第十一讲 三角形的外接圆和内切圆 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

三角形的外接圆和内切圆 【同步知识梳理】 【探究活动一】 （1）如图，做经过已知点A的圆，这样的圆你能做出多少个？ （2）如图做经过已知点A、B的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？ （3）思考:经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？ 如图 三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直的平分线上，又要在线段BC的垂直的平分线上． 1．分别连接AB、BC、AC 2．分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设他们的交点为O ，则OA=OB=OC； 3．以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆． 由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即： 结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆． 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． （4）思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ （5）锐角三角形的外心在三角形的__________；直角三角形的外心在_________；钝角三角形在________________ （6）外接圆半径的求法：设取未知数+勾股定理 设BC=a，则BE=，OB=r ∠O=∠A sinA= r= 【探究活动二】 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 【探究活动三】 （1）画图并思考：如图，已知∠AOB，在其内部找一点M，使M到射线OA、OB的距离相等. 上的点到这个角两边的距离相等 （2）想一想：已知△ABC，怎样作⊙O，使它与△ABC的三边都相切. （3）与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 叫做三角形的内心. （4）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部 （5）求三角形内切圆的半径 例题：1.已知：如图，⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明：∠BIC＝90°＋∠BAC； 2.在△ABC中，AC＝b , BC＝a , AB＝c，⊙I的半径r，则有S△ABC＝r(a＋b＋c)； 3.△ABC中，若∠BCA＝90°，AC＝b , BC＝a , AB＝c,求内切圆半径r的长. 总结： 非直角三角形内切圆的半径：r=_______（s是三角形的面积；c是三角形的周长） 直角三角形内切圆的半径：r=______________（a，b是三角形两直角边，c是直角三角形的斜边） 【精题精练精讲】 题型一：三角形外心定义辨析 1．下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 2．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选：B． 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是(   ) A． B． C． D．点是的外心 【答案】C 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， A正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故B正确． 故选：C 题型二：求三角形外心坐标（外接圆半径） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是___________ 【答案】（3，1） 【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P， 则点P为△ABC外接圆的圆心， 由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1） 2．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为 . 【答案】（2，0） 【详解】解：过点B作BD⊥AC， ∵A（0，0），B（2，2）， ∴BD=AD=2， ∴∠ABD=∠BAD=45°， 又∵C（4，0）， ∴CD=AD=2=BD， ∴∠DCB=∠DBC=45°， ∴∠ABC=90°， ∴点A、B、C三点在以点D为圆心，AD长为半径的圆上， 所以圆心的坐标为（2，0）， 故答案为（2，0）. 3．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内 【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为； （2），， ， 即的半径为； （3），， ， ， 点在内． 4．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 5．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得： ， 则， 解方程可得：， 故答案为． 题型三：切线长定理 1．如图，，，分别与相切于点，，，与，分别相交于，两点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别切于交于两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，分别切于点A，B，切于点E，且分别交于点C，D，若，则的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 【答案】C 【详解】解：∵分别切于点A，B，切于点E，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 3．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    4．如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，分别与相切于点，， ，， ，， 为的直径，， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， 故选：B． 题型四：求内切圆的半径 1．已如△ABC的面积18cm2，其周长为24cm，则△ABC内切圆半径为（　　） A．1cm B．  cm C．2cm D． cm 【答案】B 【详解】解：设内切圆的半径是r， 则， 解得∶r=1.5． 故选B． 2．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ． 【答案】2 【详解】直角三角形的斜边， 所以它的内切圆半径. 故答案为2． 3．如图，内切于，切点分别为、、，若的周长是，，则的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：分别连接IA，IB，IC，IE，IF， 由图可知, S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△ICA=（AB•IF+BC•IE+CA•ID）=（AB+BC+CA）×1=3. 4．如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、． （1）求的周长； （2）求内切圆的面积． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，，， ∵，，圆内切于，切点分别为、、， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：； （2）连接，， 由（1）得：， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴内切圆的面积为：． 