精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题

山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题 一、选择题：（本题共12个小题，每小题4分，滴分48分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 【答案】C 【解析】 【分析】根据的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半判断A正确，不符合题意；根据等腰三角形“三线合一”的性质判断B正确，不符合题意；根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断C错误，符合题意；根据三角形外心的定义判断D正确，不符合题意． 【详解】解：A．根据的直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以A选项正确，不符合题意； B．根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以B选项正确，不符合题意； C．根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以C选项错误，符合题意； D．根据外心定义：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ） A. 打草惊蛇，叶落归根 B. 竹篮打水，水中捞月 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、打草惊蛇，叶落归根，是必然事件，故此选项错误； B、竹篮打水，水中捞月，是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误； D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键． 3. 已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质分别判断即可． 【详解】解：∵a＞b，则 ①当a=0时，，故错误； ②当a＜0，b＜0时，，故错误； ③若，则，即，故错误； ④若，则，则，故正确； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化． 4. 如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（ ）． A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决． 【详解】解：∵AO平分∠DAE， ∴∠1=∠2， 在△AOD和△AOE中，， ∴△AOD≌△AOE（SAS）， ∴∠D=∠E，OD=OE； 在△AOC和△AOB中，， △AOC≌△AOB（SAS）； 在△COD和△BOE中，， ∴△COD≌△BOE（ASA）； 在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）； 由上可得，图中全等三角形有4对， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 5. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a＞1 C. a＜0 D. a＞0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键． 6. 如图，在中，，将沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ） A. 80° B. 40° C. 90° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】由轴对称的性质得出∠C=∠D，再由∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，即可得到∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，从而求出答案． 【详解】解：由题意得：∠C=∠D， ∵∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C， ∴∠1－∠2=2∠C=80°． 故选：A． 【点睛】本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，运用三角形外角的性质及轴对称的性质找出角与角之间的关系是解题的关键． 7. 将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：圆形靶子被分成8个面积相等的区域，其中阴影部分区域为5个， 故飞镖落在阴影部分的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 8. 如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　） A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答． 【详解】解：如图：由题意得： ∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°， ∵AD∥BE， ∴∠DAB＝∠ABE＝40°， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°， 故选：A． ． 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设马每匹x两，牛每头y两，根据马四匹、牛六头，共价四十八两与马三匹、牛五头，共价三十八两列方程组即可． 【详解】设马每匹x两，牛每头y两，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 10. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 且不等式组的解集为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 11. 如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解． 【详解】解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图： 根据题意：， ， ， ， ， ， 相交于点， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解． 12. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13. “若a2＝b2，则a＝b”这一事件是_____．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】随机事件 【解析】 【分析】直接利用随机事件的定义得出答案． 【详解】解：若a2＝b2，则a＝±b， 故若a2＝b2，则a＝b，这一事件是随机事件, 故答案为：随机事件． 【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键． 14. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =___°． 【答案】95 【解析】 【详解】∵MF//AD，FN//DC， ∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°. ∵△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°. 在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°. 故答案为：95 15. 已知二元一次方程组为，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】将两方程相加可求x+y的值． 【详解】解： ①+②可得：3x+3y=15， ∴5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由是的角平分线可得，可证出，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． 17. 对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3；[-2.5]=-3；……；若，则m的取值范围为______． 【答案】-7≤m＜-5## 【解析】 【分析】根据[m]表示不大于m最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵[m]表示不大于x的最大整数， ∴-5≤＜-5+1， 解得-7≤m＜-5． 故答案为：-7≤m＜-5． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，关键是根据[m]表示不大于m的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集． 三、解答题：本大题共7小题，共82分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查求不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 19. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 20. 在综合与实践课上，同学们以“一个含直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． （1）在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由． 【答案】（1） （2）理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； 【小问1详解】 ，， ， ， ， 【小问2详解】 理由如下： 过点B作， ， ，， ， ， ，， ， 即， ， ． 21. 如图，直线与直线相交于点． （1）求出a，b的值； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入直线的解析式可得的值，从而可得点的坐标，再将其代入直线的解析式可得的值； （2）先求出当时，直线中自变量的值，再结合函数图象即可得． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 则， 把点代入得：，解得：． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，，解得， 不等式表示的是函数的图象位于轴上方，且位于函数的图象的下方， 则由函数图象得：． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． 22. 为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？ （2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？ 【答案】（1）每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元． （2）有2种购买方案． 【解析】 【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据购买20个垃圾箱的总费用低于2150元且至少购买6个B型垃圾箱，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出购买方案的个数． 小问1详解】 解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元； 【小问2详解】 解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱， 依题意，得：， 解得：6≤m＜． 又∵m为整数， ∴m可以为6，7， ∴有2种购买方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE． （1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形； （2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析． （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质得到AD=AE，∠DAC=∠EAC，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=60°．求得．根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）延长CF到点G，使GF=CF，连接BG．根据线段中点的定义得到BF=EF．根据全等三角形的性质得到GB=CE，∠G=∠FCE．由对称的性质得到CD=CE，∠ACD=∠ACE=120°．根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 ∵点D，E关于直线AC对称， ∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC． ∵ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°． ∵点D为线段BC的中点， ∴． ∴∠DAC＝∠EAC＝30°． ∴∠DAE＝60°． ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 【小问2详解】 补全图形．如图所示， 线段AD与CF的数量关系：AD＝2CF． 证明：延长CF到点G，使GF＝CF，连接BG． ∵F为线段BE的中点， ∴BF＝EF 在△BFG和△EFC中， ， ∴△BFG≌△EFC（SAS）． ∴GB＝CE，∠G＝∠FCE． ∴BG∥CE ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°． ∴∠ACD＝120°． ∵点D，E关于直线AC对称， ∴CD＝CE，∠ACD＝∠ACE＝120°． ∴CD＝BG，∠BCE＝60°． ∵BG∥CE． ∴∠BCE+∠CBG＝180° ∴∠CBG＝120°． ∴∠ACD＝∠CBG． 在△ACD和△CBG中， ∴△ACD≌△CBG（SAS）． ∴AD＝CG． ∴AD＝2CF． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 24. 数学课上，王老师出示了如下框中题目． 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，归纳猜想：当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，演绎证明：如图2，当点为边上任意一点时，线段与的大小关系是：（填“＞”，“＜”或“＝”），小敏和小聪过点作，交于点，请帮助小敏和小聪完成接下来的证明过程． （3）拓展延伸，问题解决：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为1，，求的长．（请自己画图，并完成解答）． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先由等边三角形的性质得到，，再证出，即可得出结论； （2）作交于．证明，推出，即可得出； （3）分两种情形讨论：①当在的延长线上时，作交的延长线于，易证，可得，； ②当在的延长线上时，作交的延长线于，易证，可得，，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：是等边三角形，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的大小关系是：，理由如下： 如图2，过点作，交于点． 则，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图3，当在的延长线上时，作交的延长线于 ， 同（2）得：， ， ， 如图4中，当在的延长线上时，作交的延长线于， 同（2）得：， ， ． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题 一、选择题：（本题共12个小题，每小题4分，滴分48分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半 B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ） A 打草惊蛇，叶落归根 B. 竹篮打水，水中捞月 C. 瓜熟蒂落，水到渠成 D. 心想事成，万事如意 3. 已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（ ）． A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ） A. a＜1 B. a＞1 C. a＜0 D. a＞0 6. 如图，在中，，将沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ） A 80° B. 40° C. 90° D. 140° 7. 将飞镖随意投掷在如图所示的靶子上，飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　） A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20° 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13. “若a2＝b2，则a＝b”这一事件是_____．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 14. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =___°． 15. 已知二元一次方程组为，则______． 16. 如图，是的角平分线，于点，，分别是边，上的点，，则________度． 17. 对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3；[-2.5]=-3；……；若，则m的取值范围为______． 三、解答题：本大题共7小题，共82分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 20. 在综合与实践课上，同学们以“一个含直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． （1）在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由． 21. 如图，直线与直线相交于点． （1）求出a，b的值； （2）根据图象直接写出不等式解集． 22. 为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？ （2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？ 23. 已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE． （1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形； （2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明． 24. 数学课上，王老师出示了如下框中的题目． 在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，归纳猜想：当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，演绎证明：如图2，当点为边上任意一点时，线段与的大小关系是：（填“＞”，“＜”或“＝”），小敏和小聪过点作，交于点，请帮助小敏和小聪完成接下来的证明过程． （3）拓展延伸，问题解决：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若等边三角形的边长为1，，求的长．（请自己画图，并完成解答）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$