22.5 综合与实践 测量与误差（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册 第二十二章 相似形 22.5 综合与实践 测量与误差 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形 有关知识.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 情景导入 在实际生活中有一些物体十分的巨大 我们要如何在不破坏的情况下，去测量它们的高度？ 情景导入 本节课我们就来学习利用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 利用相似三角形测量高度 新知探究 在学校的操场上，有一根不锈钢旗杆，在既不攀爬到旗杆顶上，又不破坏旗杆的情况下，要求测量出旗杆的高度. 下面有四种测量方法，测量中可使用的工具有：皮尺、测角器、1米竿（长度为1m的竹竿）、镜子、长竿（长度大于人身高的竹竿）. 测量旗杆高度的方法 方法一：如图，分别测出同一时刻旗杆AB与1米长的竹竿CD的影长BM和DN，利用△ABM∽△CDN，可求出旗杆的高度． B A C D N M 1 例1.如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 点拨：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理来构造相似三角形求解. 典例剖析 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°， 因此金字塔的高度为134 m. ∴ = ∴BO= = =134 (m). ∴△ABO ∽△DEF. 怎样测出OA 的长？ 1.如图，要测量旗杆AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出DE 的长以及DE 和AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是( ) A． B． C． D． = = = = C D B E A F C 解析：∵在同一时刻，物高与影长成正比例 ∴ 练一练 测量高度的方法 测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决. 概念归纳 方法二：如图，将竹竿立于旗杆与人之间，观察竹竿和旗杆顶端，使人的眼睛E与A，C在同一直线上，利用△ANE∽△CME，可求出旗杆的高度． B A C D N M E 方法三：如图，将镜面朝上置于地面C处，观察镜子中旗杆顶端A′，使人的眼睛E与C，A′在同一条直线上，利用△ABC≌△A′BC，△A′BC∽△EFC，可求得旗杆的高度． B A C F M E A′ 方法四：如图，通过测角器观察旗杆顶点A，使测角器的示数为60°.利用AB＝AM＋BM＝3ME＋EF，可求得旗杆的高度． B A C M F E 概念归纳 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子测高 被测物体的高度 被测物体的影长 参照物的高度 参照物的影长 利用标杆测高 利用人、标杆被测物体构造相似三角形 利用物理中的人射角等于反射角构造相似三角形 利用镜子的反射测高 2.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 练一练 分析：过点E作EG⊥CD于G点，交AB于H点，根据AB//CD证得△EGC∽△EHA，利用相似三角形对应边的比等于相似比求得EH的长即可 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设这个观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上． 解得 EH=8. ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ = 即 = = . 3.为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ E D B A C 2 1 解得BA=18.75（m）.因此，树高约为18.75m. 解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°, ∴△DCE∽△BAE. ∴ = , = E D B A C 4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B C D B P A 分析：根据题意得出△ABP∽△CDP，进而利用相似三角形的性质求出DC的长 D 随堂练 C 随堂练 16.5 8 随堂练 随堂练 B 分层练习-基础 A 分层练习-基础 B 分层练习-基础 B 9 分层练习-基础 8 5.1 分层练习-基础 分层练习-基础 皮尺，标杆 分层练习-基础 分层练习-基础 100 4 分层练习-巩固 2 2.3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 影长 三角形相似 直线 相似 课堂反馈 直线 相似 60° 含30°直角三角形的边的关系 课堂反馈 测量与误差 测量高度的方法： 测量较高的物体(很难到达顶部的物体)的高度，通常用“在同一时刻物体高与影长成正比例”的原理解决. 课堂小结 = 1．(山西中考)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明，泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的(　　) A．图形的平移　　　　　　　　 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 2．如图，为了测量一个池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，使AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为(　　) A．25 m　　 B．30 m　　 C．36 m　　 D．40 m 3．小明利用量角器测量旗杆的高度，他在离旗杆底部B点15米的F处观察测角器的示数为45°，若小明的身高为1.5米，则旗杆的高度为 米． 4．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米(平面镜的厚度忽略不计)． 5．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．求旗杆的高度． 解：由题意可得， △DEF∽△DCA，则eq \f(DE,DC)＝eq \f(EF,AC)，∵DE＝0.5米， EF＝0.25米，DG＝1.5米，DC＝20米， ∴eq \f(0.5,20)＝eq \f(0.25,AC)，解得：AC＝10，故AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(米)． 答：旗杆的高度为11.5米． 1．(临沂中考)如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m.BC＝12.4m.则建筑物CD的高是(　　) A．9.3m 　 B．10.5m　 C．12.4m　 D．14m 2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(　　) A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 3．小强身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1m，那么小强举起的手臂超过头顶(　　) A．0.4m B．0.5m C．0.8m D．1m 4．如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为(　　) A．8米 B．9米 C．10米 D．15米 5．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为 m. 6．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，那么该古城墙CD的高度是 米． 7．如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条视线上，已知河BD的宽度为12m，BE＝3m，则树CD的高为 m. 8．如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度． 解：∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,AE)，∴eq \f(1.2－0.48,1.2)＝eq \f(1－h′,1)，∴h′＝0.4m. 9．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案． (1)所需的测量工具是： (2)请在下图中画出测量示意图； (3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x. 解：(2)测量示意图如图所示；　 (3)如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c.∵△DEF∽△BAC，∴eq \f(DE,BA)＝eq \f(FE,CA)，∴eq \f(a,x)＝eq \f(c,b)，∴x＝eq \f(ab,c). 10．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝ m 11．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m. 12．如图是一束光线从教室窗户射入教室地面的平面示意图，测得窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，光区MN＝6米，暗区CN＝3米，点M、N、C在同一直线上，则窗户的高AB为 米． 13．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木杆PQ的长度为 m. 14．如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25米，长臂长5.5米，当短臂端点下降0.85米时，长臂端点升高多少米？ 解：由△AOB∽△DOC，可得AB＝3.74米． 15．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长(结果精确到0.1m) 解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴BN∶CD＝AB∶AC，即eq \f(1.75,x)＝eq \f(1.25,x－1.75)，解得x＝6.125≈6.1，∴路灯的高CD约为6.1米． 16．亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，颖颖与楼之间的距离DN＝30m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m.你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ 解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F.由已知可得FN＝ED＝AC＝0.8m，AE＝CD＝1.25m，EF＝DN＝30m，∠AEB＝∠AFM＝90°，又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE∽△AMF，∴BE∶MF＝AE∶AF，即eq \f(1.6－0.8,MF)＝eq \f(1.25,1.25＋30)，解得MF＝20m，∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8m，所以住宅楼的高度为20.8m. 用皮尺和1米竿测物高 分别测出物和1米竿的 ，再利用 求出物高． 用皮尺和长竿测量物高 将长竿立于物体与人之间，观察长竿和物体顶端，使人的眼睛与物体和长竿顶端在同一 上，再利用三角形 可求物体高度． 利用皮尺和镜子测量物高 将镜面朝上置于地面C处，观察镜子中物体顶端A′，使人的眼睛E与C、A′在同一 上，再利用三角形 可求得物高． 利用皮尺和测角器测量物高 通过测角器观察物体顶端，使测角器的示数为 ，用皮尺测出人站立的位置与物体的距离，再根据 可求物高． $$