2.3 等腰三角形的性质定理 （第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第二章 特殊三角形 第一课时 等腰三角形的性质定理1与推论 2.3 等腰三角形的性质定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．掌握等腰三角形的性质定理1； 2．会利用等腰三角形的性质定理1进行简单的推理计算； 3．掌握等边三角形的性质，并会利用其性质进行简单推理. 底角 1.等腰三角形是 ，顶角平分线所在的直线是它的 . 情景导入 旧知回顾 A B C 顶角 底角 腰 腰 底边 2.请分别指出这个等腰三角形的腰、顶角、底角、底边 轴对称图形 对称轴 A B C 3.等边三角形是轴对称图形吗？请画出它的对称轴 A B C A B C 67° 67° 46° 任意的画一个等腰三角形，用量角器测量一下它的内角度数.你发现了什么？（请与你的同伴交流） 情景导入 1.等腰三角形的性质定理1 新知探究 A B C 67° 67° 46° 我们可以发现测量出的底角度数是相等的. 我们剪两个等腰三角形的纸片把它沿顶角平分线所在直线折叠,你有什么发现吗？ B C A 两个底角完全重合在一起了. 由此我们作出一个猜想：等腰三角形的两个底角是相等的. 下面我们验证一下这个猜想 已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 )， ∠1=∠2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) ， ∵ ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 猜想验证 A B C D 1 2 你能根据三角形的轴对称性证明上述定理吗？ 概念归纳 等腰三角形性质定理1 等腰三角形的两个底角相等. 也就是说，在同一个三角形中，等边对等角. 几何语言 A B C ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）. 注意：求内角度数时的分类思想（顶角或底角）. 等腰 三角形 内角关系 ①顶角+2×底角=180°； ②顶角=180°－2×底角； ③底角=（180°－顶角）÷2； ④0°＜顶角＜180°； ⑤0°＜底角＜90°. 概念归纳 例1.如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？ 【分析】 根据等边对等角可得角度相等，再结合三角形的外角性质及内角和定理即可求出各角的度数. A C B D 1 2 3 典例剖析 证明：∵ BD=BC=AD， AB=AC， ∴∠1=∠A，∠3=∠C=∠ABC， 又∵∠3=∠1+∠A，∴∠3=2∠1， ∴∠ABC=2∠1，即∠1=∠2， ∴在△BDC中，∠3+∠2+∠C=180°， 即5∠2=180°，解得，∠2=36°. ∴在△ABC中，∠A=∠2=36°，∠C=∠ABC=72°. A C B D 1 2 3 2.等边三角形的各个内角都等于60° 新知探究 课本例1. 求等边三角形ABC三个内角的度数. 解：如图，在△ABC中， ∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C（等边对等角）， 同理，∠A=∠B. ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）， ∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°. 等边三角形的每个内角都等于60°. A B C 课本例题 例2.求证：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线. 求证：BD=CE. A B C D E 【分析】要证明BD=CE，只需证明△BCE ≌ △CBD .因为BC是△BCE 和△CBD 的公共边，所以只需证明∠ABC= ∠ACB， ∠BCE=∠CBD.这可由已知AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线得到. A B C D E 证明：如图，∵AB=AC（已知）， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）. ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB， 即∠CBD=∠BCE， 又∵BC=CB（公共边），∴△BCE ≌△CBD（ASA）. ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 练一练 1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE. 求证：PD=PE. A B C D E P 证明：∵ AB=AC， AD=AE， ∴∠B=∠C，BD=CE. 又∵ P为BC的中点，∴BP=CP. ∴ △BDP≌ △CEP (SAS). ∴ PD=PE. C 随堂练 60 B 随堂练 A 随堂练 随堂练 分层练习-基础 知识点一：等腰三角形性质定理1 1.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是(　C　) A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° C 2.[2024·温州龙港市模拟]如图，直线 a ∥ b ，点 A 在直线 a 上，点 B 在直线 b 上， AC ＝ BC ，∠ C ＝120°，∠1＝ 43°，则∠2的度数为(　D　) A. 57° B. 63° C. 67° D. 73° (第2题) D 3.[情境题 生活应用]如图是某小区的跷跷板及其示意图，支柱 OC 垂直于地面， O 是 AB 的中点， AB 绕点 O 上下转动，跷跷板的一端从最高处点 B 转过40°落地(∠BOB'＝40°)，则此时跷跷板与地面的夹角∠OB'C的度数为(　A　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° (第3题) A 分层练习-基础 4.如图，△ ABC 与△ ADE 的顶点 A 重合，点 D ， E 分别在 边 BC ， AC 上， AB ＝ AC ， AD ＝ DE ，∠ B ＝∠ ADE ＝40°，则∠ EDC 的度数为 ⁠. 30°　 分层练习-基础 5.如图，已知直线 m ∥ n ，△ ABC 是等边三角形，顶点 B 在直线 n 上，直线 m 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ， 若∠1＝140°，则∠2的度数是(　B　) A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° (第5题) B 分层练习-基础 知识点二：等边三角形的各个内角都等于60° 分层练习-基础 6.[2024·金华期末]如图，在四边形 ABCD 中，连结 AC ， BD ，若△ ABC 是等边三角形， AB ＝ BD ，∠ ABD ＝ 20°，则∠ BDC 的度数为(　C　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 75° (第6题) C 7.等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角 为(　A　) A. 80°或50° B. 80° C. 50° D. 50°或20° A 分层练习-基础 易错题： 求等腰三角形的内角时容易漏解 分层练习-巩固 8.如图，在锐角三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，连结 BE ， CD . 下列命题中，假命题是(　A　) A. 若 CD ＝ BE ，则∠ DCB ＝∠ EBC A B. 若∠ DCB ＝∠ EBC ，则 CD ＝ BE C. 若 BD ＝ CE ，则∠ DCB ＝∠ EBC D. 若∠ DCB ＝∠ EBC ，则 BD ＝ CE 分层练习-巩固 9.[2024·杭州富阳区期中]如图，在△ ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AB ＝ AD ＝ DC ，过点 D 作 DE ⊥ AD ，交 AC 于点 E . 设∠ BAD ＝α，∠ CAD ＝β，∠ CDE ＝γ，则 (　D　) A. 2α＋3β＝180° B. 3α＋2β＝180° C. β＋2γ＝90° D. 2β＋γ＝90° D 10.如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝ DC ，∠ BAD ＝∠ CDA ＝90°，△ PAD 是等边三角形，求∠ BPC 的度数. 分层练习-巩固 【解】∵△ PAD 是等边三角形，∴ PA ＝ AD ＝ PD ， ∠ PAD ＝∠ PDA ＝∠ APD ＝60°. ∵∠ BAD ＝∠ CDA ＝90°， ∴∠ PAB ＝∠ PDC ＝90°＋60°＝150°. ∵ AB ＝ AD ＝ DC ，∴ PA ＝ AB ， PD ＝ DC ， ∴∠ APB ＝ ×(180°－150°)＝15°， ∠ CPD ＝ ×(180°－150°)＝15°， ∴∠ BPC ＝60°－15°－15°＝30°. 11.[2024·温州期中]如图，点 B ， D ， C 在一条直线上， AB ＝ AD ， AC ＝ AE ，∠ BAD ＝∠ CAE . (1)求证： BC ＝ DE . 【证明】∵∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴∠ BAC ＝∠ DAE . 在△ BAC 与△ DAE 中，∵ ∴△ BAC ≌△ DAE ( SAS )，∴ BC ＝ DE . 分层练习-巩固 (2)若∠ B ＝65°，求∠ CDE 的度数. 【解】∵ AB ＝ AD ，∠ B ＝65°， ∴∠ ADB ＝∠ B ＝65°. ∵△ BAC ≌△ DAE ，∴∠ ADE ＝∠ B ＝65°， ∴∠ CDE ＝180°－∠ ADE －∠ ADB ＝50°. 分层练习-巩固 11.[2024·温州期中]如图，点 B ， D ， C 在一条直线上， AB ＝ AD ， AC ＝ AE ，∠ BAD ＝∠ CAE . 