题型五：三角形内心的性质 1．点I是的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】如图， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴． 故选：A． 2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 【答案】BC、AC的长分别是10cm、cm. 【详解】解：∵圆O内切于△ABC， ∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCO=×90°=45°， ∵∠BOC=105°， ∴∠CBO=180°−45°−105°=30°， ∴∠ABC=2∠CBO=60°， ∴∠A=30°， ∴BC=AB=×20=10cm， ∴AC= ∴BC、AC的长分别是10cm、cm. 3．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ °． 【答案】55 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI， ∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝70°， ∴∠BID＝∠DBI＝＝55° 故答案为：55． 4．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．6.5 B．7 C．5.5 D．6 【答案】D 【详解】如图，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 平移使其顶点与重合， ，， ，， ，， ，， ， 即图中阴影部分的周长为6． 故选：D． 题型六：内心和外心的综合运用 1．如图，点在的内部，，以下两题任选一题解答： 若点是的外心，则的度数等于 ； 若点是的内心，则的度数等于 ． 【答案】 110° 【详解】（1）若点O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°．故填：80°； （2）若点O是△ABC的内心，则∠BOC=90°+∠BAC=90°+20°=110°． 故填：110°． 2．如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 【答案】B 【详解】解：连接OB，OC，如图， 点 O 是△ABC 的内心， ，， ， ， 点 O是△DBC 的外心， ， 故选：B． 3．如图，点0为的外心，点I为的内心，若，则 . 【答案】125° 【详解】解：∵点O为△ABC的外心 ∴ ∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110° ∵点I为△ABC的内心 ∴ ∴∠BIC=180°-55°=125° 故答案为125°. 4．如图，在中，＝，＝，＝，则的外心和内心之间的距离为 ．    【答案】 【详解】如图，作的内切圆，过点作于，于，于，确定的中点为点，即点为的外心，    在中，∵，＝，＝， ∴， ∵点为的外心， ∴为外接圆半径， 设的半径为，则， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， 在中，∵，， ∴， 故答案为：． 5．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，求证： 【答案】证明：连接 点是的内心， ∴，， 由圆周角定理得，， ∴， ∴. 题型七：尺规作图 1．已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 【答案】如图所示： 根据作图可知：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心就是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外． 2．已知等边三角形ABC． （1）用尺规作图找出△ABC外心O．     （2）记外心O到三角形三边的距离和为d，到三角形三个顶点的距离和为D，求 的值 【答案】（1）详见解析；（2）. 【详解】（1）用直尺和圆规分别作线段AB、BC的垂直平分线CF、AE，两条垂直平分线相较于点O，点O即为△ABC的外心； （2）设△ABC的外接圆的半径为R， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠OCB= 30 ° ，则OE= , ∴外心O到三角形三边的距离和d= , 外心O到三角形三个顶点的距离和D=3R， ∴= . 3．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm． 【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点， 以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 4．已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 【答案】根据题意可知，先作∠A的角平分线， 再作线段BC的垂直平分线相交于O， 即以O点为圆心，OB为半径，作圆O， 如下图所示： 5．已知：． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 【答案】(1)作图见详解(2)9.1 【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点， （2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵内切圆的半径为1.3， ∴OD=OF=OE=1.3， ∵三角形ABC的周长为14， ∴AB+BC+AC=14， 则 故三角形ABC的面积为9.1． 【能力拓展训练】 1.如图，已知五边形ABCDE的各边均与⊙O相切，切点分别是M，N，P，Q，R，且AB＝5，BC＝7，CD＝8，DE＝9，EA＝4，则的值是________． 答案： 2．等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为 ． 【答案】2或4 【详解】解：分两种情况考虑：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示， 过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB， ∵OD＝3，OB＝5， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD＝4， 在Rt△ABD中，AD＝AO＋OD＝8，BD＝4， 根据勾股定理得：AB＝＝4； 当△ABC为钝角三角形时，如图2所示， 过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB， ∵OD＝3，OB＝5， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD＝4， 在Rt△ABD中，AD＝AO﹣OD＝2，BD＝4， 根据勾股定理得：AB＝＝2， 综上，AB＝2或4． 故答案为2或4 3．如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 4．已知：如图，边长为的正内有一边长为的内接正，则的内切圆半径为 ． 【答案】 【详解】设内接圆半径为d 容易证明△AEF、△BED、△CDF两两全等,则AE+AF=AE+BE=a 那么,S△ABC=S△DEF+S△AEF+S△BED+S△CDF=S△DEF+3S△AEF S△ABC=,S△DEF=,S△AEF== 代入得=+3 d= 【课后知识应用】 1．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．其中错误的结论序号有 【答案】①②③ 【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该加个前提条件即：在同圆或等圆中； ③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径的前提下才满足上述结论； ④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确； ⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确． 2．内心和外心重合的三角形是(   ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】等边三角形的内心和外心如图所示： 故选D. 3．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为 ． 【答案】2：5 【详解】根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10． 根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是5cm， 根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2cm， ∴三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为：2：5， 故答案为：2：5． 4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1)(2)在圆外 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 5．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点 （1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径． 【答案】（1）作图略 ；（2）60cm. 【详解】①如图1所示： ②如图2,∵AC=BC=60cm,   ∴ 又∵ BO=CO， ∴ ∴△OBC是等边三角形， ∴半径为60cm. 6．如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析(2)，外接圆的半径是 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 7．如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 【答案】．（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆； （2）证明：如图， ，， 四边形为平行四边形， ，， 在和中， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ． 【答案】（6，6） 【详解】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆 ∴点M在AB、BC的垂直平分线上， ∴BN=CN， ∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0） ∴OA=OB=4，OC=8， ∴BC=4， ∴BN=2， ∴ON=OB+BN=6， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠MON=45°， ∴△OMN是等腰直角三角形， ∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）． 故答案为（6，6）． 9．如图，⊙是的内切圆，D，E，F为切点，且，求，，的长． 【答案】 【详解】解：设， 根据切线长定理得：， 解得：， ∴． 10．如图，在中，，，它的周长为16．若与，，三边分别切于，，点，求的长．    【答案】2 【详解】∵与，，三边分别切于，，点， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∵的周长为16，即， ∴， ∴， ∴． 11．如图，是的直径，，分别与相切于点A，点C，若，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵，分别与相切于点A，点C， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 故选：B． 12．如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点定A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 13．如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴，为半圆E的切线， 又∵为半圆E的切线， ∴，． 设， 则有，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 故答案为：． 14．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． (1)求证：EB=EI； (2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 【答案】(1)见解析 (2)AI=4 【分析】（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB； （2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心， ∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC， ∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI， ∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD， ∵∠CBE=∠CAE， ∴∠BIE=∠EBI， ∴EB=EI； （2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN， ∵∠BAE=∠CAE， ∴=， ∴BE=EC=4． ∵AE=AE，EM=EN， ∴△AEM≌△AEN， ∴AM=AN． ∵BE=EC，EM=EN， △BME≌△CNE(HL)， ∴BM=CN． 设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1， ∴AM=7． 又∵BE=4，由勾股定理得，EM==． ∴AE==8， ∵EI=BE=4， ∴AI=AE−EI=4． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的外接圆和内切圆 【同步知识梳理】 【探究活动一】 （1）如图，做经过已知点A的圆，这样的圆你能做出多少个？ （2）如图做经过已知点A、B的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？ （3）思考:经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？ 如图 三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直的平分线上，又要在线段BC的垂直的平分线上． 1．分别连接AB、BC、AC 2．分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设他们的交点为O ，则OA=OB=OC； 3．以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆． 由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即： 结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆． 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． （4）思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ （5）锐角三角形的外心在三角形的__________；直角三角形的外心在_________；钝角三角形在________________ （6）外接圆半径的求法：设取未知数+勾股定理 设BC=a，则BE=，OB=r ∠O=∠A sinA= r= 【探究活动二】 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 【探究活动三】 （1）画图并思考：如图，已知∠AOB，在其内部找一点M，使M到射线OA、OB的距离相等. 上的点到这个角两边的距离相等 （2）想一想：已知△ABC，怎样作⊙O，使它与△ABC的三边都相切. （3）与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 叫做三角形的内心. （4）锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部 （5）求三角形内切圆的半径 例题：1.已知：如图，⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，试说明：∠BIC＝90°＋∠BAC； 2.在△ABC中，AC＝b , BC＝a , AB＝c，⊙I的半径r，则有S△ABC＝r(a＋b＋c)； 3.△ABC中，若∠BCA＝90°，AC＝b , BC＝a , AB＝c,求内切圆半径r的长. 总结： 非直角三角形内切圆的半径：r=_______（s是三角形的面积；c是三角形的周长） 直角三角形内切圆的半径：r=______________（a，b是三角形两直角边，c是直角三角形的斜边） 【精题精练精讲】 题型一：三角形外心定义辨析 1．下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 2．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是(   ) A． B． C． D．点是的外心 题型二：求三角形外心坐标（外接圆半径） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是___________ 2． 在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为 . 3．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 4．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 题型三：切线长定理 1．如图，，，分别与相切于点，，，与，分别相交于，两点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，分别切于点A，B，切于点E，且分别交于点C，D，若，则的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 3．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    4．如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 题型四：求内切圆的半径 1．已如△ABC的面积18cm2，其周长为24cm，则△ABC内切圆半径为（　　） A．1cm B．  cm C．2cm D． cm 2．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ． 3．如图，内切于，切点分别为、、，若的周长是，，则的面积为 ． 4．如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、． （1）求的周长； （2）求内切圆的面积． 题型五：三角形内心的性质 1．点I是的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D．或 2．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长． 3．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ °． 4．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．6.5 B．7 C．5.5 D．6 题型六：内心和外心的综合运用 1．如图，点在的内部，，以下两题任选一题解答： 若点是的外心，则的度数等于 ； 若点是的内心，则的度数等于 ． 2．如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 3．如图，点0为的外心，点I为的内心，若，则 . 4．如图，在中，＝，＝，＝，则的外心和内心之间的距离为 ．    5．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，求证： 题型七：尺规作图 1．已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 2．已知等边三角形ABC． （1）用尺规作图找出△ABC外心O．     （2）记外心O到三角形三边的距离和为d，到三角形三个顶点的距离和为D，求 的值 3．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 4．已知：．． 求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上， 5．已知：． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 【能力拓展训练】 1.如图，已知五边形ABCDE的各边均与⊙O相切，切点分别是M，N，P，Q，R，且AB＝5，BC＝7，CD＝8，DE＝9，EA＝4，则的值是________． 3． 等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为 ． 3．如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知：如图，边长为的正内有一边长为的内接正，则的内切圆半径为 ． 【课后知识应用】 1．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．其中错误的结论序号有 2．内心和外心重合的三角形是(   ) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm，则三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为 ． 4．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 5．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点 （1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹） （2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，求该残破圆轮片的半径． 6．如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 7．如图，在中，． (1)尺规作图：作出经过，，三点的．(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接并延长，交于点，连接，．求证： 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ． 9．如图，⊙是的内切圆，D，E，F为切点，且，求，，的长． 10．如图，在中，，，它的周长为16．若与，，三边分别切于，，点，求的长．    11．如图，是的直径，，分别与相切于点A，点C，若，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D． 12．如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为 ． 13．如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 14．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E． (1)求证：EB=EI； (2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$