[小升初典型培优]追及问题(知识精讲+典例分析+高频考题)(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

追及问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 【知识点归纳】 1．追击问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 【解题技巧】 1、理解关键概念 追及问题是两个物体在同一直线上运动，速度快的物体追赶速度慢的物体。 2、牢记公式 追及路程 = 速度差×追及时间 追及时间 = 追及路程÷速度差 速度差 = 追及路程÷追及时间 3、画图分析 画出两个物体的运动轨迹和起始位置，能更直观地理解它们之间的距离变化。 例如：甲在乙后面一定距离，甲速度快，乙速度慢，画出他们的起始位置和运动方向。 4、找准关键信息 明确追及路程（开始时两者之间的距离）、速度差等关键数据。 比如：“甲每分钟跑 200 米，乙每分钟跑 150 米，开始时甲在乙后面 500 米，多久甲能追上乙？”这里 500 米是追及路程，速度差是 200 - 150 = 50 米/分钟。 5、考虑多种情况 同地出发追及，追及路程就是两者起始的距离。 异地出发追及，要计算初始的距离差。 6、方程求解 当条件较复杂时，设追及时间为未知数，根据公式列方程。 例如：已知速度差和追及路程，设追及时间为 x ，则可列出方程（速度快的速度 - 速度慢的速度）× x = 追及路程。 7、巧用比例关系 如果速度差或追及时间等有比例关系，可以通过比例来简化计算。 【典例1】小凯和小源分别从家和图书馆出发。沿同一条笔直的马路相向而行。小凯最开始跑步，中途在某地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小凯先出发5分钟后，小源才骑自行车匀速回家。小凯到达图书馆恰好用了35分钟。两人之间的距离y（m）与小凯离开出发地的时间x（m）之间的函数图像如图所示。 （1）小凯跑步的速度为多少米每分？步行的速度为多少米每分？ （2）小源骑自行车的速度为多少米每分？ （3）当小源刚到家时，小凯离图书馆的距离为多少米？ 【答案】（1）200，100，（2）300，（3）1500。 【分析】（1）小凯先出发5分钟后，他们相距3500米，即可得小凯跑步、步行的速度。 （2）当他们相距1000米时，用时5分钟。根据小凯的步行速度与跑步速度，及他行完全程所用的时间可求出他跑步所用时间，35分钟如果都步行，只能行3500米，那么还有1000米，就是跑步速度比步行速度多的速度行的，跑步、步行用时可求。进而可求出小源的速度。 （3）求出小源行完4500米的路所用时间，就是小凯从相距3500米处行的相同，再根据剩下时间与步行的速度可得小凯里图书馆的距离。 【解答】解：（1）（4500﹣3500）÷5 ＝1000÷5 ＝200（米） 200÷2＝100（米） 答：小凯跑步的速度为200米每分，步行的速度为100米每分。 （2）100×35＝3500（米） 4500﹣3500＝1000（米） 1000÷（200﹣100） ＝1000÷100 ＝10（分钟） 跑步10分钟，步行25分钟。 当他们相距1000米时，用时5分钟， （3500﹣1000）÷5 ＝2500÷5 ＝500 500﹣200＝300（米/每分钟） 答：小源的速度为300米每分。 （3）4500÷300＝15（分钟） 35﹣5﹣15 ＝35﹣20 ＝15（分钟） 100×15＝1500（米） 答：当小源刚到家时，小凯离图书馆的距离为1500米。 【点评】理解距离与时间之间的关系是解决本题的关键。 【典例2】学校环形跑道长400米，张珊和王丽同时从同一地点出发，同向而行，经过10分钟，张珊第一次追上王丽。王丽的速度是240米/分，张珊每分钟跑多少米？ 【答案】280。 【分析】张珊第一次追上王丽时，张珊比王丽多跑一圈，即400米，设张珊每分钟跑x米，在10分钟跑10x（米），王丽跑了240×10（米），然后根据张珊跑的路程﹣王丽跑的路程＝400米，列出方程求解。 【解答】解：设张珊每分钟跑x米。 10x﹣240×10＝400 10x＝2800 x＝280 答：张珊每分钟跑280米。 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题。利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度是解题关键。 【典例3】甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是320米/分，乙的速度是280米/分，经过几分钟甲第二次追上乙？ 【答案】20分钟。 【分析】经过1分钟后，甲与乙的距离数以速度差就是甲第一次追上乙的时间。同理，甲第二次追乙还是经过1分钟后再追。都用追及时间＝距离差÷速度差这一关系。 【解答】解：经过1分钟后，甲与乙相距400﹣320+280＝360（米）， 360÷（320﹣280） ＝360÷40 ＝9（分钟） 第二次甲追乙同样。那么第二次追上一共是： （1+9）×2 ＝10×2 ＝20（分钟） 答：经过20分钟甲第二次追上乙。 【点评】本题也可以根据第二次甲追上乙，比乙多跑2圈，用路程差÷速度差＝追及时间计算。 【典例4】一辆客车和一辆轿车先后从南召出发去郑州，客车先行50千米后轿车出发，客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米。轿车几小时后追上客车？ 【答案】2.5小时。 【分析】根据追及时间＝路程差÷速度差，即可求得。 【解答】解：50÷（100﹣80） ＝50÷20 ＝2.5（小时） 答：轿车2.5小时后追上客车。 【点评】本题考查行程问题中的追及问题，需熟记公式“追及时间＝路程差÷速度差”。 【典例5】甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】经过20分钟甲第一次追上乙。 【分析】甲、乙两人在环形跑道上跑步，且甲的速度比乙块，当甲第一次追上乙的时候，甲就比乙多跑了一圈，也就是多跑了600米，根据关系式：追及时间＝路程差÷速度差，即可求得。 【解答】解：600÷（270﹣240） ＝600÷30 ＝20（分） 答：经过20分钟甲第一次追上乙。 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是理解同时从同一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙，那么甲比乙多跑1圈就是路程差是环形跑道的周长。 1．羚羊每秒跑22米，猎豹每秒跑31米。一只猎豹正快速追赶奔跑中的羚羊，当距离羚羊150米时，再过20秒能追上吗？ 2．有一个周长是30米的圆形水池。甲沿着水池散步，每秒走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑4米。甲、乙从同一地点同时出发，同向而行，出发后经过多少秒，乙第3次追上甲？ 3．甲、乙两人沿着同一条100m的跑道赛跑，甲在起跑线上起跑，乙在甲后8m处起跑，当甲离终点还有12m时，乙追上甲．那么当乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 4．慢、中、快三辆车同时从同地出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车的速度分别是10千米/时，15千米/时，25千米/时，已知慢、中车分别用20小时，10小时追上骑车人，那么快车用多少小时追上骑车人？ 5．一支队伍长50米，以每秒2米的速度前进，一人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用几分钟？ 6．一辆客车从A城开出，以50千米/时的速度行了2小时后，一辆小轿车从A城开出，沿同一条路紧紧追赶，速度为80千米/时。轿车几小时后可追上客车？ 7．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时出发，在A、B之间往返骑车。甲骑车的速度是每小时20千米，乙骑车的速度是每小时10千米。出发后几小时，甲第一次追上乙？ 8．甲乙两车从A地开往B地分别需要用10小时和15小时，若乙车先出发3小时，则甲车出发几小时后能追上乙车？ 9．龟兔准备进行第二次赛跑，兔子让乌龟先跑1000m后再跑，如果兔子每分跑35m，乌龟每分跑10m，兔子跑几分后就能追上乌龟？ 10．一辆轿车和一辆摩托车从同一个城市出发，沿同一条公路行驶摩托车晚出发15分钟，轿车平均每分钟行驶1100米，摩托车平均每分钟行驶660米，轿车多少分钟后追上摩托车？ 11．甲、乙两船同时从两个码头出发．方向相同．乙船在前．每小时行24千米．甲船在后．每小时行28千米.4小时后甲船追上乙船．求两个码头相距多少千米？ 12．为迎“六一”，木雨中学组织六年级和七年级学生．到太阳岛游玩．学校决定奖品车和六年级车队先出发．七年级车队后出发．奖品车的速度为每小时60千米．六年级车队和七年级车队的速度和是奖品车速度的1.5倍．六年级车队的速度比七年级车队的速度每小时慢10千米． （1）求六年级车队和七年级车队的速度分别是多少？ （2）木雨中学到太阳岛路程为20千米．奖品车和六年级车队出发3分钟后．七年级车队出发．奖品车到达太阳岛后立即返回，当六年级车队和七年级车队相距1千米时，求奖品车与木雨中学的路程是多少千米？ 13．一天，猫发现前面20米的地方有只老鼠，立即去追，同时，老鼠也发现了猫，掉头就跑，猫每秒跑7米，用了10秒追上老鼠，老鼠每秒跑多少米？ 14．一辆大客车和一辆小汽车同时从甲城出发，沿同一条高速公路开往乙城，大客车每小时行驶80千米，小汽车每小时行驶100千米．几小时后两车相距60千米？ 15．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果同向而行，12分钟后，乙追上甲；如果两人相向而行，8分钟后相遇．已知甲平均每分钟行20千米，乙平均每分钟行多少米？ 16．李老师和王老师每天早晨都沿着学校操场的环形跑道跑步，跑道的全长是360米，他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑。李老师平均每秒跑6.5米，王老师平均每秒跑4.5米，经过多长时间李老师第一次追上王老师？ 17．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是240米/分，乙的速度是260米/分。经过多少分钟乙第一次追上甲？ 18．老虎每秒跑28米，羚羊每秒跑22米。一只老虎正在追赶奔跑中的羚羊，此时老虎距离羚羊还有130米，再过20秒能追上吗？ 19．父子二人在同一个工厂上班，父亲从家里走到工厂需要30分钟，儿子走这段路只需要20分钟，一天，父亲比儿子早走5分钟，问儿子追上父亲需要几分钟？ 20．猫从1开始跳，每次跳5格；老鼠从13格开始跳，每次跳2格，猫跳到第几格时，正好捉住老鼠？ 21．甲、乙两车同时从某地出发背向而行，甲车以每小时88千米的速度行驶，乙车以每小时64千米的速度行驶，1.5小时后甲车掉头去追乙车，需要多少小时才能追上？ 22．甲、乙两车同时从黔江南站沿同一高速路开往重庆，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车的1.5倍，行了2.8小时后，两车相距多少千米？ 23．一艘汽艇和一艘轮船同时从同一个码头向同一方向航行，汽艇每小时行24千米，轮船每小时行15千米，航行2小时后汽艇发生故障，抛锚修理，修好后航行8小时后才追上轮船（轮船一直正常行驶），汽艇修了几小时？ 24．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？ 25．甲车沿直线行驶，速度为每小时55千米，1.5小时后乙车从相同地点出发，速度为每小时65千米，乙车追上甲车需要多长时间？ 26．小明早上步行去学校，他每分钟走50米，当他出发10分钟后妈妈发现他没戴红领巾，于是立即骑车去追，妈妈每分钟骑300米，妈妈出发后多长时间可以追上小明？ 27．猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑的兔子马上紧追出去，兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步，问狗追上兔时，共跑了多少米路程？ 28．小东和小明是两兄弟，小东从家步行去学校，每分钟走80米．走了8分钟后，小明从家骑自行车去追小东，结果在距家960米的地方追上小东．小明骑自行车每分钟行驶多少米？ 29．一个环形跑道长400米，两人同时从同一地点同一方向比赛跑步，甲每分钟跑220米，乙每分钟跑200米。多少分钟后甲能第一次追上乙？这时，甲跑了多少米？ 30．小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米．妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 31．上午8时一辆货车从甲地开往乙地，时速为40千米。2小时后，一辆客车沿着相同的路线也从甲地开往乙地，时速为50千米。这辆客车需要多长时间才能追上货车？ 32．快车和慢车都从甲地开往乙地，快车每小时行80千米，慢车每小时行60千米。如果慢车比快车早出发3小时，当快车追上慢车时，快车行了多少千米？ 33．父子二人在一个滑雪场比赛．儿子先行10秒，随后父亲在离起点60米处用20秒追上儿子．全程300米，父亲比儿子早到终点多少秒？ 34．甲乙两人驾车同时从A地出发，同向而行，甲先出发，半小时后乙以每小时80千米的速度追甲，若乙进行了3.5小时后追上甲，则甲的速度为每小时为多少？ 35．慢车平均以每小时45千米的速度从甲地到乙地，慢车先行了135千米后，快车才从甲地出发，9小时后追上了慢车，快车平均每小时行多少千米？ 36．甲、乙两港相距215千米，客、货两船都从甲港开往乙港，货船每时行28千米，客船每时行36千米，货船先行1时后，客船才出发．客船出发几时后能追上货船？ 37．一天，妈妈发现小红上学时忘记带语文书，此时小红离家320米，小红继续往学校走，小红每分钟走60米，妈妈从家里出发每分钟走80米．15分钟妈妈能追上小红吗？锦资妙计，先求出妈妈每分钟比小红多走的米数． 38．甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发．晚上8点，甲、丙同时到达B地．求：丙在几点钟追上了乙？ 39．甲、乙两人沿着400米长的环形跑道跑步，他们同时从同一点出发，同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米。出发后，经过多少分钟甲第二次追上乙？ 40．甲、乙两车分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时35千米，乙车的速度是每小时25千米．请问：第3次甲追上乙与第4次甲追上乙的地点相距多少千米？ 41．甲、乙、丙三人在一条跑道上赛跑，当甲跑到终点时，乙离终点12米，丙离终点36米；而当乙跑到终点时，丙离终点还有28米．如果甲、乙、丙三人在赛跑中速度始终保持不变，那么这条跑道长多少米？ 42．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时后相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时后快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少． 43．如果小丁速度是每秒5米，小亚每秒3米，问几秒钟后小丁离小亚还相距2米？ 44．东东和乐乐练习100米赛跑，东东每秒跑8米，乐乐每秒跑6米，东东站在跑道的起点处，乐乐站在他前面30米处，两人同时起跑同向而行，几秒后东东追上乐乐？ 1．【答案】能。 【分析】根据追及路程＝速度差×追及时间，求出20秒豹子追及的路程，再与150米比较大小即可。 【解答】解：（31﹣22）×20 ＝9×20 ＝180（米） 150＜180 答：当距离羚羊150米时，再过20秒能追上。 【点评】本题主要考查公式的应用：追及路程＝速度差×追及时间。 2．【答案】30秒。 【分析】乙第3次追上甲时，乙比甲多跑3圈，先算出3圈的长度，再用这个长度除以两人的速度差，就是乙第3次追上甲所用的时间。 【解答】解：30×3÷（4﹣1） ＝90÷3 ＝30（秒） 答：出发后经过30秒，乙第3次追上甲。 【点评】解答此题首先要理解乙第3次追上甲时，乙比甲多跑3圈，这些路程是追及路程，其次要掌握并灵活应用追及问题的基本数量关系：速度差×追及时间＝追及路程。 3．【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出当乙追上甲时，甲乙跑的路程分别是多少，进而求出他们的速度的关系；然后根据当乙到达终点时，乙跑了12米，判断出甲跑的路程是甲的几分之几，进而求出甲跑的路程是多少，再用12减去甲跑的路程，求出甲离终点还有多少米即可． 【解答】解：甲的速度是乙的： （100﹣12）÷（100﹣12+8） ＝88÷96 当乙到达终点时，甲离终点还有： 12﹣12 ＝12﹣11 ＝1（米） 答：当乙到达终点时，甲离终点还有1米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出甲乙的速度的关系． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设骑车人的速度为x千米/小时，根据慢车和中车追及骑车人所用时间和速度之间的关系列方程：20（10﹣x）＝10×（15﹣x），解方程求出骑车人的速度，然后利用追及问题公式，先求快车追骑车人所走路程，再求出快车追及骑车人所用时间即可． 【解答】解：设骑车人速度为x千米/小时，得： 20（10﹣x）＝10×（15﹣x） 200﹣20x＝150﹣10x 10x＝50 x＝5 追及距离为： 20×（10﹣5） ＝20×5 ＝100（千米） 快车的追及时间为： 100÷（25﹣5） ＝100÷20 ＝5（小时） 答：那么快车追上骑车人用了5小时． 【点评】本题主要考查追及问题，解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 5．【答案】1分钟。 【分析】先用队伍长度除以这人与队伍的速度差，求出这人从队尾赶到队头用的时间，再用队伍长度除以这人与队伍的速度和，求出这人从队头回到队尾用的时间，最后把从队尾到队头的时间与从队头到队尾的时间加起来，改写为“分钟”作单位即可。 【解答】解：50÷（3﹣2）+50÷（3+2） ＝50÷1+50÷5 ＝50+10 ＝60（秒） 60秒＝1分钟 答：一共要用1分钟。 【点评】掌握追及问题中“追及时间＝追及路程÷速度差”和相遇问题中“相遇时间＝相遇路程÷速度和”是解答此题的关键。 6．【答案】小时。 【分析】根据“路程＝速度×时间”求出小轿车开始追客车时客车已经行驶的路程，即小轿车和客车的路程差，再根据“追及时间＝路程差÷速度差”求出小轿车追上客车的时间。 【解答】解：50×2÷（80﹣50） ＝100÷30 （小时） 答：轿车小时后可追上客车。 【点评】本题考查了行程问题中的追及问题，解题关键是路程、速度和时间三者之间关系的应用。 7．【答案】3小时。 【分析】甲第一次从后面追上乙，由于两人相距A、B的距离，就是说甲要比乙多开一个AB的路程，根据关系式：追及路程÷速度差＝追及时间，求出甲第一次从后面追上乙是在出发后多长时间。 【解答】解：30÷（20﹣10） ＝30÷10 ＝3（小时） 答：出发后3小时，甲第一次追上乙。 【点评】本题考查追及问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 8．【答案】见试题解答内容 【分析】把A、B两地的距离看作单位“1”，根据“甲乙两车从A地开往B地分别需要用10小时和15小时”可以求出甲乙的速度、，那么速度差是（）；乙车先出发3小时行驶的路程3就是追及距离，然后用追及距离除以速度差就是追及时间． 【解答】解：（3）÷（） ＝6（小时） 答：甲车出发6小时后能追上乙车． 【点评】本题考查了工程问题、追及问题的综合应用，关键是求出甲乙的速度差和追及距离． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】兔子让乌龟先跑1000m后再跑，即兔子的追及距离是1000米，然后除以兔子和乌龟的速度差就是兔子跑几分后就能追上乌龟． 【解答】解：1000÷（35﹣10） ＝1000÷25 ＝40（分钟） 答：兔子跑40分钟后就能追上乌龟． 【点评】本题体现了追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】轿车的追及距离就是摩托车早出发15分钟的路程，即600×15＝9000米，然后除以两车的速度差就是轿车追上摩托车的时间． 【解答】解：（600×15）÷（1100﹣600） ＝9000÷500 ＝18（分钟） 答：轿车18分钟后追上摩托车． 【点评】本题体现了追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据甲船每小时行28千米，乙船每小时行24千米，用28减去24求出两船的速度之差，然后根据速度差×追击时间＝追击路程，用两船的速度之差乘4，求出追击路程，即两个码头之间的距离． 【解答】解：（28﹣24）×4 ＝4×4 ＝16（千米） 答：两个码头相距16千米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为六年级车队和七年级车队的速度和是奖品车速度的1.5倍．所以六年级车队和七年级车队的速度和是60×1.5＝90（千米/小时）；然后再加上10千米，根据和差公式，再除以2可得七年级车队的速度，再求六年级车队的速度即可． （2）3分钟＝0.05小时，六年级车队行了40×0.05＝2千米，当六年级车队和七年级车队相距1千米时，追及时间是（2﹣1）÷10＝0.1（小时），此时奖品车行驶的距离是：60×（0.05+0.1）＝9（千米），然后用总路程20千米减去9千米就是奖品车与木雨中学的路程是多少千米． 【解答】解：（1）60×1.5＝90（千米/小时） （90+10）÷2 ＝100÷2 ＝50（千米/小时） 90﹣50＝40（千米/小时） 答：七年级车队的速度是50千米/小时，六年级车队的速度是40千米/小时． （2）3分钟＝0.05小时 40×0.05＝2（千米） （2﹣1）÷10 ＝1÷10 ＝0.1（小时） 60×（0.05+0.1） ＝60×0.15 ＝9（千米） 20﹣9＝11（千米） 答：奖品车与木雨中学的路程是11千米． 【点评】本题考查了简单的行程问题和追及问题，第一问比较简单，第二问关键是求出追及时间． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】猫每秒跑7米，用了10秒追上老鼠，则猫追上鼠共跑了10×7米，由于猫和鼠的距离差是20米，所以鼠10秒钟共跑了7×10﹣20米，所以老鼠每秒跑（7×10﹣20）÷10米． 【解答】解：（7×10﹣20）÷10 ＝50÷10 ＝5（米） 答：老鼠每秒跑5米． 【点评】首先根据速度×时间＝距离求出猫追上鼠共跑了多少米是完成本题的关键． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】两车同时同方向出发，大客车每小时行驶80千米，小汽车每小时行驶100千米，小汽车每小时比大客车多行驶（100﹣80）千米，用相距的路程60千米除以这个速度差，即可求出几小时后两车相距60千米． 【解答】解：60÷（100﹣80） ＝60÷20 ＝3（小时） 答：3小时后两车相距60千米． 【点评】解决本题先求出速度差，再根据时间＝路程÷速度求解． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】追及时，两人的路程差就是AB之间的距离；相遇时，两人的路程和就是AB之间的距离；设乙的速度是每分钟行驶x米，用速度差乘追及时间即可就是路程差；用速度和乘相遇时间就是路程和，再根据追及的路程差和相遇的路程和相等列出方程求解． 【解答】解：设乙平均每分钟走x米，则： （x﹣20）×12＝（x+20）×8 12x﹣240＝8x+160 12x﹣8x＝160+240 4x＝400 x＝100 答：乙平均每分钟走100米． 【点评】解决本题关键是明确追及的路程差和相遇的路程和都是AB之间的距离，再根据追及问题的数量关系和相遇问题的数量关系列出方程求解． 16．【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上王老师时，李老师比王老师多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师第一次追上王老师。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 17．【答案】20。 【分析】根据追及问题公式：追及路程÷追及速度＝追及时间，据此列式解答即可。 【解答】解：400÷（260﹣240） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟乙第一次追上甲。 【点评】熟练掌握追及路程、追及时间、追及速度三者之间的关系是解决此题的关键。 18．【答案】追不上。 【分析】根据”追及距离＝速度差×追及时间”，求出20秒老虎的追及距离，再与130米比较大小即可。 【解答】解：（28﹣22）×20 ＝6×20 ＝120（米） 120＜130 答：当老虎距离羚羊130米时，再过20秒追不上。 【点评】本题主要考查公式的应用：追及距离＝速度差×追及时间，是常规题。 19．【答案】见试题解答内容 【分析】把从家到工厂的总路程看成单位“1”，父亲的速度就是，儿子的速度就是，先用父亲的速度乘5分钟，求出父亲与儿子的路程差，再求出二人的速度差，然后用路程差除以两人的速度差即可求解． 【解答】解：（5）÷（） ＝10（分钟） 答：儿子追上父亲需要10分钟． 【点评】解决本题把总路程看成单位“1”，分别表示出两人的速度，再根据追及时间＝路程差÷速度差求解． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】由于老鼠在猫的前面13﹣1＝12个格处，猫要追到老鼠，每次多跳5﹣2＝3个格，需要的时间为12÷3＝4次，再由每次猫跳的格数求得问题答案． 【解答】解：13﹣1＝12（格） 5﹣2＝3（格） 12÷3×5+1 ＝4×5+1 ＝20+1 ＝21（格） 答：猫跳到第21格时，正好捉住老鼠． 【点评】此题主要利用追及问题解决，解答时要充分理解路程、时间、速度三者之间的关系． 21．【答案】9.5小时。 【分析】根据路程＝速度×时间，先求出1.5小时之后两车相距的路程，再用减法求出两车的速度差。最后用相距的路程除以速度差，即可求出需要多少小时才能追上。 【解答】解：（88+64）×1.5 ＝152×1.5 ＝228（千米） 228÷（88﹣64） ＝228÷24 ＝9.5（小时） 答：需要9.5小时才能追上。 【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 22．【答案】112千米。 【分析】先求出乙车的速度，再分别求出甲、乙2.8小时所行的路程，最后用两车行驶的路程相减就是要求的答案。 【解答】解：80×1.5＝120（千米/小时） 120×2.8﹣80×2.8 ＝（120﹣80）×2.8 ＝40×2.8 ＝112（千米） 答：两车相距112千米。 【点评】解答此题的关键是，根据速度×时间＝路程，分别求出甲、乙的路程，那甲、乙的路程差，就是两车相距的路程。 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设汽艇修了x小时，有汽艇所行路程与轮船所行路程相等，列方程：24×（2+8）＝15×（2+8+x），解方程即可． 【解答】解：设汽艇修了x小时， 24×（2+8）＝15×（2+8+x） 240＝150+15x 15x＝90 x＝6 答：汽艇修了6小时． 【点评】本题主要考查追及问题，关键根据题意设未知数，利用路程相等列方程求解． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】先计算兔子跑完全程用的时间，再计算乌龟跑完全程用的时间，可以求出谁先到达终点，再根据时间差和速度，可以求出先到的比后到的快多少米． 【解答】解：乌龟爬完全程用的时间：7000÷30＝233（分钟）； 兔子跑完全程用的时间：7000÷330+215＝21215＝236（分钟）； 龟比兔早到的时间：2362332（分钟）； 龟到终点时，兔子与终点的距离：330×2950（米） 答：龟先到达终点，先到的比后到的快950米． 【点评】这时一道同方向行驶的问题，计算出两者需要的时间，再进行比较，题目就简单明了了． 25．【答案】8.25小时。 【分析】追及距离是（55×1.5）千米，然后除以两车的速度差即可。 【解答】解：（55×1.5）÷（65﹣55） ＝82.5÷10 ＝8.25（小时） 答：乙车追上甲车需要8.25小时。 【点评】本题考查了简单的追及问题，追及距离÷速度差＝追及时间。 26．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，小明出发10分钟后所行路程为：50×10＝500（米），即为二人路程差，利用追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，妈妈追小明所用时间为：500÷（300﹣50）＝2（分钟）． 【解答】解：50×10÷（300﹣50） ＝500÷250 ＝2（分钟） 答：妈妈出发后2分钟可以追上小明． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用速度差、路程差和追及时间之间的关系做题． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】由“兔跑9步的路程狗只需跑5步”可知当猎狗每步a米，则兔子每步a米．由“猎狗跑2步的时间，兔却跑3步”可知同一时间，猎狗跑2a米，兔子可跑a×3a米．从而可知猎狗与兔子的速度比是2a：a＝6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相差6﹣5＝1倍，正好是相差10米，从而求出1倍的，再乘以6就是猎狗追上兔子的时间． 【解答】解：兔跑9步的路程狗只需跑5步，可知当猎狗每步a米，则兔子每步a米， 由“猎跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎狗跑2a米，兔子可跑a×3a米， 从而可知猎狗与兔子的速度比是2a：a＝6：5，在同一时间里，路程比就是速度比：6：5， 10÷（6﹣5）×6 ＝10×6 ＝60（米）； 答：猎狗至少跑60米才能追上兔子． 【点评】此题是灵活考查速度的计算公式，是一道比较难的题目．解答此题的关键是求出猎狗和兔子的速度之比． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：小明和小东走的路程都是960米，根据路程÷速度＝时间，可以求出小东走的总时间，即960÷80，然后减去8分钟得出小明骑自行车所用的时间，再根据关系式：路程÷时间＝速度，解决问题． 【解答】解：960÷（960÷80﹣8） ＝960÷（12﹣8） ＝960÷4 ＝240（米） 答：小明骑自行车每分钟行驶240米． 【点评】此题抓住追及问题中速度不同，所以行驶的时间不同，但是行驶的路程相同． 29．【答案】20分钟，4400米。 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，用甲比乙多跑的路程除以两人的速度差，就是甲追上乙所用的时间，再用这个时间乘甲的速度，就是追上乙时甲跑了多少米。 【解答】解：400÷（220﹣200） ＝400÷20 ＝20（分钟） 220×20＝4400（米） 答：20分钟后甲能第一次追上乙，这时甲跑了4400米。 【点评】解答此题的关键是掌握并灵活运用追及问题的基本数量关系：速度差×追及时间＝追及路程。 30．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，小巧行16分钟所走路程为：65×16＝1040（米），然后利用追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，求出妈妈追小巧所用时间为：1040÷（195﹣65）＝8（分钟），而此时小巧所行路程为：65×（16+8）＝1560（米），与小巧家距少年宫的距离相比较，即可得出结论． 【解答】解：65×16÷（195﹣65） ＝1040÷30 ＝8（分钟） 65×（16+8） ＝65×24 ＝1560（米） 2100＞1560 答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用公式：追及时间＝路程差÷速度差． 31．【答案】8小时。 【分析】先算出货车2小时开出多少千米，再用这段路程除以两车的速度差，就是客车追上货车所用的时间。 【解答】解：40×2÷（50﹣40） ＝80÷10 ＝8（小时） 答：这辆客车需要8小时才能追上货车。 【点评】解答此题的关键在于掌握并灵活应用追及问题的基本数量关系：速度差×追及时间＝追及路程。 32．【答案】720。 【分析】慢车比快车早出发3小时，慢车3小时行的路程就是快车追慢车的追及路程，追及速度为：80﹣60＝20千米/小时，由此可以求出追及时间，再用快车的速度乘追及时间即可求出。 【解答】解：60×3÷（80﹣60） ＝180÷20 ＝9（小时） 80×9＝720（千米） 答：快车行了720千米。 【点评】解决此题的关键是熟练掌握关系式：追及时间＝追及路程÷追及速度。 33．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，根据父亲追儿子所行路程和时间可求父亲的速度为：60÷20＝3（米/秒），然后根据儿子所行路程和所用时间，求儿子的速度为：60÷（10+20）＝2（米/秒），行完全程父亲用时：300÷3＝100（秒）300÷2＝150（秒），然后计算父亲比儿子早到的时间． 【解答】解：60÷20＝3（米/秒） 60÷（10+20） ＝60÷30 ＝2（米/秒） 300÷3＝100（秒） 300÷2＝150（秒） 150﹣10﹣100＝40（秒） 答：全程300米，父亲比儿子早到终点40秒． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先求乙所行的路程：80×3.5＝280（千米），这也是甲一共走的路程，而甲行这段路程用时：3.5+0.5＝4（小时），所以，甲的速度为：280÷4＝70（千米/小时）． 【解答】解：半小时＝0.5小时 80×3.5÷（3.5+0.5） ＝280÷4 ＝70（千米/小时） 答：甲的速度为每小时70千米． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，快车从甲地出发，9小时后追上了慢车，这是慢车已经行驶了135+45×9＝540千米，也就是快车9小时行驶了540千米，再根据速度＝路程÷时间进行解答． 【解答】解：（135+45×9）÷9 ＝540÷9 ＝60（千米） 答：快车平均每小时行60千米． 【点评】本题关键是快车追上慢车，两车行驶的路程相等，然后再根据速度＝路程÷时间进行解答． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】货船先行1时后，两船相距28千米；客船追上货船，在相同的时间内，客船比货船多行28千米，由题意可知客船每时比货船多行36﹣28＝8千米，然后再用多行的路程除以每时多行的，就是追及时间，即28÷8． 【解答】解：28÷（36﹣28） ＝28÷8 ＝3.5（小时） 答：客船出发3.5小时后能追上货船． 【点评】考查了追及问题的运用，根据追及路程÷速度差＝追及时间进行解答． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】要想知道15分钟是否能追上，要求出追上需要多长时间，妈妈与小红的路程差为320米，速度差为80﹣60＝20（米/分钟），根据追及时间等于路程差÷速度差可求得追及时间，与15分钟比较即可． 【解答】解：80﹣60＝20（米/分钟）， 320÷20＝16（分钟）， 16＞15， 所以妈妈15分钟追不上小红． 答：15分钟妈妈不能追上小红． 【点评】此题主要考查简单的追及问题，根据速度差、追及时间和路程差三者之间的关系解决问题． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】根据甲的速度和所行时间求AB两地的距离为：晚上8点即20点，6×（20﹣8）＝72（千米），然后根据丙行的路程和所用时间，求丙的速度：72÷（20﹣11）＝8（千米/小时）．根据追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，求丙追乙所需时间为：4×（11﹣8）÷（8﹣4）＝3（小时），11+3＝14（时），即下午2时． 【解答】解：晚上8点即20点 6×（20﹣8） ＝6×12 ＝72（千米） 72÷（20﹣11） ＝72÷9 ＝8（千米/小时） 4×（11﹣8）÷（8﹣4） ＝4×3÷4 ＝3（小时） 11+3＝14（时） 14时即下午2时 答：丙在下午2点钟追上了乙． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 39．【答案】16分钟。 【分析】追及时间＝路程差÷速度差。甲第二次追上乙时，甲比乙多跑了2圈。据此解答。 【解答】解：400×2÷（300﹣250） ＝800÷50 ＝16（分钟） 答：经过16分钟甲第二次追上乙。 【点评】本题解题关键是理解“甲第二次追上乙时，甲比乙多跑了2圈”，再根据“追及时间＝路程差÷速度差”列式计算。 40．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，甲、乙速度之比是35：25＝7：5，因此我们可以设整个路程为7+5＝12份，这样一个全程中甲走7份，依此可求第3次追上甲总共走了30×7＝210份，第4次追上甲总共走了42×7＝294份，从而求解. 【解答】解：如图： 甲、乙速度之比是35：25＝7：5，因此设整个路程为7+5＝12份， 这样一个全程中甲走7份，乙走5份，第一次追上总共走了6个全程，第二次追上总共走了18个全程，第三次追上总共走了30个全程，第四次追上总共走了42个全程， 所以第3次追上甲总共走了30×7＝210份， 210÷12＝17……6， 第4次追上甲总共走了42×7＝294份， 294÷12＝24……6， 由全程共12份，所以第3次甲追上乙与第4次甲追上乙的地点相差0份， 第3次甲追上乙与第4次甲追上乙的地点相距0千米. 答：第3次甲追上乙与第4次甲追上乙的地点相距0千米． 【点评】本题关键是熟练掌握在多次追击问题中，追击相遇次数与共行全程的个数的关系． 41．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲乙丙三人的速度不变，所以相同时间所行的路程成正比例，乙跑12米的路程，丙跑（36﹣28）＝8（米），所以二人速度的比为：12：8＝3：2．设这条路长S米，利用乙丙二人所行路程列比例为：（S﹣12）：（S﹣36）＝3：2，解比例即可． 【解答】解：由题可知：乙跑12米，丙跑36﹣28＝8米 乙：丙＝3：2 假设这条跑道长S米 （S﹣12）：（S﹣36）＝3：2 2S﹣24＝3S﹣108 S＝84 答：这条跑道长84米． 【点评】本题主要考查行程问题，关键利用时间相同的情况下，路程与速度成正比例关系做题． 42．【答案】见试题解答内容 【分析】根据相遇问题公式：速度和＝路程和÷相遇时间，求出两车速度和．两车同时同向出发，快车追上慢车，则快车应比慢车多行总路程，所以根据追及问题公式：速度差＝路程差÷追及时间．根据和差问题公式，求出快慢两车的速度． 【解答】解：360÷3＝120（千米/小时） 360÷12＝30（千米/小时） （120+30）÷2 ＝150÷2 ＝75（千米/小时） 120﹣75＝45（千米/小时） 答：快车速度为90千米/小时，慢车速度为45千米/小时． 【点评】本题主要考查行程问题，关键运用公式：速度和＝路程和÷相遇时间，速度差＝路程差÷追及时间，然后利用和差问题公式求解． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，2÷（5﹣3）＝1（秒）． 【解答】解：2÷（5﹣3） ＝2÷2 ＝1（秒） 答：1秒钟后小丁离小亚还相距2米． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程差、速度差和追及时间之间的关系做题． 44．【答案】见试题解答内容 【分析】如果按追及问题及时，东东追乐乐所需时间为：30÷（8﹣6）＝15（秒），而15秒二人均以超过终点．根据题意，当乐乐跑完100米时，只能往回跑，所以二人所跑路程和为：100×2﹣30＝170（米），利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，列式计算为：170÷（8+6）≈12.1（秒）． 【解答】解：按追及问题及时，乐乐追东东所需时间为： 30÷（8﹣6）＝15（秒） 而15秒二人均以超过终点． 所以应把这一问题看作相遇问题， 100×2﹣30 ＝200﹣30 ＝170（米） 170÷（8+6） ＝170÷14 ≈12.1（秒） 答：东东12.1秒后追上乐乐． 【点评】本题主要考查行程问题，关键分清是追及问题还是相遇问题，利用公式解题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$