[小升初典型培优]方阵问题(知识精讲+典例分析+高频考题)(讲义)-2023-2024六年级下册数学人教版

方阵问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 【知识点归纳】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题． 数量关系： （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数﹣1）×4 每边人数＝四周人数÷4+1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2 内边人数＝外边人数﹣层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4． 【知识点归纳】 1、了解方阵的基本概念 方阵是正方形队列，行数和列数相等。 2、计算方阵的总数 实心方阵总数 = 每边数量×每边数量 3、计算方阵最外层人数 最外层人数 = 每边人数×4 - 4 （每边人数 - 1）×4 4、相邻两层人数差 相邻两层，每边相差 2 人，总人数相差 8 人。 5、空心方阵总数 空心方阵总数 = （最外层每边数量 - 层数）×层数×4 也可以先算出外层实心方阵总数，再减去空心部分的数量。 6、利用方程求解 如果条件较复杂，可以设未知数，根据题目中的数量关系列出方程求解。 7、通过画图辅助理解 对于复杂的方阵问题，画出示意图能更直观地帮助分析和解题。 【典例1】国庆阅兵展现了国家力量，某连队排成一个正方形的队伍．方队中，新兵王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个，这个方队一共有多少人？ 【答案】81人． 【分析】此题可以把这个方队看作一个实心方阵问题来解决：王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个（重复计算了一次），由此可知：王明所在的行与列的人数都是5+5﹣1＝9人，利用方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可求得方队人数． 【解答】解：5+5﹣1＝9（人） 9×9＝81（人） 答：这个方队共有81人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 【典例2】庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 【答案】（1）144盆；（2）44盆． 【分析】（1）求一共摆放了多少盆花，根据方阵总点数＝每边点数×每边点数解答即可； （2）求黄花摆放了多少盆，根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可． 【解答】解：（1）12×12＝144（盆） 答：一共摆放了144盆花． （2）12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：黄花摆放了44盆． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 【典例3】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．这个方阵最外层共用围棋子多少个？ 【答案】52个． 【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周人数即可． 【解答】解：14×4﹣4 ＝56﹣5 ＝52（个） 答：这个方阵最外层共用围棋子52个． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 【典例4】有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，需要2+5＝7人，去掉顶点1人，那么原来最外层每边的人数：（2+5﹣1）÷2＝3（人），然后根据“实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”，求出原来方阵的人数，再加上2人求出有学生多少人即可． 【解答】解：（2+5﹣1）÷2＝3（人） 3×3+2＝11（人） 答：有学生11人． 【点评】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数． 【典例5】新民小学五年级学生共120人，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，已知共有学生120人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可． 【解答】解：120÷4÷3+3 ＝10+3 ＝13（人） 答：这个方阵的最外层每边有13人． 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用． 1．学校举行团体操表演。 （1）五年级学生排成一个方阵，小明在第一排，从左往右数他在第5个，从右往左数他在第6个，这个方阵最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ （2）四年级学生也排成一个方阵，小芳和小军都排在最外层，小芳站在第一排，小军站在最后一排。如果小军从他左边同学开始按照顺时针方向数，那么小芳排在20位；如果小军从他右边同学开始按照逆时针方向数，那么小芳也排在20位，这个方阵每排有多少名学生？ 2．学校艺术节上有288人参加团体操表演．如果要排成8个方阵，每个方阵的队形可以怎样安排？能找到不同的排法吗？如果要排成12个方阵呢？ 3．小猪家周围有一个正方形果树园，每条边种36棵果树（顶点不种），小兔家周围有一个六边形果树园，将小猪家的这些果树种到小兔家果园，每条边（顶点不种）要种多少棵果树？ 4．五年级同学参加田径运动会开幕式演出，表演方阵最外层每排16人，这个方阵最外层一共有多少人？ 5．学军小学举行广播操比赛，96名学生围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 6．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 7．体育老师在正方形的场地四周共放36个足球，已知四个顶点都放了1个足球，且每边上足球的个数相同．求这个场地每边放足球的个数． 8．学校“阳光大课间”展示时，将学生排成了一个有52排，每排35人的方阵，这个方阵一共有多少人？ 9．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？ 10．庆祝元旦的会场前摆设了一个正方形的鲜花方阵，最外层每边摆12盆黄花，其余部分都是红花，黄花一共有多少盆？红花一共有多少盆？ 11．希望小学五年级同学进行体操表演，排成一个方阵后，最外一层有80人，这个方阵一共有多少人？ 12．同学们排成了一个方阵进行体操表演，最外层每边各有10人，最外层一共有多少人？ 13．一个正方形花坛四周均匀地种了424棵月季，4个顶点上也各种了1棵。每边有多少棵月季？ 14．参加“抖空竹”“舞花棒”联合表演的同学排成了一个正方形方阵，参加“抖空竹”的24名同学正好站满最外一层，参加表演的同学一共有多少人？ 15．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？ 16．在一块正方形土地的四周种树，每边都种了150棵，并且每个角上只种了一棵，这块土地的四周一共种了多少棵树？ 17．16名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？（先画图解释，再解答） 18．四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 19．为了美化环境，人们计划在正方形水池每条边上种6棵树，并且四个角必须各种1棵，你知道一共要种多少棵吗？ 20．学校运动会的开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵．在方阵中，小龙的东、南、西、北四个方向各有3个人．你知道这个方阵有多少人吗？算一算吧！ 21．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算） 22．琪琪用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有13个棋子，你知道他共用了多少个棋子吗？ 23．操场上，同学们排成一个正方形队列。欢欢的南面有4人，北面也有4人，西面有4人，东面也有4人。这个队列一共有多少人？ 24．学校要举行广播体操比赛，五年级学生训练时队伍排成10行10列，现在要增加2行2列，要增加学生多少人？ 25．在一个正方形的建筑物四周插彩旗，四个角上都插一面，每边有11面彩旗，共插了多少面彩旗？ 26．一个正方形花坛四周共栽了424朵花，4个角上各栽了1朵，每边有多少朵花？ 27．四年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边18人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有学生多少人？ 28．28个小朋友要排成一个正方形，要求每边都是8个小朋友，你知道怎么排吗？ 29．五一前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 30．学校楼前摆了一个花坛方阵，这个花坛的最外层每边各摆8盆花，最外层共摆了多少盆花？ 31．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 32．同学们排成一个长方形的队伍做操，小丽站在从右数第3列，从左数第4列，从前数第7排，从后数第2排。这个队伍一共有多少人？ 33．二年级同学参加合唱表演，现在有55个同学参加表演，至少增加几个同学就能排成正方形的队形？（简单的方阵问题） 34．小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？ 35．希望小学三（1）班共40人，要进行队列表演，如果要站成方队，至少有多少人不能参加表演？（先用〇画一画，再算一算．） 36．公园里有一个正方形花坛，最外层一共摆放了636盆花．最外层每边摆放了多少盆花？这个花坛一共摆放了多少盆花？ 37．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 38．新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？ 39．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？ 40．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 41．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 42．一个正方形花坛四周均匀地栽了424棵牡丹，4个角上各栽了1棵，每边有多少棵牡丹？ 43．64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目。表演完一个节目后，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动。你知道还剩下多少名队员吗？ 44．一个方阵有36人，每两人之间相隔1.2m．这个方阵的边长是多少米？ 45．一个正方形广场，沿四周等距离栽树．四个顶点各栽一棵，每边栽了28棵，四周共栽了多少棵树？ 1．【答案】（1）36名，100名； （2）40名 【分析】（1）依据题意计算出每排有（5+6﹣1）名，由此计算最外层有多少名，然后计算一共有多少名学生； （2）依据题意计算出两人之间的有（20+20﹣2）名学生，由此计算这个方阵每排有多少名学生。 【解答】解：（1）5+6﹣1＝10（名） 10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（名） 10×10＝100（名） 答：这个方阵最外层一共有36名学生，整个方阵一共100名学生。 （2）20+20﹣2＝38（名） 38+2＝40（名） 答：这个方阵每排有40名学生。 【点评】本题考查的是方阵问题的应用。 2．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）288人如果要排成8个方阵，每个方阵有288÷8＝36人，36＝6×6，所以可以排成每边有6人的实心方阵；还可以排成1层的空心方阵，根据“每边人数＝四周人数÷4+1”解答即可． （2）同理，根据完全平方数的特征，以及空心方阵每相邻两层相差8个人，解答要排成12个方阵即可． 【解答】解：（1）288÷8＝36（人） 36＝6×6，所以可以排成每边有6人的实心方阵； 36÷4+1 ＝9+1 ＝10（人） 所以可以排成每边有10人的一层空心方阵． （2）288÷12＝24（人） 24不是完全平方数，所以不排成实心方阵； 24÷4+1 ＝6+1 ＝7（人） 所以可以排成每边有7人的一层空心方阵． （24+8）÷2 ＝32÷2 ＝16（人） 16÷4+1＝5（人） 所以可以排成最外层每边有5人的两层空心方阵． 答：如果要排成8个方阵，可以排成6×6的实心方阵或每边有10人的一层空心方阵． 如果要排成12个方阵，可以排成每边有7人的一层空心方阵，或排成最外层每边有5人的两层空心方阵． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 3．【答案】24棵。 【分析】根据题意，正方形果树园，每条边种36棵果树（顶点不种），则4条边共有（36×4）棵树，将这些树种在六边形果树园，每条边（顶点不种）要种几棵，即将树平均分为6份，再除以6即可解答。 【解答】解：36×4＝144（棵） 144÷6＝24（棵） 答：每条边（顶点不种）要种24棵果树。 【点评】解答本题的关键是理解题意，根据题意先求出树的总棵数，再进一步解答，注意掌握正方形和六边形的特点。 4．【答案】60人。 【分析】方阵最外层四个角上的4人是重复计数的，因此用每排的人数乘4，再减去重复计数的4人即可求出最外层的人数。 【解答】解：16×4﹣4 ＝64﹣4 ＝60（人） 答：这个方阵最外层一共60人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 5．【答案】25名。 【分析】可以看作空心方阵问题，把96名学生看做96个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题。 【解答】解：（96+4）÷4 ＝100÷4 ＝25（名） 答：每边各有25名学生。 【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用。 6．【答案】36名；100名。 【分析】根据题意，方阵最外层每边有10名同学，则其4个点上人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4﹣4，实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【解答】解：10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（名） 10×10＝100（名） 答：最外层一共有36名学生，整个方阵一共有100名学生。 【点评】本题考查了方阵问题，牢记公式是解题的关键。 7．【答案】见试题解答内容 【分析】由于四个顶点都放了1个足球，4个顶点重复计算了一次，由此得出四周共有36+4＝40个，再除以4求得答案即可． 【解答】解：（36+4）÷4 ＝40÷4 ＝10（个） 答：这个场地每边放足球10个． 【点评】本题沿封闭图形栽树，用到的知识点是：总棵数＝每边种的棵数×4﹣4，或总棵数＝（每边种的棵数﹣1）×4． 8．【答案】1820人。 【分析】求这个方阵一共有多少人，就相当于求52个35是多少，用乘法计算即可。 【解答】解：35×52＝1820（人） 答：这个方阵一共有1820人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 9．【答案】44盆。 【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，144＝12×12，所以这个方阵的每行、每列都是12盆，最外层每边也是12盆；最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，再由此求出最外层的盆数。 【解答】解：144＝12×12 所以最外层每边有鲜花12盆。 12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：最外层一共有44盆鲜花。 【点评】本题考查了方阵的特点，以及最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 10．【答案】44盆，100盆。 【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，由此求出最外层的盆数，再根据“总点数＝每边点数×每边点数”解答即可。 【解答】解：12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 12×12﹣44 ＝144﹣44 ＝100（盆） 答：黄花一共有44盆，红花一共有100盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 11．【答案】441人。 【分析】先根据每边的人数＝四周的人数÷4+1求出方阵外层每边有多少人，再根据方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数解答即可。 【解答】解：80÷4+1 ＝20+1 ＝21（人） 21×21＝441（人） 答：这个方阵一共有441人。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。 12．【答案】36人。 【分析】利用方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4计算出最外层四周人数即可。 【解答】解：10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（人） 答：最外层一共有36人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 13．【答案】107棵。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可。 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（棵） 答：每边有107棵月季。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 14．【答案】49人。 【分析】先根据“最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4”，求出这个方阵的每边人数，再利用“方阵总人数＝每边人数×每边人数”计算出参加表演的同学一共有多少人即可。 【解答】解：24÷4+1 ＝6+1 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：参加表演的同学一共有49人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。 15．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，左数的人数加上右数的人数，这样就把小刚多数了一次，再减去1就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案． 【解答】解：每行的人数：6+12﹣1＝17（人）， 每列的人数：7+13﹣1＝19（人）， 所以总人数：17×19＝323（人）； 答：一共有323个同学在做早操． 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果． 16．【答案】596棵。 【分析】求这块土地的四周一共种了多少棵树，根据方阵问题的公式：四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可。 【解答】解：150×4﹣4 ＝600﹣4 ＝596（棵） 答：这块土地的四周一共种了596棵树。 【点评】本题考查了方阵问题，解答公式：四周点数＝（每边点数﹣1）×4；或四周点数＝每边点数×4﹣4。 17．【答案】5名。 【分析】此题可以看做是空心方阵问题，把16名学生看作16个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题。 【解答】解： （16+4）÷4 ＝20÷4 ＝5（名） 答：每边各有5名学生。 【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用。 18．【答案】169名。 【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了25人，那么原来的方阵的每边人数是（25+1）÷2＝13（名），据此利用每边人数×每边人数＝总人数解答即可。 【解答】解：（25+1）÷2 ＝26÷2 ＝13（名） 13×13＝169（名） 答：原来一共有169名队员参加训练。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数。 19．【答案】20棵． 【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周棵数即可． 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（棵） 答：一共要种20棵． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，小龙的东、南、西、北四个方向各有3个人．那么每行的人数和每列的人数都相等，即3+3+1＝7（人）；然后根据方阵问题中“总点数＝每边点数×每边点数”即可得出答案． 【解答】解：3+3+1＝7（人） 7×7＝49（人） 答：这个方阵有49人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用；关键是求出每行每列的人数． 21．【答案】红花60盆，黄花48盆。 【分析】画图如下，先根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出每个方阵的总盆数，再利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周红花的盆数，然后作差求出黄花的盆数，再求出3个方阵两种颜色的花各多少盆即可。 【解答】解：1个方阵排列图如下： （6﹣1）×4 ＝5×4 ＝20（盆） 6×6﹣20 ＝36﹣20 ＝16（盆） 20×3＝60（盆） 16×3＝48（盆） 答：一共要准备红花60盆，准备黄花48盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。 22．【答案】88个。 【分析】根据“空心方阵的总点数＝（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可。 【解答】解：（13﹣2）×2×4 ＝11×8 ＝88（个） 答：他共用了88个棋子。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 23．【答案】81人。 【分析】根据题意可知，欢欢的东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人） 每列的人数：4+4+1＝9（人） 所以总人数：9×9＝81（人） 答：这个队列一共有81人。 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为欢欢自己没加上，所以还要加1。 24．【答案】44人。 【分析】10行10列方阵，共有10×10＝100（人），如果增加2行2列，变成10+2＝12（行），10+2＝12（列），共有12×12＝144（人），然后用总人数减去原来的人数就是增加的人数。 【解答】解：10+2＝12（人） 10×10＝100（人） 12×12＝144（人） 144﹣100＝44（人） 答：要增加学生44人。 【点评】本题关键是求出增加2行2列的列数和行数（即每列的人数和列数）。 25．【答案】40面。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可。 【解答】解：11×4﹣4 ＝44﹣4 ＝40（面） 答：共插了40面彩旗。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 26．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可． 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（朵） 答：每边有107朵花． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答． 【解答】解：18×4﹣4 ＝72﹣4 ＝68（人） 18×18＝324（人） 答：最外层一共有68人，这个体操队形里一共有学生324人． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】排成一个正方形空心方阵，最外层方阵总人数＝四周人数＝（每边人数﹣1）×4，由此即可解答． 【解答】解：（8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（人） 所以，排成一个正方形空心方阵，每边都是8个小朋友，公共顶点各一人， 答：排成一个正方形空心方阵，每边都是8个小朋友． 【点评】此题考查了方阵问题中：方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数﹣1）×4． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边花盆数即可． 【解答】解：216÷4÷3+3 ＝18+3 ＝21（盆） 答：最外面一层每边有鲜花21盆． 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数． 30．【答案】28盆。 【分析】根据方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数﹣1）×4，由此列式计算即可。 【解答】解：（8﹣1）×4＝28（盆） 答：最外层共摆了28盆花。 【点评】此题考查方阵问题。熟练掌握每边的数量和最外层之间的关系。 31．【答案】见试题解答内容 【分析】利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周的面数即可．画图时，先在每条边上画8面，去掉顶点上的一面，每7面一组即可． 【解答】解： （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（面） 答：每条边上插8面．一共要插28面． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用． 32．【答案】48人。 【分析】根据题意可知，从前数第7排，从后数第2排，这样就把小丽多数了一次，再减去1就是每列的人数，即7+2﹣1＝8人；同样可以求出共有的列数，即3+4﹣1＝6列；然后列数与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每列的人数：7+2﹣1＝8（人） 列数：3+4﹣1＝6（列） 所以总人数：8×6＝48（人） 答：这个队伍一共有48人。 【点评】解题的关键是找到列数和每列的人数，求列数和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果。 33．【答案】9个． 【分析】排成正方形的队形，那么每行、每列的人数都相等，想乘积稍大于55，且两个乘数相同的乘法口诀“八八六十四”，可知方队的总人数是64人，再减去已有的55人，就是需要增加的人数． 【解答】解：8×8＝64（个） 64﹣55＝9（个） 答：至少增加9个同学就能排成正方形的队形． 【点评】解决本题先理解正方形队形的含义，根据乘法口诀求出总人数，再根据减法的意义求解． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】这个方阵最外一层的横、竖各一列的棋子之和为17枚，那么顶点1枚，则原来每边有（17﹣1）÷2＝8枚，据此根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出原来这个方阵的总枚数即可． 【解答】解：（17﹣1）÷2＝8（枚） 8×8＝64（枚） 答：原来实心方阵有64枚棋子． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】因为方阵总人数＝每边人数×每边人数，所以排成一个正方形方阵的人数，是一个完全平方数，72＝49；62＝36，所以最接近40并且比40小的完全平方数是36，由此即可解答． 【解答】解：如图所示： 因为最接近40的完全平方数是：49和36， 40﹣36＝4（人） 答：至少有4人不能参加表演． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；先确定出组成正方形方阵需要的人数即可解答． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】最外层一共摆放了636盆花．根据“每边的点数＝四周的点数÷4+1”求出最外层每边摆放了多少盆花；再根据“实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数”代入数据即可解答． 【解答】解：636÷4+1 ＝159+1 ＝160（盆） 160×160＝25600（盆） 答：最外层每边摆放了160盆花，这个花坛一共摆放了25600盆花． 【点评】本题关键是求出每边的盆数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈持花束的人数，再和每个方队的总人数相减求出持彩旗的人数．最后再求12个方队中手持花束和手持彩旗的同学人数；据此解答即可． 【解答】解：6×6＝36（人） 4×6﹣4＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×12＝240（人） 16×12＝192（人） 答：手持花束的有240人，手持彩旗的有192人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 38．【答案】88。 【分析】根据方阵的特点，内外两层差8人，每层的人数＝（每边的人数﹣1）×4，求出最外层的人数，内层的人数＝外层的人数﹣8，据此解答。 【解答】解：由分析可得： 外层人数有：（13﹣1）×4 ＝12×4 ＝48（人） 内层人数有：48﹣8＝40（人） 周围总人数有：48+40＝88（人） 答：彩车周围的少先队员有88人。 【点评】明确方阵每边人数与一周人数的关系及内外层人数的关系是解决本题的关键。 39．【答案】见试题解答内容 【分析】一行一列共用17颗棋子，那么每行每列就有（17+1）÷2＝9颗；那么根据实心方阵中总点数＝每边点数×每点人数；代入数据即可解答． 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（颗） 9×9＝81（颗） 答：她摆这个方阵共用了81颗棋子． 【点评】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用． 40．【答案】32人，整个方阵一共有81人。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：9×4﹣4 ＝36﹣4 ＝32（人） 9×9＝81（人） 答：外层一共有32人，整个方阵一共有81人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 41．【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿蓝色运动服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数就是穿黄衣服的人数． 最后再用每个方队中蓝、黄的衣服人数分别乘5，求出5个方队中两种颜色的运动服的套数即可． 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 一个方队穿蓝衣服的人有：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 一个方队穿黄衣服的人有： 36﹣20＝16（人） 所以5个方队蓝衣服需要：20×5＝100（套） 黄衣服需要：16×5＝80（套） 答：蓝衣服需要100套，黄衣服需要80套． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可． 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（棵） 答：每边有107棵牡丹． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 43．【答案】36名。 【分析】64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目，64＝8×8，所以每边有8人，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动，那么每边就有8﹣2＝6人，然后再进一步解答即可。 【解答】解：64＝8×8，所以每边有8人， （8﹣2）×（8﹣2） ＝6×6 ＝36（名） 答：还剩下36名队员。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 44．【答案】见试题解答内容 【分析】因为36＝6×6，所以每行就有6人，所以每边的间隔数＝人数﹣1，即6﹣1＝5；然后乘上间距即可求解。 【解答】解：因为36＝6×6，所以每行就有6人； 1.2×（6﹣1） ＝1.2×5 ＝6（米） 答：这个方阵的边长是6米。 【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。 45．【答案】108． 【分析】求四周共栽了多少棵树，利用方阵最外层四周的点数＝每边的点数×4﹣4计算出最外层四周植树的棵数即可． 【解答】解：28×4﹣4 ＝112﹣4 ＝108（棵） 答：四周共栽了108棵树． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$