精品解析：陕西省榆林市2023-2024学年高三第四次模拟检测文科数学试题

榆林市2023～2024年度高三第四次模拟检测 数学（文科）试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可化简求解. 【详解】复数. 故选：A 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 3. 设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B 4. 设全集为Z，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集和集合间关系运算判断各个选项． 【详解】对于A，由，可得A选项错误； 对于B，由且，可得B选项错误； 对于C，由且，可得C选项错误； 对于D，由，可得D选项正确． 故选：D. 5. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ） A. 10天 B. 11天 C. 12天 D. 13天 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即， ∴（天）． 故最少要经过12天 故选：C 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以． 故选：B 7. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 8. 七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型公式求解. 【详解】设小正方形边长为1，可得黑色平行四边形底为，高为； 黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为，即大正方形边长为， 故种子落入黑色平行四边形区域的概率为． 故选：A 9. 方程在内实数根的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可. 【详解】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 10. 在正方体中，E，F分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面BCE C. D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，说明异面即可判断；对于B，说明平面平面即可判断；对于C，可以用反证法导出矛盾，进而判断；对于D，显然不垂直. 【详解】对于A， 设为中点，则，但相交，所以异面，故A错误； 对于B，设的中点为H，则，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面， 故平面平面， 又平面，故平面BCE，选项B正确． 对于C，在中，，，故EF与不可能垂直（否则垂直平分，会得到，这与矛盾），C选项错误． 对于D， 易知平面，又，故D选项错误． 故选：B. 11. 如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明平面，利用二面角的定义可得，利用勾股定理可得的外接圆直径为，将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，再利用球体表面积公式可得出答案. 【详解】如图所示， 折叠前，由于是边长为4的正三角形，是的中点，则， 折叠后，则有，，因为，所以平面， 因为二面角为直二面角，， 则二面角的平面角为，且，， 可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，即，解得，从而三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 12. 已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义判断AB，由函数单调性判断CD. 【详解】由，得是奇函数，且定义域（全体实数）关于原点对称， 由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，故A，B选项均错误． 由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 由，得，从而，即C选项错误． 由，得，从而，即D选项正确． 故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，满足，，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由数量积的运算律得，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】，即，故． 故答案为：. 14. 在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三局两胜制中，乙获得冠军有两种情况，第一乙两局都获胜，第二是前两局乙获胜一局，第三局乙获胜，根据分类原则得到两类结果相加即可求解. 【详解】若两局决出冠军，则乙获得冠军的概率； 若三局决出冠军，则乙获得冠军的概率； 则所求概率为． 故答案为： 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理可得答案. 【详解】，， 两式相减，得， 即， 由正弦定理可得， 又，． 故答案为：． 16. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组算出即可； （2）由裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得，． ∴． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ∴． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． （1）求证：； （2）求点E到平面的距离． 【答案】（1） 证明：平面，平面，， 又底面ABCD为正方形，， 又，且平面， 平面PAC， 平面PAC，． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面PAC，结合线面垂直性质定理推得线线垂直； （2）设点A到平面PBD的距离为d，得点E到平面PBD的距离为．结合三棱锥等体积变换求得距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 E为线段AB的中点， 若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为． 由题易知， ． ，，解得． 点E到平面的距离为． 19. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下． x（千克） 2 4 5 6 8 y（千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求关于的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？ 附：对于一组数据，，⋯，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，． 参考数据：． 【答案】（1） 由已知数据可得，， ，，， 相关系数． ，可用线性回归模型拟合y与x的关系． （2），850千克 【解析】 【分析】（1）首先求和，再代入相关系数的公式，即可求解，并加以说明； （2）将数据代入公式求和，即可求解回归直线方程，并代入进行预测. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 线性回归方程为． 当时，． 即当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为850千克． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极值； （2）若，，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断出单调性可得答案； （2）求出，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，解得或． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 函数的极小值为，极大值为； 【小问2详解】 ， ①若，即时，，函数单调递减， ，不符合题意． ②若，令函数，则的图象开口向下， 且与x轴有两个交点，令，则，， 注意到且，， 不可能是函数的极大值． ，即． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． ，符合题意． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 又，故只需即可，解得，∴， 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值点个数时，可求导讨论函数的单调性，再判断极值点和极值情况；（2）对于形式较复杂的函数不等式恒成立问题可考虑采用主元变换法，将参数看成未知数，将看成参数求导分析. 21. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【小问1详解】 ∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． 【小问2详解】 由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：． （1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的参数方程，消去参数即可；根据公式，代入化简即可. （2）将曲线用参数方程表示，再用点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 曲线的参数方程为：（为参数，）， ． 曲线的普通方程为． 曲线的极坐标方程为：，即， 根据可得， 曲线的直角坐标方程为：． 【小问2详解】 曲线的直角坐标方程为：， 曲线的参数方程为：（为参数）． 故可设曲线上的点， 点Q到直线的距离， 当，即时，， |PQ|的最小值为． 【选修4-5：不等式选讲】 23. 已知函数． （1）解不等式； （2）若正数满足，证明． 【答案】（1） （2）， 不等式等价于. 又只需证即可. 又正数a，b，c满足， . ，当且仅当时，等号成立. . 【解析】 【分析】（1）先将函数表达式化简成分段函数，然后将原不等式等价变形即可列不等式组求解； （2）由绝对值不等式（三角不等式）分析可知，只需证明只需证即可，由柯西不等式即可得证. 【小问1详解】 ， 不等式，等价于或或； 解得或， 不等式的解集为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市2023～2024年度高三第四次模拟检测 数学（文科）试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 设全集为Z，集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ） A. 10天 B. 11天 C. 12天 D. 13天 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 7. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 方程在内实数根的个数为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 10. 在正方体中，E，F分别是，的中点，则（ ） A. B. 平面BCE C. D. 平面 11. 如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，满足，，，则______． 14. 在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”．若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为________． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则________． 16. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． （1）求证：； （2）求点E到平面的距离． 19. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下． x（千克） 2 4 5 6 8 y（千克） 300 400 400 400 500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求关于的线性回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克？ 附：对于一组数据，，⋯，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，． 参考数据：． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的极值； （2）若，，求a的取值范围． 21. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：． （1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）在曲线和曲线上分别取点P，Q，求的最小值． 【选修4-5：不等式选讲】 23. 已知函数． （1）解不等式； （2）若正数满足，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $