精品解析：湖南省衡阳市衡山县2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题

2023年下学期期末模拟检测试卷 九年级数学 （120分钟，满分120分） 卷首语：亲爱的同学们，大家好！让我们对本学期所学的知识进行梳理一下吧！希望同学们能够认真审题，细心地解答每一道题，相信自己是最棒的！ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的求法解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查了算术平方根，属于基础题，要注意符号问题． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 6，2，5 B. 2，，5 C. 2，， D. ，6，5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义进行解答即可． 【详解】将化为一般式为， ∴二次项系数为：2；一次项系数为：-6；常数项为：-5； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的各个项系数的辨别，将方程化为一般式是解题的关键． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，被开方数含有能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，被开方数中含有分母，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，被开方数含能开的尽方的因式a4，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知最简二次根式的概念是关键． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 解得． 故选C． 5. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可． 【详解】， ， ， ， 故选C． 6. “水中捞月”事件发生的概率是（　　） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然发生的事件的概率P（A）=1和不可能发生事件的概率P（A）=0解答即可． 【详解】∵“水中捞月”是不可能发生的事， ∴“水中捞月”事件发生的概率是0. 故选A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟知必然发生的事件的概率P（A）=1，不可能发生事件的概率P（A）=0是解决问题的关键． 7. 顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【详解】分析：因为等腰梯形的对角线相等，根据三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，即可判定为菱形． 详解：如图所示， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AC=BD. ∵四边形ABCD为等腰梯形，且E、F、G、H是各边中点， 根据三角形中位线定理得， EF=GH=BD，FG=EH=AC， ∴EF=GH=FG=EH. ∴四边形EFGH为菱形. 故选B. 点睛：本题本查了等腰梯形的性质和三角形中位线的性质.根据题意画出图形并做出辅助线是解题的关键. 8. 太阳光照射下的某一时刻，高的竹竿影长，那么影长为的旗杆的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设旗杆高为x，根据同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的得 ∴x=18 ∴旗杆高为18m 故选B 考点：相似三角形的应用． 9. 如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ， 共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 10. 为了绿化校园，某校计划经过两年时间，绿地面积增加、设平均每年绿地面积增长率为，则方程可列为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），设平均每年绿地面积增长率为x，根据题意可得出方程． 【详解】解：设原来的绿地面积为单位1，平均每年绿地面积增长率为x，根据题意得： （1＋x）2＝1＋21%． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握求增长率问题的一般规律是解题的关键． 11. 如图，是等边三角形，被一平行于矩形所截，被截成三等分，图中阴影部分的面积是的面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，易证，利用相似三角形的性质解决问题即可. 【详解】解：∵被截成三等分， ∴， ∴，， ∴， ， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中. 12. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，利用可证；利用，结合公共角相等，可证；连接，先证明，得到，再证明，利用三角形相似的性质证明即可． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； 连接， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 当___________时，二次根式在实数范围内有意义； 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 解得， 故答案为：． 14. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将化为含有式子的形式，进行计算即可得，将代数式化为已知的形式，运用“整体思想”解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，、是两条中线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、是两条中线，得到，得到，根据性质，得到，继而解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是两条中线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 【答案】2 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了一元二次方程的定义及解法，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得（舍去）， 故答案为：2． 17. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 【答案】12米 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC=1：， ∴AC=•BC=6（米）， ∴AB===12（米） 故答案为：12米 【点睛】考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 18. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC的长，找到相似比和规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， AC===， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为 因为矩形都相似，且每相邻两个矩形的相似比=， ∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4， ∵矩形ABCD的面积=2×1=2， ∴矩形AB1C1C的面积 即规律为： =2×1=2， =， ===， ．．．， ==．．．===． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图-相似变换，矩形的性质，勾股定理，解此题的关键是能根据相似多边形的性质求出的结果、得出规律． 三、解答题（共66分） 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】14 【解析】 【分析】根据，得，变形，代入计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握公式法计算二次根式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴． 20. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根化简求解即可． 本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值的计算，算术平方根，熟练掌握公式和三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 21. 将图中的作下列变换，画出相应的图形： （1）关于y 轴对称图形； （2）以B点为位似中心，将放大到2倍． 【答案】（1） 画图如下： （2） 画图如下： 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． 本题考查了轴对称作图，位似作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故对称坐标为． 【小问2详解】 略 22. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 23. A箱中有三张质地相同的卡片，它们分别写有数字，，3，B箱中装有三张质地相同的卡片，它们分别写有数字1，，2．现从A箱，B箱中，各随机地取出一张卡片，请你用画树状图或列表的方法求： （1）两张卡片上的数字恰好相同的概率； （2）两张卡片上的数字之积为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，解题的关键是： （1）画树状图分析，得到所有可能出现的结果和两张卡片上的数字恰好相同的结果，然后利用概率公式求解即可； （2）画树状图分析，得到所有可能出现的结果和两张卡片上的数字之积为正数的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图，如下： 所有可能出现的结果共有9种等可能结果，两张卡片上的数字恰好相同有1种， ∴两张卡片上的数字恰好相同的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图，如下： ∴所有可能出现的结果共有9种等可能结果，两张卡片数字之积为正数有4种， 两张卡片数字之积为正数的概率为． 24. 图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为，锐角为60度． （1）连接、，猜想它们的位置关系并加以证明； （2）求A、B两点之间的距离（结果保留根号） 【答案】（1） 解：猜想． 证明：连接． ∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成的夹角，菱形的锐角为， ∴， ， ∴， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接．根据菱形的性质和角的和差关系可得，再根据平行线的判定可得，的位置关系； （2）根据菱形的性质可得，，再根据三角函数可得，，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成的夹角，菱形的锐角为， ∴，， ∴， 同理， 又， ∴， ∴A、D、B三点共线， ∵菱形， ∴，， ∴， 同理可得， ， 则， 同理可得，， ∴． 答：A，B两点之间的距离大约为． 25. 某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． （1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） （2）设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 （3）每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 【答案】（1）88 （2）；或；或；元 （3）当每辆车的月租金为4050元时，月收益最大，最大月收益为307050元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，构造二次函数求最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． （1）根据题意，未租出车辆数为， 减法计算即可． （2）根据题意，得未租出的车辆数为；租出车辆数为：或；所有未租出的车每月的维护费为元；租出的车每辆的月收益元，解答即可． （3）设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得，构造二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，未租出车辆数为， 故租出车辆数为：． 故答案为：88． 【小问2详解】 解：根据题意，得，未租出的车辆数为； 租出车辆数为：或； 所有未租出的车每月的维护费为元； 租出的车每辆的月收益元． 故答案为：；或；或；． 【小问3详解】 设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得， ， ∵， ∴W有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为307050， 答：每辆车的月租金定为4050元时，租车公司的月收益最大．最大月收益是307050元． 26. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=． （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（1，3）；（2）D（，0）；（3）这样的m存在．m=． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，根据题意求出点B的坐标，利用待定系数法求出过点A，B的直线的函数表达式；（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）分PQ∥BD时和PQ⊥AD时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 试题解析：(1)∵点A(−3,0),C(1,0)， ∴AC=4,又BC=AC， ∴BC=3， ∴B点坐标为(1,3)， 设过点A，B的直线的函数表达式为：y=kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的函数表达式为：y=x+； (2)如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D， ∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB， ∴△ADB∽△ABC， ∴D点为所求， ∵△ADB∽△ABC， ∴,即=， 解得,CD=， ∴OD=OC+CD=， ∴点D的坐标为(,0)； (3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==5， 如图2,当PQ∥BD时,△APQ∽△ABD， 则， 解得,m=， 如图3,当PQ⊥AD时,△APQ∽△ADB， 则， 解得,m=， 所以若△APQ与△ADB相似时,m=或. 点睛：本题考查的是一次函数综合题，涉及相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年下学期期末模拟检测试卷 九年级数学 （120分钟，满分120分） 卷首语：亲爱的同学们，大家好！让我们对本学期所学的知识进行梳理一下吧！希望同学们能够认真审题，细心地解答每一道题，相信自己是最棒的！ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 6，2，5 B. 2，，5 C. 2，， D. ，6，5 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 6. “水中捞月”事件发生的概率是（　　） A. 0 B. C. D. 1 7. 顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 太阳光照射下的某一时刻，高的竹竿影长，那么影长为的旗杆的高是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 10. 为了绿化校园，某校计划经过两年时间，绿地面积增加、设平均每年绿地面积增长率为，则方程可列为（ 　 ） A. B. C. D. 11. 如图，是等边三角形，被一平行于矩形所截，被截成三等分，图中阴影部分的面积是的面积的（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，．下列结论：①；②；③，其中结论正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 当___________时，二次根式在实数范围内有意义； 14. 若，则______. 15. 如图所示，、是两条中线，则_________． 16. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 17. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 18. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为________________． 三、解答题（共66分） 19. 已知，，求代数式的值． 20. 计算： 21. 将图中的作下列变换，画出相应的图形： （1）关于y 轴对称图形； （2）以B点为位似中心，将放大到2倍． 22. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 23. A箱中有三张质地相同的卡片，它们分别写有数字，，3，B箱中装有三张质地相同的卡片，它们分别写有数字1，，2．现从A箱，B箱中，各随机地取出一张卡片，请你用画树状图或列表的方法求： （1）两张卡片上的数字恰好相同的概率； （2）两张卡片上的数字之积为正数的概率． 24. 图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为，锐角为60度． （1）连接、，猜想它们的位置关系并加以证明； （2）求A、B两点之间的距离（结果保留根号） 25. 某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． （1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） （2）设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 （3）每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 26. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=． （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $