解析几何定点问题专项训练 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

解析几何定点问题专项训练 解析几何定点问题专项训练 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知椭圆：（），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得的内心也在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24高二上·深圳实验学校·期末）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 4．（23-24高三上·深圳外国语学校、执信中学·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 5．（23-24高二上·深圳市盐田高级中学·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知圆，点，动圆经过点，且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； (2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 8．（23-24高二上·珠海市第一中学·期末）已知椭圆的左､右焦点为，且，点为椭圆上一点，满足的周长等于12. (1)求椭圆的方程； (2)过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由. 9．（23-24高二上·深圳市宝安区·期末）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点． 10．（23-24高二上·广东省中山市·期末）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何定点问题专项训练 解析几何定点问题专项训练 1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【详解】（1）由题意可得，， 又由，得， 所以的方程为. （2）显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由消去整理得， ， 所以， 直线的方程为， 根据的对称性可知，若直线恒过定点，则定点在轴上， 令，解得 所以直线过定点. 2．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知椭圆：（），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得的内心也在轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为直线过右焦点且斜率不为零，设直线的方程为，，， 联立，得，恒成立， 所以，， 设轴上存在定点使得的内心在轴上， 则直线和关于轴对称，所以直线和的倾斜角互补， 所以，即， 所以，即， 整理得，即， 即对所有恒成立，所以， 所以存在定点符合题意. 3．（23-24高二上·深圳实验学校·期末）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1， 椭圆必不过，所以过三点，将代入椭圆方程得 ，解得，， ∴椭圆的方程为：； （2）① 依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称， 必有，不合题意，所以直线斜率必不为0， 设其方程为，与椭圆联立， 整理得：， 所以， 且因为点是椭圆上一点， 即，设直线的斜率为， 所以， 所以，即， 因为 ， 所以， 此时， 故直线恒过定点； ②由①得， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 所以的最大值为． 4．（23-24高三上·深圳外国语学校、执信中学·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由椭圆过可得，可得， 又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点、，易知点、， 若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，则中点. 因为，则点是在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 在圆的方程中，令，得， . 所以，即， 又因为， 所以，即，解得， 所以点坐标为. 5．（23-24高二上·深圳市盐田高级中学·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上， 取得到，即，又， 解得，，（舍去负值），故椭圆方程为， （2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，， 则，整理得到， ， 故，，即，    同理可得：，则， 故直线的方程为：， 取， . 故直线过定点. 当有直线斜率不存在时，为轴，过点. 综上所述：直线必过定点 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知圆，点，动圆经过点，且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由已知，故点在圆内部，所以圆与圆内切， 设，则， 因此为以焦点的椭圆， 设该椭圆长半轴长为，短半轴长，半焦距为， 且知，于是， 因此轨迹的方程为. （2）设轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点， 设直线的方程为， 联立方程， 整理得，， 设，则， 则， 即有:， 而 ， ， 代入上式得， 整理可得:， 可见总满足上面等式， 即轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点. 7．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； (2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【详解】（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0， 设直线的方程为，联立方程组 消去得，可得， 解得，所以点的坐标为． 因为，所以直线的斜率为，同理可得点． 当时，有，解得，直线的方程为． 当时，直线的斜率， 则直线的方程为， 即， 即，直线过定点． 又当时，直线也过点． 综上，直线过定点． （方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 联立方程组消去得， ，即． 设，则， ． 因为，所以， 即， ， ， 化简得， 解得或， 所以直线的方程为或（过点A,不合题意，舍去）， 所以直线过定点． 当直线垂直于轴时，设它的方程为， 因为，所以． 又，解得或（过点A,不合题意，舍去）， 所以此时直线的方程为，也过点． 综上，直线过定点． 8．（23-24高二上·珠海市第一中学·期末）已知椭圆的左､右焦点为，且，点为椭圆上一点，满足的周长等于12. (1)求椭圆的方程； (2)过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)恒过定点 【详解】（1），， 又的周长等于，即，得， ，，. 故得：. （2）设，，， 由于直线经过点，故设直线方程为（）， 联立，得， 整理得， ，， . ，， ，， ， 得， 整理得：， 代入得：， ，整理得：， 令，得，故直线恒过定点. 9．（23-24高二上·深圳市宝安区·期末）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点． 【答案】(1)； (2)详见解析. 【详解】（1）由，可得， ∴，又离心率为， ∴，， ∴椭圆C的方程为. （2）设， 由，可得， ∴，可得， ， 由直线与关于轴对称， ∴，即， ∴， 即， ∴， 可得， 所以直线方程为，恒过定点. 10．（23-24高二上·广东省中山市·期末）如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8. (1)求椭圆E的方程； (2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点 【详解】（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即， ∵，∴， 又∵，∴， 故椭圆C的方程为：， （2）将联立，消元可得， ∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P， ∴， ∴， 此时，， ∴ 由得， 假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M， 设，则， ，， 整理得， 对任意实数m，k恒成立，则， 故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$