河南省中考衔接点课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

中考衔接点10　最短路径问题 1 中考早知道：利用“将军饮马”原理确定选址或进行相关计算. 　情景应用 (2024郑州新郑期末)小颖的爸爸要在某条街道 l 上修建一个奶站 P ，向居民区 A ， B 提供牛奶，要使点 P 到 A ， B 的距离之和最短，则下列作法正 确的是(　B　) B 　如图，等腰三角形 ABC 底边 BC 的长为4 cm，面积是12 cm2，腰 AB 的垂直 平分线 EF 交 AC 于点 F ，若 D 为 BC 边上的中点， M 为线段 EF 上一动点，则△ BDM 的周长最短为(　D　) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm 母题2图 D 解析：如图，连接 AD . ∵△ ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，∴ AD ⊥ BC ，∴ S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×4 AD ＝12，解得 AD ＝6.∵ EF 是线段 AB 的垂直平 分线，∴点 B 关于直线 EF 的对称点为点 A ，∴ AD 的长为 BM ＋ MD 的最小值， ∴△ BDM 的周长最短＝( BM ＋ MD )＋ BD ＝ AD ＋ BC ＝6＋ ×4＝6＋2＝8(cm). 子题2.1(2023信阳期末)如图，在四边形 ABCD 中，∠ C ＝40°，∠ B ＝∠ D ＝90°， E ， F 分别是 BC ， DC 上的点，当△ AEF 的周长最小时，∠ EAF 的度数为(　A　) 子题2.1图 A. 100° B. 90° C. 70° D. 80° A 解析：如图，作点 A 关于 BC 和 CD 的对称点A'， A ″，连接A'A″，交 BC 于点 E ， 交 CD 于点 F ，则A'A″的长即为△ AEF 的周长最小值.∵∠ C ＝40°，∴∠ DAB ＝ 140°，∴∠A'＋∠ A ″＝40°.∵∠A'＝∠EAA'，∠ FAD ＝∠ A ″，∴∠EAA'＋ ∠ FAD ＝40°，∴∠ EAF ＝140°－40°＝100°. 子题2.2(2023郑州金水区期末)如图，在所给正方形网格(每个小网格的边长都是1)图 中完成下列各题. (1)格点△ ABC (顶点均在格点上)的面积为 ⁠； (2)画出格点△ ABC 关于直线 DE 对称的△ A1 B1 C1； 5　 (3)在 DE 上画出点 P ，使 PB ＋ PC 最小. $$中考衔接点11　整式的乘法 1 中考早知道：主要考查幂的运算、整式的乘除法运算、整式的应用以及整式的化简 求值. 　(2021河南中考)下列运算正确的是(　C　) A. (－ a )2＝－ a2 B. 2 a2－ a2＝2 C. a2· a ＝ a3 D. ( a －1)2＝ a2－1 子题1.1(2018河南中考)下列运算正确的是(　C　) A. (－ x2)3＝－ x5 B. x2＋ x3＝ x5 C. x3· x4＝ x7 D. 2 x3－ x3＝1 C C 子题1.2(2024郑州期末)下列运算正确的是(　B　) A. 3 a2＋4 a2＝7 a4 B. 4 a2÷ a ＝4 a C. ( a2)3＝ a5 D. (－3 ab )2＝6 a2 b2 子题1.3计算：(3 a )2＝(　D　) A. 5 a B. 3 a2 C. 6 a2 D. 9 a2 B D 子题1.5计算( x3)2的结果正确的是(　B　) A. x6 B. x6 C. x5 D. x9 B 子题1.4若(　　)·2 a2 b ＝2 a3 b ，则括号内应填的单项式是(　A　) A. a B. 2 a C. ab D. 2 ab A 　(2024洛阳偃师区期末)若 xa ＝2， xb ＝3，则 x3 a－2 b 的值为(　C　) A. 1 B. －1 C. D. 6 解析：∵ xa ＝2， xb ＝3，∴ x3 a－2 b ＝ x3 a ÷ x2 b ＝( xa )3÷( xb )2＝23÷32＝ . 子题2.1(2023三门峡灵宝期末)若10 m ＝5，10 n ＝3，则102 m－3 n 的值为(　D　) A. B. C. 675 D. 解析：∵10 m ＝5，10 n ＝3，∴102 m－3 n ＝102 m ÷103 n ＝(10 m )2÷(10 n )3＝52÷33＝ . C 解析：∵ xa ＝2， xb ＝3，∴ x3 a－2 b ＝ x3 a ÷ x2 b ＝( xa )3÷( xb )2＝23÷32＝ . D 　(2024郑州期末)若关于 x 的多项式(2 x2＋ ax )( x －1)展开合并后不含 x2项， 则 a 的值是(　A　) A. 2 B. C. 0 D. －2 解析：(2 x2＋ ax )( x －1)＝2 x3－2 x2＋ ax2－ ax ＝2 x3＋( a －2) x2－ ax .∵关于 x 的多 项式(2 x2＋ ax )( x －1)展开合并后不含 x2项，∴ a －2＝0，解得 a ＝2. A 　(2024漯河期末)已知 a ＝817， b ＝279， c ＝913，则 a ， b ， c 的大小关系是 (　A　) A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b C. c ＞ b ＞ a D. b ＞ c ＞ a 解析：∵ a ＝817， b ＝279， c ＝913，∴ a ＝(34)7＝328， b ＝(33)9＝327， c ＝(32)13＝ 326.又∵328＞327＞326，∴ a ＞ b ＞ c . A 　(2020河南中考)电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中 1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B. 某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于(　A　) A. 230 B B. 830 B C. 8×1010 B D. 2×1030 B A $$中考衔接点12　乘法公式 1 中考早知道：结合乘法公式确定字母的值；利用乘法公式的变形求代数式的值或进 行简便运算；利用乘法公式进行化简求值；几何背景下乘法公式的探讨. 　(教材P108例1改编)下列不能用平方差公式运算的是(　B　) A. (－ x ＋2)(－ x －2) B. (－2 m － n )(－2 m － n ) C. (－2 a ＋ b )(2 a ＋ b ) D. ( y － x )(－ x － y ) B 　(2024周口期末)若( x ＋ a )2＝ x2－10 x ＋ b ，则 a ， b 的值分别为(　D　) A. 2，4 B. 5，－25 C. －2，25 D. －5，25 子题2.1(2024信阳期末)如果 x2＋ mx ＋16是完全平方式，那么 m 的值是(　D　) A. 8 B. 4 C. ±4 D. ±8 D D 　(2024平顶山期末)下列运算正确的是(　A　) A. ( a － b )(－ a － b )＝ b2－ a2 B. (2 a ＋ b )2＝4 a2＋2 ab ＋ b2 C. ( a － b )2＝ a2－ ab ＋ b2 D. (－ a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2 A 　(教材P112习题T7改编)(2024驻马店期末)若 m ＋ n ＝7， mn ＝12，则 m2－ mn ＋ n2的值是(　B　) A. 11 B. 13 C. 37 D. 61 解析：∵ m ＋ n ＝7， mn ＝12，∴( m ＋ n )2＝ m2＋2 mn ＋ n2＝49，∴ m2＋ n2＝ 25，∴ m2－ mn ＋ n2＝25－12＝13. B 　(教材P109思考改编)(2024南阳期末)如图，在边长为2 a 的正方形中央剪去 一个边长为 a ＋2的小正方形( a ＞2)，将剩余部分剪开，密铺成一个平行四边形， 则该平行四边形的面积为(　C　) A. 3 a2－4 B. 2 a2＋4 a C. 3 a2－4 a －4 D. 3 a2＋4 a ＋4 解析：该平行四边形的面积为(2 a )2－( a ＋2)2＝4 a2－ a2－4 a －4＝3 a2－4 a －4. C 子题5.1(2023濮阳期末)如图，从边长为 a ＋1的正方形纸片中剪去一个边长为 a －1 的正方形( a ＞1)，剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，则 该长方形的面积是(　A　) A. 4 a B. 2 a C. a2－1 D. 2 解析：根据拼图可知，拼成的长方形的长为( a ＋1)＋( a －1)＝2 a ，宽为( a ＋1)－ ( a －1)＝2，因此面积为2 a ×2＝4 a . A $$中考衔接点13　乘法公式 1 中考早知道：利用提公因式法、公式法因式分解；利用因式分解进行简便运算；结 合因式分解的相关知识判定三角形的形状以及利用因式分解进行说理论证. 　(教材P116例3改编)对多项式4－ x2进行因式分解，正确的是(　D　) A. 4－ x2＝(4＋ x )(4－ x ) B. 4－ x2＝( x ＋2)( x －2) C. 4－ x2＝(1＋2 x )(1－2 x ) D. 4－ x2＝(2＋ x )(2－ x ) D 子题1.1(2024郑州期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　C　) A. x2＋2 x －1＝( x －1)2 B. ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2 C. x2＋4 x ＋4＝( x ＋2)2 D. ax － a ＋1＝ a ( x －1)＋1 C 子题1.2(2024商丘期末)若多项式 x2＋ mx ＋36因式分解的结果是( x －2)( x －18)，则 m 的值是(　A　) A. －20 B. －16 C. 16 D. 20 A 子题1.3已知实数 m 满足 m2－ m －1＝0，则2 m3－3 m2－ m ＋9＝ ⁠. 解析：∵ m2－ m －1＝0，∴ m2－ m ＝1，∴2 m3－3 m2－ m ＋9＝(2 m3－2 m2)－ m2 － m ＋9＝2 m ( m2－ m )－ m2－ m ＋9＝2 m － m2－ m ＋9＝－ m2＋ m ＋9＝－( m2－ m )＋9＝－1＋9＝8. 8　 　(2023郑州期末)如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形 的相邻边长为 a ， b ( a ＞ b )，周长为20，面积为16，请计算 a2 b － ab2的值为 (　A　) A. 96 B. 480 C. 320 D. 160 解析：由题意，得2( a ＋ b )＝20， ab ＝16，∴ a ＋ b ＝10，∴( a － b )2＝( a ＋ b )2－ 4 ab ＝102－4×16＝36.∵ a ＞ b ，∴ a － b ＝6，∴原式＝ ab ( a － b )＝16×6＝96. A 　(2023郑州中原区期末)若 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且 a2－ c2－ bc ＋ ab ＝0，则△ ABC 的形状是 ⁠. 解析：由 a2－ c2－ bc ＋ ab ＝0，得( a ＋ c )( a － c )＋ b ( a － c )＝0，即( a － c )( a ＋ b ＋ c )＝0.∵ a ＋ b ＋ c ≠0，∴ a － c ＝0，即 a ＝ c ，因此△ ABC 是等腰三角形. 等腰三角形　 　仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式 x2－4 x ＋ m 有一个因式是 x ＋3，求另一个因式以及 m 的值. 解：设另一个因式为 x ＋ n ， 则 x2－4 x ＋ m ＝( x ＋3)( x ＋ n )，即 x2－4 x ＋ m ＝ x2＋( n ＋3) x ＋3 n ， ∴解得 故另一个因式为 x －7， m 的值为－21. 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式 x2＋3 x － k 有一个因式是 x －5，求另一个因式以及 k 的值. 解：设另一个因式为 x ＋ p . 由题意，得 x2＋3 x － k ＝( x ＋ p )( x －5)，即 x2＋3 x － k ＝ x2＋( p －5) x －5 p ， 则解得 ∴另一个因式为 x ＋8， k 的值为40. 5. 应用场景　(2024新乡期末)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用 “因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式 x4－ y4，因式分解的结 果是( x ＋ y )( x － y )( x2＋ y2)，若取 x ＝9， y ＝9，则各个因式的值是 x ＋ y ＝18， x － y ＝0， x2＋ y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码.那么对于 多项式9 x3－ xy2，取 x ＝11， y ＝6时，用上述方法产生的密码是 ⁠ (写出一个即可). 解析：9 x3－ xy2＝ x (9 x2－ y2)＝ x (3 x ＋ y )(3 x － y ).当 x ＝11， y ＝6时，各个因式 的值是 x ＝11，3 x ＋ y ＝39，3 x － y ＝27.用上述方法产生的密码是113927或112739 或391127或392711或273911或271139. 113927(答案不唯 一)　 6. 规律探究　(2024郑州金水区期末)发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之 差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. (1)验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的 平方和； 解：(1)10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22. (2)探究：设“发现”中的两个已知正整数为 m ， n ，请论证“发现”中的结 论正确； 解：(2)( m ＋ n )2＋( m － n )2 ＝ m2＋2 mn ＋ n2＋ m2－2 mn ＋ n2 ＝2 m2＋2 n2 ＝2( m2＋ n2). ∵ m ， n 为正整数，∴ m2＋ n2为正整数，∴2( m2＋ n2)一定是偶数， ∴该偶数的一半为 m2＋ n2. 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半 也可以表示为两个正整数的平方和. (3)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，判断这个命题是真命题还是 假命题. 解：(3)设两个相邻的奇数为2 x －1和2 x ＋1， x 为整数. 由题意，得(2 x ＋1)2－(2 x －1)2 ＝[(2 x ＋1)＋(2 x －1)][(2 x ＋1)－(2 x －1)] ＝4 x ×2 ＝8 x ， 故两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，是真命题. $$中考衔接点14　乘法公式 1 中考早知道：分式有无意义以及分式值为0的条件；分式的基本性质的灵活运用； 最简分式等相关概念. 　(2024周口鹿邑期末)若 是分式，则□可以是(　D　) A. π B. 2 023 C. 0 D. x 子题1.1(2023郑州期末)下列代数式中是分式的为(　D　) A. x B. C. － D. D D 　(2021河南中考)若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ⁠. 子题2.1分式 的值为零，则 x 的值为 ⁠. 　 x ≠1　 3　 　下列分式中，是最简分式的是(　C　) A. B. C. D. 子题3.1(2024焦作期末)若分式 是最简分式，则△表示的可以是(　D　) A. 2 x ＋2 y B. ( x － y )2 C. x2＋2 xy ＋ y2 D. x2＋ y2 C D 　(2023郑州期末)如果把分式 中的 x ， y 同时扩大为原来的6倍，那么该 分式的值(　D　) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的6倍 D 　已知 x ＋2 y －1＝0，求代数式 的值. 解：∵ x ＋2 y －1＝0，∴ x ＋2 y ＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝2. 子题5.1若 ＋ ＝3，则分式 的值为 　－ 　. 解析：∵ ＋ ＝3，∴ ＝3，即 m ＋ n ＝3 mn ，∴原式＝ ＝ ＝ ＝－ . 解：∵ x ＋2 y －1＝0，∴ x ＋2 y ＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝2. － 　 子题5.2已知非零实数 x ， y 满足 y ＝ ，则 的值为 ⁠. 4　 $$中考衔接点15　分式的运算 1 中考早知道：分式的加减、乘除、乘方以及混合运算与分式的化简求值；用科学记 数法表示较小的数；负整数指数幂的运算. 　(2023河南中考)化简 ＋ 的结果是(　B　) A. 0 B. 1 C. a D. a －2 子题1.1(2024新乡期末)计算 ＋ 的结果是(　A　) A. 3 B. 3 m ＋3 C. 2 D. B A 　(2020河南中考)先化简，再求值：(1－ )÷ ，其中 a ＝ ＋1. 解：(1－ )÷ ＝ · ＝ a －1. 当 a ＝ ＋1时，原式＝ ＋1－1＝ . 子题2.1(2019河南中考)先化简，再求值：( －1)÷ ，其中 x ＝ . 解：( －1)÷ ＝( － )÷ ＝ · ＝ . 当 x ＝ 时，原式＝ ＝ . 　(2022河南中考)计算： －( )0＋2－1. 解：原式＝3－1＋ ＝ . 　(2019河南中考)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据 “0.000 004 6”用科学记数法表示为(　C　) A. 46×10－7 B. 4.6×10－7 C. 4.6×10－6 D. 0.46×10－5 解：原式＝3－1＋ ＝ . C 子题4.1(2023郑州金水区期末)经过多年的努力，我国在光刻机研发上已经取得了重 大突破，前段时间上海微电子宣布已经成功研发出0.000 000 028米光刻机，这对于 我国芯片制造业来说是一个非常振奋人心的消息.数据“0.000 000 028”用科学记数 法表示是(　A　) A. 2.8×10－8 B. 2.8×10－9 C. 28×10－9 D. 2.8×10－10 A 子题4.2跨学科·物理　(2023郑州高新区模拟)在物理学中，电阻表示导体对电流阻 碍作用的大小，电阻的单位是欧姆(Ω).比欧姆大的单位还有千欧(KΩ)、兆欧(MΩ)、 吉欧(GΩ).它们之间的换算关系是：1 GΩ＝1 000 MΩ，1 MΩ＝1 000 KΩ，1 KΩ＝ 1 000 Ω.教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为1 200 Ω.数据“1 200 Ω”用科学记数 法表示为(　C　) A. 12×10－6 GΩ B. 1 200×10－9 GΩ C. 1.2×10－6 GΩ D. 1.2×10－9 GΩ C 5. 过程性学习　(2023江西中考)化简( ＋ )· .下面是甲、乙两同学的部分 运算过程： (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号) ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律. ②　 ③　 (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程. 解：选择乙同学的解法.(答案不唯一) 　( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝ · ＋ · ＝ x －1＋ x ＋1 ＝2 x . $$中考衔接点16　解分式方程及其应用 1 中考早知道：分式方程的有关概念；解分式方程；根据分式方程有无解确定字母的 值或取值范围；利用分式方程解决工程、行程、购买及其他问题. 　(2023开封期末)下列方程中是分式方程的是(　C　) A. －2 x ＝1 B. 2 x2＝ x －3 C. ＝2 D. ＝2 C 　(2024驻马店二模)若关于 x 的分式方程 ＝ 的解是 x ＝2，则 m 的值为 (　A　) A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 子题2.1关于 x 的方程 ＝ 的解为 x ＝1，则 a 的值为(　A　) A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 A A 子题2.2(2023郑州期末)已知关于 x 的分式方程 － ＝1的解是正数，则 m 的 取值范围是 ⁠. 解析：去分母，得2 x － m ＋3＝ x －1，解得 x ＝ m －4.∵该方程的解是正数，∴ m －4＞0，解得 m ＞4.∵ x －1≠0，即 x ＝ m －4≠1，∴ m ≠5，∴ m ＞4且 m ≠5. m ＞4且 m ≠5　 子题2.3(2023平顶山期末)关于 x 的方程： － ＝1. (1)当 a ＝3时，求这个方程的解； 解：(1)当 a ＝3时，原方程为 － ＝1. 方程两边同乘( x －1)，得3 x ＋1＋2＝ x －1，解得 x ＝－2. 经检验， x ＝－2是原方程的解. (2)若这个方程有增根，求 a 的值. 解：(2)方程两边同乘( x －1)，得 ax ＋1＋2＝ x －1，即( a －1) x ＝－4. 若原方程有增根，则 a －1≠0， x －1＝0，解得 a ≠1， x ＝1. 将 x ＝1代入整式方程，得 a －1＝－4，解得 a ＝－3. 　(教材P153例4改编)甲、乙两人都要走3 km的路，甲的速度是乙的速度的1.2 倍，甲比乙少用6 min，则甲的速度是 ⁠km/h. 解析：设甲用的时间是 x min，则乙用的时间是( x ＋6)min.根据题意，得 ＝1.2× ，解得 x ＝30.经检验， x ＝30是原方程的解，且符合题意.30 min＝ h，甲的速 度是3÷ ＝6(km/h). 6　 子题3.1某物流仓储公司用 A ， B 两种型号的机器人搬运物品，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运20 kg， A 型机器人搬运1 000 kg所用时间与 B 型机器人搬运 800 kg所用时间相等，则 A 型机器人每小时搬运物品 ⁠kg. 解析：设 B 型机器人每小时搬运 x kg物品，则 A 型机器人每小时搬运( x ＋20)kg物 品.根据题意，得 ＝ ，解得 x ＝80.经检验， x ＝80是原方程的解，且符合题 意.∴ x ＋20＝100. 100　 子题3.2(2024商丘期末)某文具店老板第一次用1 000元购进一批文具，很快销售完 毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元.老板用2 500元购进了第 二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批 文具的售价均为每件15元. (1)第二次购进了多少件文具？ 解：(1)设第一次购进了 x 件文具，则第二次购进了2 x 件文具. 由题意，得 ＝ －2.5，解得 x ＝100. 经检验， x ＝100是原方程的解，且符合题意. 则2 x ＝2×100＝200. 答：第二次购进了200件文具. (2)文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损 耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由. 解：(2)盈利.理由如下： 第一次购进了100件文具，利润为15×100－1 000－30＝470(元)； 第二次购进了200件文具，利润为15×200－2 500－125＝375(元). ∴这两笔生意是盈利，利润为470＋375＝845(元). 4. 提供示例支架　阅读下列材料：关于 x 的方程 x ＋ ＝ c ＋ 的解是 x1＝ c ， x2＝ ( x1， x2表示未知数 x 的两个实数解，下同)； x ＋ ＝ c ＋ 的解是 x1＝ c ， x2＝ ； x ＋ ＝ c ＋ 的解是 x1＝ c ， x2＝ . 请观察上述方程与解的特征，比较关于 x 的方程 x ＋ ＝ c ＋ ( m ≠0)与它们的关 系，猜想它的解是 ⁠. x1＝ c ， x2＝ 　 由上述的观察、比较、猜想，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的 倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常 数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于 x 的方程： (1) x ＋ ＝ ；　　(2) x ＋ ＝ a ＋ ；　　(3) x ＋ ＝ . 解：(1)∵ x ＋ ＝ ，∴ x ＋ ＝5＋ ，∴ x1＝5， x2＝ . (2)∵ x ＋ ＝ a ＋ ，∴ x －1＋ ＝ a －1＋ ， ∴ x －1＝ a －1或 x －1＝ ，∴ x1＝ a ， x2＝ . (3)∵ x ＋ ＝ ，∴2 x ＋ ＝ ，∴2 x ＋ ＝ a ＋3＋ ， ∴2 x －3＋ ＝ a ＋ ，∴2 x －3＝ a 或2 x －3＝ ，∴ x1＝ ， x2＝ . $$中考衔接点1　与三角形有关的线段 1 中考早知道：利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形，并解决与之有关 的实际问题；识别三角形的高并掌握其画法；利用三角形的中线进行计算；判断三 角形的角平分线. 　(教材P4练习T2改编)下列三条线段中，能组成三角形的是(　B　) A. 2，3，5 B. 5，5，6 C. 1，1，2 D. 4，7，12 子题1.1有两根长度分别是4 cm 和6 cm 的木棒，从下列长度的木棒中选择一根，能 与它们摆成一个三角形的是(　B　) A. 2 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 11 cm B B 子题1.2开放性设问　(2023徐州中考)若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别 为3和5，则第三边的长可以为 .(写出一个即可) 子题1.3(2024信阳浉河区期末)已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长， a ， b 满足｜ a － 7｜＋( b －1)2＝0， c 为奇数，则 c ＝ ⁠. 3(答案不唯一)　 7　 　(2024三门峡灵宝期末)如图，为估计池塘岸边 A ， B 两点间的距离，小杰在 池塘的一侧选取一点 O ，测得 OA ＝10米， OB ＝6米，则 A ， B 两点间的距离可能 是(　B　) 母题2图 A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 B 子题2.1创设情境　初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，小刚平时助跑跳 跃距离约为(4.5±0.1)米，他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭( AB 的长 度)，于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得 AC ＝2.2米， BC ＝2.1米，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战.(填“能”或“不能”) 子题2.1图 能　 　(教材P5练习T1改编)在下列△ ABC 中，正确画出 AC 边上的高的图形是 (　D　) D 　(教材P5练习T2(1)改编)如图所示， AD 是△ ABC 的中线， AB ＝12， AC ＝ 10，则△ ABD 的周长和△ ACD 的周长差为(　C　) A. 6 B. 3 C. 2 D. 不确定 母题4图 C 子题4.1如图，已知△ ABC 中，点 D ， E 分别是边 BC ， AB 的中点.若△ ABC 的面积 为8，则△ BDE 的面积为(　A　) 子题4.1图 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：∵点 D 是边 BC 的中点，△ ABC 的面积为8，∴ S△ ABD ＝ S△ ABC ＝4.∵点 E 是 边 AB 的中点，∴ S△ BDE ＝ S△ ABD ＝ ×4＝2. A 　(教材P7练习改编)如图所示图形中具有稳定性的是(　D　) D 　(教材P9习题T9改编)如图， D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， DE ∥ AC 交 AB 于 点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F ，且∠ ADE ＝∠ ADF ， AD 是△ ABC 的角平分线吗？请 说明理由. 解： AD 是△ ABC 的角平分线.理由如下： ∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ，∴∠ ADE ＝∠ DAF ，∠ ADF ＝∠ EAD . ∵∠ ADE ＝∠ ADF ，∴∠ DAF ＝∠ EAD . 又∵∠ DAF ＋∠ EAD ＝∠ BAC ，∴ AD 是△ ABC 的角平分线. 7. 提供示例支架　如图1所示，△ ABC 是直角三角形， BD 是斜边上的高，若 AB ＝ 3， BC ＝4， AC ＝5，求 BD 的长. 解：∵ S△ ABC ＝ AB · BC ， S△ ABC ＝ AC · BD ， ∴ AB · BC ＝ AC · BD ，∴3×4＝5 BD ，则 BD ＝ . 以上求解的基本思想是以三角形的面积不变为相等关系，通过从不同角度表示同一 三角形的面积来发现三角形各边及其边上的高的关系，这种解决问题的方法我们常 称为“面积法”.根据你的理解回答下面的问题： 如图2所示，△ ABC 中， AD ， CE 都是△ ABC 的高，且 AD ＝3 cm， CE ＝2 cm， AB ＝6 cm，求 BC 的长. 解：∵ S△ ABC ＝ BC · AD ＝ AB · CE ， ∴ BC · AD ＝ AB · CE ， ∴3 BC ＝6×2，则 BC ＝4 cm. $$中考衔接点2　与三角形有关的角 1 中考早知道：三角形内、外角的计算和证明；直角三角形的性质和判定的应用. 　(教材P17习题T6改编)如图， AB ∥ CD ，∠ A ＝45°，∠ C ＝20°，则∠ E 的 度数为(　B　) 母题1图 A. 20° B. 25° C. 35° D. 45° B 　如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点 B 放在直线 EF 上，∠ C ＝30°， AC ∥ EF ，则∠1＝(　C　) 母题2图 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C 子题2.1如图，直线 AB ∥ CD ，且 AC ⊥ CB 于点 C ，若∠ BAC ＝35°，则∠ BCD 的度 数为(　B　) 子题2.1图 A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° B 子题2.2(2023商丘一模)如图，直线 a ∥ b ，Rt△ ABC 如图放置，若∠1＝28°，∠2＝ 80°，则∠ B 的度数为(　C　) 子题2.2图 A. 62° B. 52° C. 38° D. 28° 解析：∵ a ∥ b ，∴∠1＋∠ BAC ＝∠2，∴∠ BAC ＝∠2－∠1＝80°－28°＝ 52°.∵∠ ACB ＝90°，∴∠ B ＋∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＝90°－52°＝38°. C 　(2024安阳滑县期末)如图， BD 是△ ABC 的角平分线，已知 DE ∥ BC ，若∠ A ＝80°，∠ C ＝40°，则∠ ADB 的度数为(　A　) 母题3图 A. 70° B. 60° C. 90° D. 80° A 子题3.1(2024郑州巩义期末)如图， BD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ BC ，交 AB 于点 E . 若∠ A ＝30°，∠ BDC ＝50°，则∠ BDE 的度数是 ⁠. 子题3.1图 20°　 子题3.2一副三角板拼成如图所示的图形，则∠1的度数为 ⁠. 子题3.2图 75°　 　(2023信阳平桥区期末)如图，在△ ABC 中， M ， N 分别是边 AB ， BC 上的 点，将△ BMN 沿 MN 折叠，使点 B 落在点B'处，若∠ B ＝35°，∠ BNM ＝28°，则 ∠AMB'的度数为(　C　) 母题4图 A. 30° B. 37° C. 54° D. 63° C 解析：由折叠，得∠ BMN ＝∠ B ' MN . ∵∠ B ＝35°，∠ BNM ＝28°，∴∠ BMN ＝180°－35°－28°＝117°，∠ AMN ＝35°＋28°＝63°，∴∠ B ' MN ＝117°，∴∠ AMB '＝∠ B ' MN －∠ AMN ＝117°－63°＝54°. 子题4.1如图，把△ ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在图中的A'处，若∠ A ＝29°， ∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 ⁠. 子题4.1图 解析：∵∠ BDA '＝90°，∴∠ ADA '＝90°.由折叠，得∠ ADE ＝∠ A ' DE ＝45°， ∠ AED ＝∠ A ' ED . ∵∠ CED ＝∠ A ＋∠ ADE ＝29°＋45°＝74°，∴∠ AED ＝106°， ∴∠ A ' ED ＝106°，∴∠ A ' EC ＝∠ A ' ED －∠ CED ＝106°－74°＝32°. 32°　 　如图， B 处在 A 处的南偏西45°方向， C 处在 A 处的南偏东30°方向， C 处在 B 处的北偏东80°方向，求∠ ACB 的度数. 解：如图，∵ AD ， BE 是正南、正北方向，∴ BE ∥ AD . ∵∠ BAD ＝45°，∴∠ ABE ＝∠ BAD ＝45°. ∵∠ EBC ＝80°，∴∠ ABC ＝80°－45°＝35°. ∵∠ BAC ＝∠ BAD ＋∠ DAC ＝45°＋30°＝75°， ∴∠ ACB ＝180°－∠ ABC －∠ BAC ＝180°－35°－75°＝70°. 6. (2024郑州期末)如图，已知∠ AOB ＝90°，点 C ， D 分别在射线 OA ， OB 上， CE 是∠ ACD 的平分线， CE 的反向延长线与∠ CDO 的平分线交于点 P . (1)如图1，当∠ OCD ＝50°时，∠ P ＝ ⁠； 45°　 (2)如图2，当点 C ， D 在射线 OA ， OB 上任意移动时(不与点 O 重合)，∠ P 的大小 是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠ P 的度数； 解：(2)不变.设∠ OCD ＝β，∴∠ ACD ＝180°－∠ OCD ＝180°－β. ∵∠ AOB ＝90°，∴∠ CDO ＝90°－β. ∵ CE 是∠ ACD 的平分线， DP 是∠ CDO 的平分线， ∴∠ ECD ＝ ∠ ACD ＝90°－ β，∠ PDC ＝ ∠ CDO ＝45°－ β. ∵∠ P ＋∠ PDC ＝∠ ECD ，∴∠ P ＝90°－ β－(45°－ β)＝45°. (3)如图3，在第(2)问的基础上，若∠ AOB ＝α(0°＜α＜180°)，其他条件不变，请直 接写出∠ P 的度数. 解：(3)∠ P ＝ α. $$中考衔接点3　多边形及其内角和 1 中考早知道：求正多边形的边数、内外角的度数以及多边形内角和与外角和的综合 应用，计算不规则图形中多个角的度数和. 　(教材P22例2改编)正十二边形的外角和为(　C　) A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800° 　若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是 (　C　) A. 5或6 B. 6或7 C. 5或6或7 D. 6或7或8 C C 　(教材P23图11.3－12改编)如图，小陈从 O 点出发，前进5米后向右转20°， 再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点 O 时一共走 了(　C　) 母题3图 A. 60米 B. 100米 C. 90米 D. 80米 解析：依题意可知，小陈所走路径为正多边形.这个正多边形的边数为360°÷20°＝ 18，∴他第一次回到出发点 O 时一共走了5×18＝90(米). C 　(2024驻马店驿城区期末)图中表示被撕掉一块的正 n 边形纸片，若 a ⊥ b ， 则 n 的值是(　B　) 母题4图 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B 解析：如图，延长 a ， b 交于点 A . ∵ a ⊥ b ，∴∠ A ＝90°，∴这个正多边形的一 个外角为 ＝45°，∴ n ＝ ＝8. 子题4.1(2024新乡期末)如图，被树叶遮掩的部分是一个正 n 边形，若直线 a ， b 所 夹锐角为36°，则 n 的值是(　D　) 子题4.1图 A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 D 解析：如图，由题意，得∠1＝36°.又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝ 144°.∵正多边形的每个外角都相等，∴∠2＝∠3＝72°.∵正多边形的外角和为 360°，∴这个正多边形的边数是360°÷72°＝5. 5. 建筑美学　(2023兰州中考)如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓 是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意 图，它的一个外角∠1＝(　A　) A. 45° B. 40° C. 60° D. 30° 第5题图 A 6. (2024驻马店正阳期末)如图所示的是第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边 缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ⁠. 第6题图 40°　 $$中考衔接点4　全等三角形的性质 1 中考早知道：识别全等形；运用全等三角形的性质解决与线段、角度有关的计算或 证明. 　(教材P31图12.1－1改编)下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是 (　B　) B 　(2024信阳期末)如图，已知△ ABC ≌△ DEF ，且∠ A ＝60°，∠ B ＝40°，则 ∠ F 的度数是(　A　) 母题2图 A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° A 子题2.1(2024商丘期末)如图，△ ABD ≌△ ACE ，若 AB ＝15， AD ＝8，则 CD 的长为 (　D　) 子题2.1图 A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 D 子题2.2若△ ABC ≌△ DEF ，则根据图中提供的信息，可得出 x 的值为 ⁠. 子题2.2图 30　 子题2.3如图所示，已知△ ABE ≌△ ACD . (1)如果 BE ＝6， DE ＝2，求 BC 的长； 解：(1)∵△ ABE ≌△ ACD ，∴ BE ＝ CD . 又∵ BE ＝6， DE ＝2，∴ CE ＝ CD － DE ＝ BE － DE ＝4， ∴ BC ＝ BE ＋ CE ＝6＋4＝10. (2)如果∠ BAC ＝75°，∠ BAD ＝30°，求∠ DAE 的度数. 解：(2)∵△ ABE ≌△ ACD ，∴∠ BAE ＝∠ CAD . ∵∠ CAD ＝∠ BAC －∠ BAD ＝75°－30°＝45°，∴∠ BAE ＝45°， ∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝45°－30°＝15°. $$中考衔接点5　三角形全等的判定 1 中考早知道：添加条件证明三角形全等；利用三角形全等的判定与性质进行计算或 证明；利用三角形全等解决生活中的测量问题. 　开放性设问　(2024登封期末)如图， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，请写出图中全 等的三角形 .(写出一组即可) 母题1图 △ ABD ≌△ ACE (答案不唯一)　 子题1.1(2023郑州期末)如图，在△ ABC 和△ DEF 中，点 A ， E ， B ， D 在同一条直 线上， BC ∥ EF ， AC ＝ DF ，只添加一个条件，能判定△ ABC ≌△ DEF 的是(　A　) 子题1.1图 A. ∠ A ＝∠ D B. AE ＝ DB C. ∠ A ＝∠ DEF D. BC ＝ EF A 　(2024南阳镇平期末)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所 示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两 块去配，下列选项中可以配出符合要求的模具的是(　B　) 母题2图 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ B 　(2024信阳浉河区期末)如图，平面直角坐标系中有点 B (－1，0)和点 A (0， 2)，以 A 点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ ABC ，则 C 点的坐标为 ⁠ ⁠. 母题3图 (－2， 3)　 　(教材P44习题T6改编)如图， AB ＝ AC ， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，垂足分别 为 D ， E . 求证：△ ABE ≌△ ACD . 证明：∵ CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，∴∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°. 在△ ABE 和△ ACD 中， ∴△ ABE ≌△ ACD (AAS). 子题4.1已知：如图， AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， AF ＝ DC . 求证：∠ B ＝∠ E . 证明：∵ AF ＝ DC ，∴ AF ＋ CF ＝ DC ＋ CF ，即 AC ＝ DF . ∵ AB ∥ DE ，∴∠ A ＝∠ D . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF (SAS)，∴∠ B ＝∠ E . 子题4.2(2023衢州中考)已知：如图，在△ ABC 和△ DEF 中，点 B ， E ， C ， F 在同 一条直线上.下面四个条件： ① AB ＝ DE ；② AC ＝ DF ；③ BE ＝ CF ；④∠ ABC ＝∠ DEF . (1)请选择其中的三个条件，使得△ ABC ≌△ DEF (写出一种情况即可)； 解：(1)①②③(或①③④). (2)在(1)的条件下，求证：△ ABC ≌△ DEF . 解：(2)证明：当选择①②③时， ∵ BE ＝ CF ，∴ BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SSS)； 当选择①③④时， ∵ BE ＝ CF ，∴ BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ≌△ DEF (SAS). 5. 跨学科·物理　小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步 的探究.在一个支架的横杆点 O 处用一根细绳悬挂一个小球 A ，小球 A 可以自由摆 动，如图， OA 表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠进小球时，小球从 OA 摆到 OB 位置，此时过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D ，当小球摆到 OC 位置时， OB 与 OC 恰好垂直(图中的点 A ， B ， O ， C 在同一平面上)，过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E ，测 得 CE ＝15 cm， BD ＝9 cm， AE ＝8 cm. (1)求证： OE ＝ BD ； 解：(1)证明：∵ OB ⊥ OC ，∴∠ BOD ＋∠ COE ＝90°. ∵ CE ⊥ OA ， BD ⊥ OA ，∴∠ CEO ＝∠ ODB ＝90°， ∴∠ BOD ＋∠ B ＝90°，∴∠ COE ＝∠ B . 在△ COE 和△ OBD 中， ∴△ COE ≌△ OBD (AAS)，∴ OE ＝ BD . (2)求 AD 的长. 解：(2)∵△ COE ≌△ OBD ，∴ CE ＝ OD ＝15 cm， OE ＝ BD ＝9 cm， ∴ DE ＝ OD － OE ＝15－9＝6(cm)， ∴ AD ＝ AE － DE ＝8－6＝2(cm). $$中考衔接点6　角平分线的性质与判定 1 中考早知道：利用角平分线的性质计算线段长度、三角形面积或证明线段相等. 　(2024驻马店期末)如图， OP 平分∠ AOB ， PC ⊥ OB 于点 C ，点 Q 是射线 OA 上的一个动点，若 PC ＝4.5，则 PQ 的最小值为(　A　) 母题1图 A. 4.5 B. 3.5 C. 4 D. 5 A 子题1.1如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分 别交 AC ， AB 于点 M ， N ，再分别以点 M ， N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画 弧，两弧交于点 O ，作射线 AO 交 BC 于点 D ，若 CD ＝3， P 为 AB 上一动点，则 PD 的最小值为 ⁠. 子题1.1图 3　 子题1.2如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AD ＝3，连接 BD ， BD ⊥ CD ，∠ ADB ＝∠ C . 若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 ⁠. 子题1.2图 3　 　(2024新乡期末)如图， OP 平分∠ AOB ， PC ⊥ OA 于点 C ，点 D 在 OB 上， 若 PC ＝2， OD ＝4，则△ POD 的面积为(　A　) 母题2图 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 A 子题2.1(2023许昌禹州期末)如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ，若 AB ＝10， AC ＝8，则 S△ ABD ∶ S△ ACD ＝(　B　) 子题2.1图 A. 25∶16 B. 5∶4 C. 16∶25 D. 4∶5 B 子题2.2如图，△ ABC 的三边 AB ， BC ， AC 的长分别为10 cm，15 cm和20 cm，三 条角平分线的交点为 O ，则 S△ AOB ∶ S△ BOC ∶ S△ COA ＝(　A　) 子题2.2图 A. 2∶3∶4 B. 3∶4∶5 C. 1∶2∶3 D. 5∶12∶13 A 解析：如图，过点 O 作 OM ⊥ AB 于点 M ， ON ⊥ BC 于点 N ， OK ⊥ AC 于点 K . ∵△ ABC 的三条角平分线的交点为 O ，∴ OM ＝ ON ＝ OK ，∴ S△ AOB ＝ AB · OM ， S△ BOC ＝ BC · ON ， S△ COA ＝ AC · OK . ∵ AB ， BC ， AC 的长分别为10 cm，15 cm和20 cm，∴ S△ AOB ∶ S△ BOC ∶ S△ COA ＝ AB ∶ BC ∶ AC ＝10∶15∶20 ＝2∶3∶4. 子题2.3(教材P51习题T2改编)如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ，△ ABC 的面积是72 cm2， AB ＝14 cm， AC ＝10 cm， 求 DE 的长. 解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，∴ DE ＝ DF . ∵ S△ ABD ＋ S△ ACD ＝ S△ ABC ， ∴ AB · DE ＋ AC · DF ＝72， 即 ×14 DE ＋ ×10 DE ＝72，∴ DE ＝6 cm. 3. 应用实践　图1是一个平分角的仪器，其中 OD ＝ OE ， FD ＝ FE . (1)如图2，将仪器放置在△ ABC 上，使点 O 与顶点 A 重合， D ， E 分别在边 AB ， AC 上，沿 AF 画一条射线 AP ，交 BC 于点 P . AP 是∠ BAC 的平分线吗？请判断并说 明理由； 解：(1) AP 是∠ BAC 的平分线.理由如下： 在△ ADF 和△ AEF 中， ∴△ ADF ≌△ AEF (SSS)， ∴∠ DAF ＝∠ EAF ， ∴ AP 平分∠ BAC ，即 AP 是∠ BAC 的平分线. (2)如图3，在(1)的条件下，过点 P 作 PQ ⊥ AB 于点 Q ，若 PQ ＝6， AC ＝9，△ ABC 的面积是60，求 AB 的长. 解：(2)如图3，过点 P 作 PG ⊥ AC 于点 G . ∵ AP 平分∠ BAC ， PQ ⊥ AB ，∴ PG ＝ PQ ＝6. ∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ APC ＝ AB · PQ ＋ AC · PG ， ∴ AB ×6＋ ×9×6＝60，∴ AB ＝11. $$中考衔接点7　轴对称 1 中考早知道：识别轴对称图形；利用轴对称图形的性质进行计算；利用线段垂直平 分线的性质与判定进行计算或证明；关于坐标轴对称的点的坐标的计算、根据对称 点所在象限结合不等式求字母的取值范围或代数式的值；在平面直角坐标系中画一 个图形关于坐标轴对称的图形. 　新情境·新能源汽车　(2024郑州金水区期末)比亚迪新能源汽车热销海外， 其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命 名，每个车型都有自己对应的汉字篆体Logo，下列Logo中，是轴对称图形的是 (　D　) D 子题1.1传统文化·图腾　(2023郑州二七区期末)中华姓氏源于上古，每个姓氏都有 自己的图腾.下列姓氏图腾是轴对称图形的是(　A　) A 　(教材P65习题T6改编)如图，在△ ABC 中， DE 是 BC 的垂直平分线.若 AB ＝ 5， AC ＝8，则△ ABD 的周长是 ⁠. 13　 　如图，在△ ABC 中，∠ B ＝30°，∠ C ＝40°. (1)尺规作图：(要求：保留作图痕迹，不写作法) ①作边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ； ②连接 AD ，作∠ CAD 的平分线交 BC 于点 E ； (2)在(1)所作的图中，求∠ DAE 的度数. 解：如图，∵ DF 垂直平分线段 AB ，∴ DB ＝ DA ，∴∠ DAB ＝∠ B ＝30°. ∵∠ C ＝40°，∴∠ BAC ＝180°－30°－40°＝110°， ∴∠ CAD ＝110°－30°＝80°. ∵ AE 平分∠ CAD ，∴∠ DAE ＝ ∠ CAD ＝40°. 　在平面直角坐标系中，将点 A (－3，－2)向右平移5个单位长度得到点 B ， 则点 B 关于 y 轴的对称点B'的坐标为(　C　) A. (2，2) B. (－2，2) C. (－2，－2) D. (2，－2) C 子题4.1已知点 P ( a ＋1，2 a －3)关于 x 轴的对称点在第一象限，则 a 的取值范围是 (　B　) A. a ＜－1 B. －1＜ a ＜ C. － ＜ a ＜1 D. a ＞ 解析：∵点 P ( a ＋1，2 a －3)关于 x 轴的对称点为( a ＋1，3－2 a )在第一象限， ∴解得－1＜ a ＜ . B 子题4.2 传统文化·剪纸艺术　剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作 品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角 坐标系中，如果图中点 E 的坐标为( m ，1)，其关于 y 轴对称的点 F 的坐标为(2， n )，则( m ＋ n )2 025的值为(　B　) A. 1 B. －1 C. 32 025 D. 0 B 　(教材P72习题T4改编)如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)， B (2，0)， C (4，3). (1)在平面直角坐标系中画出△ ABC 以及与△ ABC 关于 y 轴对称的△ DEF ； (2)△ ABC 的面积是 ，点 F 的坐标为 ⁠； 4　 (－4，3)　 (3)已知 P 为 x 轴上一点，若△ ABP 的面积为4，求点 P 的坐标. 解：∵ P 为 x 轴上一点，△ ABP 的面积为4， ∴ BP ＝8， ∴点 P 的横坐标为2＋8＝10或2－8＝－6， 故点 P 的坐标为(10，0)或(－6，0). $$中考衔接点8　等腰三角形的性质与判定 1 中考早知道：利用等腰三角形的性质求角度或线段的长或等腰三角形的性质与判定 的综合运用. 　(2024新乡期末)已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为 (　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 子题1.1分类讨论　如果等腰三角形的两边长分别是6 cm和12 cm，那么它的周长是 (　C　) A. 18 cm B. 24 cm C. 30 cm D. 24 cm或30 cm C 　如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB ＝ AC ，立柱 AD ⊥ BC ，且顶 角∠ BAC ＝120°，则∠ C 的大小为 ⁠. 母题2图 30°　 　如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ B ＝70°，以点 C 为圆心， CA 长为半径 作弧，交直线 BC 于点 P ，连接 AP ，则∠ BAP 的度数是 ⁠. 母题3图 15°或75°　 解析：∵ AB ＝ AC ，∠ ABC ＝70°，∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝70°，∴∠ BAC ＝180°－∠ ACB －∠ ABC ＝180°－70°－70°＝40°.如图，当点 P1在点 B 的左侧时，∵ CA ＝ CP1，∴∠ CAP1＝∠ CP1 A ＝ ＝ ＝55°，∴∠ BAP1＝∠ CAP1－∠ CAB ＝55°－40°＝15°；当点 P2在点 C 的右侧时，∵ CA ＝ CP2，∴∠ CAP2＝ ∠ CP2 A ＝ ＝ ＝35°，∴∠ BAP2＝∠ CAP2＋∠ CAB ＝35°＋40°＝75°.综上所述，∠ BAP 的度数是15°或75°. 子题3.1如图，在△ AOB 中，∠ AOB ＝30°，点 P 是射线 OB 上一动点(点 P 在点 B 的 右侧)，∠ ABP ＝70°，当∠ OAP ＝ 时，△ ABP 是以 BA 为腰的等腰三 角形. 子题3.1图 80°或95°　 解析：如图1，当 BA ＝ AP 时，∵∠ ABP ＝70°，∴∠ APO ＝70°.