专题03与绝对值有关的九种常见题型-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

专题03与绝对值有关的九种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（20-21七年级上·江苏·期中）如图，在数轴上，点P表示，将点Р沿数轴做如下移动，第一次点Р向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，按照这样的规律移动下去，第n次移动到点，给出以下结论：①表示，②，③若点到原点的距离为15，则，④当n为奇数时，，以上结论正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【例1-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【例1-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【变式1-2】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东日照·期中）探索题：请观察下列算式：，，，，······ 找出规律并填空，第10个算式是______，第n个算式为______． 根据以上规律解答以下三题： （1）； （2）； （3）若与互为相反数．求的值． 题型02绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各式中，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）比较下列两数的大小关系（用“”或“”填空）： ． 【例2-3】（23-24七年级上·福建福州·期中）已知a，b，c为有理数，且，； 试判断a，b，c三个数与0的大小关系，并说明理由 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、是有理数，且、异号，则，，的大小关系为 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·山东聊城·期中）（1）比较与的大小，并说明理由； （2）如果是有理数，一定等于吗？举例说明与的大小关系． 题型03绝对值的非负性的应用 【典例分析】 【例3-1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【例3-2】（23-24七年级上·江西吉安·期中）若，则的值为 ． 【例3-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知有理数，，满足，计算的值． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式3-2】（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则 ． 【变式3-3】（23-24七年级上·云南德宏·期末）先化简，再求值：求代数式的值．其中． 题型04绝对值的几何意义在求字母值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）已知，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则 ． 【例4-3】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）阅读材料：已知表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与两数在数轴上所对应的两点问的距离．若，则符合条件的整数的值为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【变式4-2】（七年级上·全国·课后作业）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离. (1)若，则______； (2)若，则______. 【变式4-3】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型05绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则的结果为 ． 【例5-3】（22-23七年级上·北京密云·期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． (1)当，时，直接写出m的值； (2)当时，计算的值； (3)若，求a的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，若数轴上两点所对应的有理数分别为，则化简的结果为 ．    【变式5-3】（23-24七年级上·山东德州·期中）在数轴上，点分别表示数．那么之间的距离可以表示为．结合下面的数轴与绝对值的知识回答下面的问题    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是多少？（列式解答） (2)如果表示数与的两点之间的距离是，求值： (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值有没有变化，如果没有，请直接写出这个值． 题型06绝对值的非负性在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·江西上饶·期中）如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【例6-3】（23-24七年级上·广西贺州·期中）若，求和的值． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【变式6-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【变式6-3】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习） 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 题型07绝对值的非负性在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（七年级上·辽宁锦州·阶段练习）若x＜0，化简= ． 【例7-2】（七年级上·河北唐山·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题： （1）请直接写出、、的值：________________________； （2）、、所对应的点分别为、、，点是数轴上的一个动点，其对应的数为，当点在0到2之间（即）运动时，请化简（请写出化简过程）； 【例7-3】（七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示， （1）化简：2|b﹣c|﹣|b+c|+|a﹣c|﹣|a﹣b|； （2）若（c+4）2与|a+c+10|互为相反数，且b＝|a﹣c|，求（1）中式子的值． 【变式演练】 【变式7-1】（七年级上·湖南长沙·期中）已知有理数在数轴上的位如图所示且，化简． 【变式7-2】（七年级上·四川乐山·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点到原点的距离相等． （1）用“＞”“＝”“＜”填空：b　 　0，a+b　 　0，a﹣c　 　0，b﹣c　 　0，a+c　 　0； （2）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|a|+|c|+|a+c|． 【变式7-3】（七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b满足. （1）请求出a、b、c的值； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在-1到1之间运动时（即），请化简式子：（写出化简过程）； （3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请求BC-AB的值. 题型08绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【例8-3】（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【变式演练】 【变式8-1】（七年级下·山东济南）的最小值是（    ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【变式8-2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）若式子有最小值，则该最小值为 ． 