于点，设交轴于点，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点以每秒2个单位长度的速度从原点O出发沿轴正方向运动，点从D点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负方向运动．设运动时间为秒，请问是否存在某一时刻，使三角形的面积等于三角形的面积的一半，若存在，请求出的值及点坐标，若不存在，请说明理由． 7．已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，， (1)______，______． (2)设的面积为，用含的式子表示S． (3)在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？ 8．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，分别平分，；求（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型3：定值问题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段平移至线段．使点的对应点在轴的正半轴上，点的坐标，点在第一象限． (1)点的坐标为__________．（直接用含的式子表示）； (2)连接、，若三角形的面积为5，求的值； (3)在（2）的条件下，点是轴的正半轴上的动点（），的面积记为，的面积记为，的面积记为，试探究当为何值时，的值是个定值，并求出这个定值． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一点（点P不与点B重合），连接AP，过点B作交y轴于C点，，分别平分，．    (1)填空：________，________．（直接写出答案） (2)若点E是x轴上的一点且，则点E的坐标为________．（直接写出答案） (3)若点P的纵坐标为， ①线段的中点的坐标为________．（直接写出答案） ②在直线m上是否存在点Q，使得的面积等于16？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (4)在点P的运动过程中，的值是不变的，则这个值是________．（直接写出答案） 11．如图，已知，，且，满足．    (1)求，两点的坐标． (2)如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论． (3)如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 题型4：角度问题 12．如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，其中，满足，与轴交于点． (1)求，的值及点的坐标； (2)如图2，是轴上位于上方的一动点， ①连接，，，当和的面积相等时，求点的坐标； ②如图3，过点作，平分，平分，求的度数． 13．如图1，在平面直角坐标系中，已知，且满足，线段交y轴于点F．    (1)填空： ， ； (2)如图1，在x轴上求点P，使得的面积与的面积相等． (3)如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且分别平分，求的度数． 14．在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)写出两点的坐标； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点．设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是第二象限上的点，连，点是线段上一点，满足．点是射线上一动点，连，交直线于点，当点在射线上运动的过程中，求与的数量关系． 题型5：取值范围问题 15．如图1，在平面直角坐标系中，点，，是直线上的点．    (1)求m的值； (2)点D为x轴上一点，横坐标为2，连接，请在图2中探究与之间的数量关系； (3)请画图探究：在（2）的条件下，点M从点D出发，沿射线方向平移，移动的距离为a． ①过点M作交所在直线于点N，的面积记为，的面积记为，若，求a的值； ②若点E沿射线方向平移，且点E与点M同时从点D出发，并满足，连接所在直线交y轴于点K，当时，请直接写出a的取值范围______． 16．如图，已知，且，满足．    (1)求、两点的坐标； (2)如图，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)如图，在的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时线段的长度是否发生变化？若是，请求取值范围；若不是，请求出的长度． 题型6：根据几何关系求数量关系 17．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；    (3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．    18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点E在x轴的负半轴上，边交x轴于点C，且平分，过点D作直线交x轴于点B，交y轴于点A，使，已知，，其中m，n满足．    (1)点B，E的坐标分别为______，______； (2)若，求的度数（用表示）； (3)当时，记的面积为S，点Q的纵坐标为t，求S与t的关系． 题型7：新定义题 19．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．    (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 题型8：勾股定理在平面直角坐标系的应用 20．已知三边长，． （1）如图1，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，________，点的坐标________，点的坐标________． （2）如图2，过点作交于点，，请证明． （3）如图3，当点，分布在点异侧时，则（3）中的结论还成立吗？ 21．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离． 如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值： (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． (5)应用拓展：如图，若点D在上运动，，，连接，，求的周长的最小值． 22．阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$