12.[新视角·项目探究题 2024·温州期中]根据以下素材，探索完成任务. 三角形背景下角的关系探索 素材1 如图，已知在等腰三角形 ABC 中， BA ＝ BC ，在腰 BC 的延长线上取点 E ，连结 AE ，作 AE 的中垂线交射线 BC 于点 D ，连结 AD 素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论 分层练习-拓展 问题解决 任务1 补全 图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点 D 在点 C 的 ⁠侧 右　 【解】任务1：(答案不唯一)如图①. 分层练习-拓展 任务2 特例 猜想 有下列条件：① AB ＝ AC ；②∠ B ＝ 40°；③∠ CEA ＝20°；④∠ CEA ＝50°. 请从中选择你认为合适的一个或两个条件作 为已知条件，根据你在任务1中所画的图 形，求出∠ BAD 和∠ CAE 的大小，并猜测 ∠ BAD 与∠ CAE 的数量关系 分层练习-拓展 ③∠ CEA ＝20°. ∵ BA ＝ BC ，∠ B ＝40°， ∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝ ×(180°－40°)＝70°. ∵点 D 在 AE 的垂直平分线上，∴ DA ＝ DE ， ∴∠ DAE ＝∠ E ＝20°.∵∠ ACB ＝∠ E ＋∠ CAE ， ∴∠ CAE ＝70°－20°＝50°，∴∠ CAD ＝∠ CAE － ∠ DAE ＝30°，∴∠ BAD ＝∠ BAC ＋∠ CAD ＝100°. 猜想：∠ BAD ＝2∠ CAE . (答案不唯一) 【解】任务2：选择②∠ B ＝40°； 分层练习-拓展 任务3 一般 结论 请根据你在任务1中所画的图形，写出一般 情况下∠ BAD 与∠ CAE 的数量关系，并说明理由 分层练习-拓展 【解】任务3：∠ BAD ＝2∠ CAE . 理由：设∠ E ＝∠ DAE ＝ x ，∠ CAD ＝ y ， 则∠ CAE ＝∠ CAD ＋∠ DAE ＝ x ＋ y ， ∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝∠ CAE ＋∠ E ＝ y ＋2 x ， ∴∠ BAD ＝∠ BAC ＋∠ CAD ＝2 x ＋2 y . ∴∠ BAD ＝2∠ CAE . 任务4 拓展 延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点 D 相对于点 C 的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠ BAD 与∠ CAE 的数量关系 分层练习-拓展 【解】任务4：有，如图②. ∠ BAD ＝2∠ CAE . 课堂反馈 知识点一：等腰三角形性质定理1 1.等腰三角形的两个 　底角　相等. 这个定理也可以说成：在同一个三角形中， . 底角 等边对等角 C 例 2.　如图，将等边△ABC剪去一个角后，∠1＋∠2＝ . 课堂反馈 知识点二：由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论： 2.等边三角形的各个内角都等于 　 　. 240° 60° 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 （底角相等） 等边三角形 注意是指同一个三角形中 等边三角形的各个内角都等于60°. 1．若等腰三角形的一个外角为130°，则底角的度数是(　　) A．50° B．65° C．50°或65° D．以上都不对 2．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，则∠EDF的度数为 度 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，∠ADE＝48°，则下列结论中不正确的是(　　) A．∠B＝48° B．∠AED＝66° C．∠A＝84° D．∠B＋∠C＝96° 4．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(　　) A．100° B．80° C．60° D．40° 5．如图，已知：在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.试说明：∠DBC＝∠E. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠ACE＝120°.∵D为AC中点，AB＝BC，∴∠DBC＝∠DBA＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°.∵CE＝CD，∴∠E＝∠EDC＝eq \f(1,2)×(180°－∠ACE)＝30°.∴∠DBC＝∠E. 例1.　等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(　　) A．50°　　　　　　　　 B．80°　　　　　　　　 C．100°　　　　　　　　 D．100°或40° $$