【变式8-3】（21-22七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝　 　； (2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　 　； (3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值． 题型09绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例9-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（七年级上·北京海淀·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 【例9-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    【变式演练】 【变式9-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）下表是2023年9月中旬全国农产品价格变化情况统计表 流动领域中农产品价格变化表 种类 稻米 小麦 玉米 棉花 生猪 大豆 豆粕 油料花生 涨跌幅 1 其中价格变化最大是（    ） A．稻米 B．生猪 C．豆粕 D．玉米和棉花 【变式9-2】（七年级上·全国·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【变式9-3】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？ (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03与绝对值有关的九种常见题型 题型01绝对值的定义在找规律中的应用 【典例分析】 【例1-1】（20-21七年级上·江苏·期中）如图，在数轴上，点P表示，将点Р沿数轴做如下移动，第一次点Р向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，按照这样的规律移动下去，第n次移动到点，给出以下结论：①表示，②，③若点到原点的距离为15，则，④当n为奇数时，，以上结论正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】先根据数轴的定义分别求出，，，，表示的数，再总结出的规律，然后逐个判断即可． 【详解】解：由题意知，点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， ...， ∴当n为奇数时，当n为偶数时，其中n为正整数， ∴①表示5，故①不正确； ∵，， ∴②，故②不正确； 由前面的规律知，， ∴③若点到原点的距离为15，则，故③不正确； ④当n为奇数时， 当n为奇数时， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳出的规律是解题的关键 【例1-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） 【例1-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）（2）（3）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知整数、、、…，满足下列条件：，，，…，依照这个规律，则（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【分析】此题考查数字类规律的探究，正确计算出的结果，发现结果的规律并解决问题是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可以发现：第偶数个数的结果是序数的一半，与后一个奇数个数的结果相等， ∴ ∴， 故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东日照·期中）探索题：请观察下列算式：，，，，······ 找出规律并填空，第10个算式是______，第n个算式为______． 根据以上规律解答以下三题： （1）； （2）； （3）若与互为相反数．求的值． 【答案】；（1）（2）（3） 【分析】本题考查了数字类的规律，绝对值的非负性，解题的关键是根据绝对值的非负性求出a和b的值． 根据题目中给出的等式计算即可求解； （1）根据所求式子的特点，先拆项，然后计算即可； （2）先将所求式子变形，然后拆项，计算即可； （3）根据与互为相反数，可以得到a、b的值，然后代入所求式子，再拆项计算即可． 【详解】解：由题意可得， 第个算式是，第个算式是； 故答案为：；． （1） ． （2） ． （3）∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， 故代入，原式 题型02绝对值在比较大小中的应用 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列各式中，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较的法则，绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项不合题意； B．，，故本选项不合题意； C． ，故本选项合题意； D. ，，故本选项不合题意． 故选：C． 【例2-2】（23-24七年级上·浙江台州·期中）比较下列两数的大小关系（用“”或“”填空）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【例2-3】（23-24七年级上·福建福州·期中）已知a，b，c为有理数，且，； 试判断a，b，c三个数与0的大小关系，并说明理由 【答案】， 【分析】根据，得，结合，判定； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，且， 即； 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，求相反数和绝对值． 有理数的大小比较正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小． 【详解】解：A． ，故本选项不符合题意； B． ，故本选项符合题意； C． ，故本选项不符合题意； D．∵，，∴ ，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式2-2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、是有理数，且、异号，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了去绝对值，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵、是有理数，且、异号， 不妨设， ： 则， ∴，， ∵， ∴ ∴ 则， ∴，， ∵， ∴ ∴ 时，同理可得， 故答案为： 【变式2-3】（23-24七年级上·山东聊城·期中）（1）比较与的大小，并说明理由； （2）如果是有理数，一定等于吗？举例说明与的大小关系． 【答案】（1），见解析；（2）不一定，当和同号或至少有一个为0时，；当和异号时， 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数大小的比较； （1）根据两个负数大小的比较方法，进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； 解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：（1）与 ∵，且 ∴ （2）与不一定相等； 当和同号或至少有一个为0时相等； 例如：，时，，， ∴； 或，时，，， ∴； 当和异号时，． 例如：，时，，， ∴ 题型03绝对值的非负性的应用 【典例分析】 【例3-1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【例3-2】（23-24七年级上·江西吉安·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，即当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为． 【例3-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知有理数，，满足，计算的值． 【答案】27 【分析】本题考查非负式子和为0它们分别为0、代数式的求值问题，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据非负式子和为0它们分别为0求出字母的值，再代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了零次幂和负整数指数幂．首先利用非负数的性质确定、的值，再利用零次幂和负整数指数数的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ，， 解得：，， ， 故答案为： 【变式3-3】（23-24七年级上·云南德宏·期末）先化简，再求值：求代数式的值．其中． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，绝对值和乘方的非负性的应用， 先对整式进行运算并合并同类项，利用绝对值和乘方的非负性求出x， y的值，最后代入整式化简后的结果求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 题型04绝对值的几何意义在求字母值中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）已知，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 则， 故选：D． 【例4-2】（22-23七年级上·陕西西安·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：的最小值是5，则 ． 【答案】4或/或4 【分析】根据原式的最小值为5，分两种情况：或，列等式解答即可． 【详解】解：∵的最小值是5，且， ∴要分两种情况： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 综上，a的值是4或． 故答案为：4或． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值，弄清数轴上两点的距离是解本题的关键． 【例4-3】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点用数表示，则 ①若，那么的值是_________． ②有最小值，最小值是_________； ③求的最小值． 【答案】(1)， (2)①或；②；③ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）①利用绝对值的定义可得或，即可求解；②由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解；③该式子表示数轴上点到、、、、的 距 离 之 和，根据两点之间线段最短和绝对值的意义可知：当时，原式有最小值，然后去取绝对值，利用求和公式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：， 故答案为：，； （2）①若，那么或， 解得：或， 故答案为：或； ②表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到的距离之和， 由两点间线段最短可知：当时，有最小值，最小值是， 故答案为：； ③的中间一项是， 当时，原式有最小值， 的最小值是 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）阅读材料：已知表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与两数在数轴上所对应的两点问的距离．若，则符合条件的整数的值为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点之间距离的含义解答即可； 【详解】解：根据题意，可以看作表示与两数在数轴上所对应的两点问的距离为， ∵， ∴符合条件的整数的值为或 故选：C 【变式4-2】（七年级上·全国·课后作业）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离，所以的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离. (1)若，则______； (2)若，则______. 【答案】(1)－2，8；(2)1 【分析】(1)根据题意知，在数轴上查找到有理数3的点的距离是5的点表示的有理数是几. (2)在数轴上查找，到表示有理数3的点的距离和到表示－1的距离相等的点表示的有理数是几. 【详解】(1)如图： 到表示有理数3的点距离为5的点有两个，分别表示有理数－2，8. (2)如图： 到有数3的点和到有理数－1的点距离相等的点表示有理数1. 故答案为 (1)－2，8；(2)1. 【点睛】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴和绝对值 【变式4-3】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)x的值为或3； (2)x的值为6或． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程，理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键． （1）可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上与2对应的点的距离，据此求解可得． 【详解】（1）解：∵ 在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3， 所以x的值为或3； （2）解：∵ 在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和， 所以x的值为6或 题型05绝对值在数轴中的应用 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值等等，正确得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有D选项的式子正确，符合题意； 故选D 【例5-2】（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意可得，进而得到，据此化简绝对值即可． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为： 【例5-3】（22-23七年级上·北京密云·期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． (1)当，时，直接写出m的值； (2)当时，计算的值； (3)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)4 (3)或 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义． （1）利用数轴知识，已知A、B两点表示的数，求线段中点M表示的数； （2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出的值； （3）根据线段的和差，线段中点的定义求出a的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， 或， 或， 或， 或， 综上所述，a的值为或 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了数轴，以及绝对值，弄清数轴上点表示的数以及绝对值的含义是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：由题意得：，且， ， 故选：A 【变式5-2】．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，若数轴上两点所对应的有理数分别为，则化简的结果为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与绝对值，先根据数轴分析出与的大小关系，再根据绝对值的性质进行解答即可，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可知，且， 故， 故答案为： 【变式5-3】（23-24七年级上·山东德州·期中）在数轴上，点分别表示数．那么之间的距离可以表示为．结合下面的数轴与绝对值的知识回答下面的问题    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是多少？（列式解答） (2)如果表示数与的两点之间的距离是，求值： (3)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值有没有变化，如果没有，请直接写出这个值． 【答案】(1)； (2)或； (3)值没有变化，值为． 【分析】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确题意， （1）利用数轴上两点间的距离即可求解； （2）利用数轴上两点间的距离，即可求解； （3）利用，，化简绝对值即可； 熟练掌握数轴上两点间的距离． 【详解】（1）解：两点之间的距离是； （2）由题意得：， ∴， 解得：或； （3）的值没有变化，理由： ∵数的点位于与之间， ∴， ∴的值没有变化，值为． 题型06绝对值的非负性在求值中的应用 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级上·江西上饶·期中）如果，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：“几个非负数的和为时，这几个非负数都为”．根据非负数的性质求出、的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 【例6-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【例6-3】（23-24七年级上·广西贺州·期中）若，求和的值． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【变式6-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级上·湖南株洲·阶段练习） 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 【答案】的值分别是，，． 【分析】根据非负数的性质求出、、的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 【点睛】此题考查了绝对值非负性，正确理解几个非负数的和等于，则每一个算式都等于进行列式是解题的关键 题型07绝对值的非负性在化简中的应用 【典例分析】 【例7-1】（七年级上·辽宁锦州·阶段练习）若x＜0，化简= ． 【答案】-2x 【详解】∵x<0, ∴= = -2x,故答案为-2x. 点睛：本题考查了绝对值，根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值．绝对值只能为非负数，分子、分母先去绝对值、再合并，化简. 【例7-2】（七年级上·河北唐山·阶段练习）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答问题： （1）请直接写出、、的值：________________________； （2）、、所对应的点分别为、、，点是数轴上的一个动点，其对应的数为，当点在0到2之间（即）运动时，请化简（请写出化简过程）； 【答案】（1）﹣1，1，5；（2）4x+9． 【分析】（1）利用非负数的性质即可求得； （2）由绝对值的意义即可进行化简． 【详解】解：（1）由（c﹣5）2+|a+b|＝0得，c﹣5＝0，a+b＝0，又b是最小的正整数，即b＝1， 解得a＝﹣1，c＝5． 故答案为：﹣1，1，5． （2）由0≤x≤2，得x+1＞0，x﹣2≤0，x+5＞0， ∴|x+1|﹣|x﹣2|+2|x+5| ＝x+1+x﹣2+2x+10 ＝4x+9． 【点睛】本题考查了非负数的性质、绝对值的化简，解决问题的关键在于熟练掌握平方和绝对值的非负性以及绝对值的代数意义 【例7-3】（七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示， （1）化简：2|b﹣c|﹣|b+c|+|a﹣c|﹣|a﹣b|； （2）若（c+4）2与|a+c+10|互为相反数，且b＝|a﹣c|，求（1）中式子的值． 【答案】（1）2b；（2）4； 【分析】（1）通过数轴判断a，c，b的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简； （2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值． 【详解】(1)观察数轴可知a<c<0<b，且|a|>|c|>|b| ∴b−c>0，b+c<0，a−c<0，a−b<0 ∴原式=2(b−c)+(b+c)+(c−a)+(a−b)=2b 故化简结果为2b. (2)∵(c+4)2与|a+c+10|互为相反数， ∴(c+4)2+|a+c+10|=0 ∴c+4=0，a+c+10=0 ∴c=−4，a=−6 而b=|a−c|，∴b=2 ∴2b=4 故(1)式的值为4. 【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算. 【变式演练】 【变式7-1】（七年级上·湖南长沙·期中）已知有理数在数轴上的位如图所示且，化简． 【答案】a 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，可知c＜b＜0＜a，且|a|=|b|，继而对②中的式子去绝对值，也即可得出答案． 【详解】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，可知c＜b＜0＜a，且|a|=|b|， 则a+b=0， 所以， =a-b+b-c+c， =a． 【点睛】此题考查数轴，绝对值，解题关键在于要会根据数在数轴上的位置判断其符号以及组成的一些代数式的符号．同时注意把一个代数式看作一个整体 【变式7-2】（七年级上·四川乐山·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点到原点的距离相等． （1）用“＞”“＝”“＜”填空：b　 　0，a+b　 　0，a﹣c　 　0，b﹣c　 　0，a+c　 　0； （2）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|a|+|c|+|a+c|． 【答案】（1）＜，＝，＞，＜，＞;（2）2a﹣c． 【分析】（1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可． （2）根据绝对值的含义和求法，化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|a|+|c|+|a+c|即可． 【详解】解：（1）根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0，a+c＞0． 故答案为＜，＝，＞，＜，＞． （2）|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|a|+|c|+|a+c| ＝0+a﹣c+b+a﹣c+a+c ＝3a+b﹣c ＝2a﹣c． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大 【变式7-3】（七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b满足. （1）请求出a、b、c的值； （2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在-1到1之间运动时（即），请化简式子：（写出化简过程）； （3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请求BC-AB的值. 【答案】（1）a＝−1，b＝1，c＝5；（2）−6；（3）BC−AB＝2. 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）根据绝对值的性质化简即可； （3）首先求出A，B，C所在位置，然后计算出BC和AB，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴c−5＝0，a＋b＝0， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1，c＝5 ，a＝−1； （2）|x＋1|−|x−1|−2|x＋3|＝（x＋1）−（−x＋1）−2（x＋3）＝x＋1＋x−1−2x−6＝−6； （3）3秒钟后，A在−4的位置，B在7的位置，C在20的位置， ∴BC＝20-7＝13，AB＝7－（－4）＝11， ∴BC−AB＝2． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，非负数的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键 题型08绝对值的非负性在求最值中的应用 【典例分析】 【例8-1】（2024七年级上·全国·专题练习）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选： 【例8-2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【例8-3】（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键 【变式演练】 【变式8-1】（七年级下·山东济南）的最小值是（    ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【答案】C 【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可． 【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）； 所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020； 当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；… 当x=1011时，|x-1011|有最小值0． 综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值， 最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021| =1010+1009+…+0+1+2+…+1010 =1011×1010 =1021110． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键． 【变式8-2】（23-24六年级上·山东淄博·期末）若式子有最小值，则该最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为： 【变式8-3】（21-22七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝　 　； (2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　 　； (3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值． 【答案】(1)1 (2)4 (3)几何意义：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值，﹣2.5或4.5 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x﹣3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离，若|x﹣3|＝|x+1|，则此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可； （2）求|x﹣3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值． （3）由于x﹣3及x+1的符号不能确定，故应分情况讨论． 【详解】（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0， ∴原式可化为3﹣x＝x+1， ∴x＝1； 故答案为：1． （2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值． ∴|x﹣3|＝3﹣x，|x+1|＝x+1， ∴|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4； 故答案为：4． （3）几何意义：在数轴上与3和﹣1所表示的点的距离和为7的点对应的x的值． 在数轴上3和﹣1的距离为4，则满足方程的x的对应点在﹣1的左边或3的右边． 若x的对应点在﹣1的左边，则x＝﹣2.5； 若x的对应点在3的右边，则x＝4.5． 所以原方程的解是x＝﹣2.5或x＝4.5． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，解答此类问题时要用分情况讨论的思想 题型09绝对值在实际问题中的应用 【典例分析】 【例9-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案，解题的关键是理解绝对值的意义． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：． 【例9-2】（七年级上·北京海淀·期末）厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ． 【答案】丁 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵|+1.5|=1.5，|-3.5|=3.5， |+0.7|=0.7，|-0.6|=0.6， 0.6＜0.7＜1.5＜3.5， ∴从轻重的角度看，最接近标准的是丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大 【例9-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数（单位：g），从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．    【答案】（4）号球，理由见解析 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个篮球的绝对值得： ，，，， 的绝对值最小． 所以（4）号球是最接近标准的球． 【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 【变式演练】 【变式9-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）下表是2023年9月中旬全国农产品价格变化情况统计表 流动领域中农产品价格变化表 种类 稻米 小麦 玉米 棉花 生猪 大豆 豆粕 油料花生 涨跌幅 1 其中价格变化最大是（    ） A．稻米 B．生猪 C．豆粕 D．玉米和棉花 【答案】C 【分析】价格变化分上涨与下跌两种情况，上涨为正数，下跌为负数，分别计算表格中的涨跌幅的绝对值是解题的关键． 【详解】稻米、生猪、豆粕、玉米和棉花的涨跌幅分别是，分别计算其绝对值，其中绝对值最大的是豆粕：． 故价格变化最大的豆粕． 故选：C． 【变式9-2】（七年级上·全国·单元测试）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 【答案】五 【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的． 【详解】解:依题意,有 |−0.6|＜|+0.8|＜|−2.5|＜|−3.5|＜|+5| 由于“绝对值越小,距离标准越近” 所以质量接近标准的是五号排球． 【点睛】本题考查了正数与负数，解题的关键是熟练的掌握正数与负数的相关知识 【变式9-3】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？ (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 【答案】(1)第1，4，5，6瓶符合要求 (2)第6瓶净含量最接近规定的净含量 【分析】（1）根据题意可以得出只要检查结果在 -0.002 到 +0.002 范围内的产品即为合乎要求的，即可得出答案； （2） 根据结果越接近 0 质量越好，即可得出答案； 【详解】（1）因为，，，，，，所以这6瓶食用调和油中第1，4，5，6瓶符合要求． （2）第6瓶的绝对值最小，所以第6瓶净含量最接近规定的净含量． 【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，用正数和负数表示实际物理量时具有相反的意义，而相反的意义的量包含两个因素：一是意义相反；二是他们都是量，并且是同类的量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$