又∵∠ AOB ＝ 30°，∴∠ OAP ＝180°－∠ AOP －∠ APO ＝180°－30°－70°＝80°；如图2，当 BA ＝ BP 时，∵∠ ABP ＝70°，∴∠ PAB ＝ ×(180°－70°)＝55°.∵∠ AOB ＝30°， ∴∠ BAO ＝70°－30°＝40°，∴∠ OAP ＝∠ OAB ＋∠ BAP ＝40°＋55°＝95°.综上所述，∠ OAP ＝80°或95°. 　(教材P83习题T10改编)如图，在△ ABC 中，点 D 为∠ ABC 的平分线 BD 上的 一点，过点 D 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，连接 CD ，若 BE ＋ CF ＝ EF . 求证：△ CFD 是等腰三角形. 证明：∵ BD 为∠ ABC 的平分线，∴∠ ABD ＝∠ CBD . ∵ EF ∥ BC ，∴∠ EDB ＝∠ CBD ， ∴∠ ABD ＝∠ EDB ，∴ BE ＝ DE . ∵ BE ＋ CF ＝ EF ，∴ DE ＋ CF ＝ DE ＋ DF ，∴ CF ＝ DF ， ∴△ CFD 是等腰三角形. 5. 真实问题情境　(2023贵州中考)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会” 在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型 (示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　B　) A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m B $$中考衔接点9　等边三角形与含30°角的直角三角形的性质 1 中考早知道：等边三角形结合平行线求角度或利用等边三角形的性质和判定进行相 关计算，含30°角的直角三角形的性质的应用. 　(2023驻马店期末)如图，直线 a ∥ b ，等边三角形 ABC 的顶点 C 在直线 b 上，∠2＝40°，则∠1的度数为(　A　) 母题1图 A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° A 子题1.1(2023郑州期末)如图，△ ABC 是等边三角形， AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在 AC 上，且 AE ＝ AD ，则∠ DEC 的度数为(　A　) 子题1.1图 A. 105° B. 95° C. 85° D. 75° A 　如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为6， E ， F 是边 BC 上的三等分点.分别 过点 E ， F 沿着平行于 BA ， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是 ⁠. 母题2图 6　 解析：∵等边三角形纸片 ABC 的边长为6， E ， F 是边 BC 上的三等分点，∴ EF ＝ 2.∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B ＝∠ C ＝60°.又∵ DE ∥ AB ， DF ∥ AC ，∴∠ DEF ＝∠ B ＝60°.∠ DFE ＝∠ C ＝60°，∴△ DEF 是等边三角形，∴剪下的△ DEF 的周 长是2×3＝6. 子题2.1如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路( B ， C 为小路端点)和一棵小树( A 为 小树位置).测得的相关数据为∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝60°， BC ＝48米，则 AC ＝ 米. 子题2.1图 48　 子题2.2如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较 长直角边的中点 M 转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角 顶点 C . 已知 AC ＝4，则这两块直角三角板顶点 A ， A '之间的距离为 ⁠. 子题2.2图 2　 解析：如图，连接AA'. ∵点 M 是 AC 的中点，∴ AM ＝ CM ＝ AC ＝2.由题意，得 CM ＝C'M， AM ＝ A'M，∴A'M＝ MC ＝ AM ＝2，∴∠C'A'B'＝∠A'CM＝30°，∴∠AMA'＝∠C'A'B' ＋∠MCA'＝60°，∴△AMA'是等边三角形，∴A'A＝ AM ＝2. 　创设情境　(教材P81例5改编)如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形， ∠ BAC ＝120°，点 E 是斜梁 AB 的中点，立柱 AD ， EF ， GH 垂直于横梁 BC ， AB ＝8 m，则 EF 的长为(　C　) 母题3图 A. 8 m B. 4 m C. 2 m D. 6 m C 子题3.1(2024商丘期末)如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝30°，边 AB 的垂直平 分线 DE 交 AB 于点 E ，交 BC 于点 D ，连接 AD ，若 CD ＝5，则 BC 的长为(　B　) 子题3.1图 A. 18 B. 15 C. 12 D. 10 解析：∵ DE 是边 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝ BD ，∴∠ B ＝∠ DAB . ∵∠ B ＝ 30°，∠ C ＝90°，∴∠ CAB ＝60°，∠ DAB ＝∠ B ＝30°，∴∠ CAD ＝60°－30°＝ 30°，∴ AD ＝2 CD ＝ BD . ∵ CD ＝5，∴ BD ＝10，∴ BC ＝10＋5＝15. B 　(教材P83习题T12改编)(1)如图1，△ ABD 和△ AEC 都是等边三角形，求证： BE ＝ DC ； 证明：(1)∵△ ABD 和△ AEC 都是等边三角形， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ EAC ＝60°， ∴∠ BAE ＝∠ DAC ＝60°＋∠ BAC . 在△ ABE 和△ ADC 中， ∴△ ABE ≌△ ADC (SAS)，∴ BE ＝ DC . (2)如图2，已知点 F 在直线 BC 上，∠ ABC ＝60°，以 AF 为边作等边三角形 AEF ， 连接 BE ，求证： AB ＋ BF ＝ BE . 证明：(2)如图2，在射线 BC 上截取 DB ＝ AB ，连接 AD . ∵∠ ABC ＝60°，∴△ ABD 是等边三角形，∴ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝60°. ∵△ AEF 是等边三角形，∴ AE ＝ AF ，∠ EAF ＝60°， ∴∠ BAE ＝∠ DAF ＝60°＋∠ BAF . 在△ ABE 和△ ADF 中， ∴△ ABE ≌△ ADF (SAS)，∴ BE ＝ DF . ∵ AB ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ，∴ AB ＋ BF ＝ BE . 5. 情景应用　图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2.当伞收紧 时，点 P 与点 A 重合；当伞慢慢撑开时，动点 P 由点 A 向点 B 移动；当点 P 到达点 B 时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有 PM ＝ PN ， CM ＝ CN . (1)求证： PC 垂直平分 MN ； 解：(1)证明：在△ CMP 和△ CNP 中， ∴△ CMP ≌△ CNP (SSS)，∴∠ MPB ＝∠ NPB . ∵ PM ＝ PN ，∴△ PMN 是等腰三角形， ∴ PB ⊥ MN ， BM ＝ BN ，∴ PC 垂直平分 MN . (2)若 CN ＝ PN ＝60 cm，当∠ CPN ＝60°时，求 AP 的长. 解：(2)∵ CN ＝ PN ＝60 cm，当伞收紧时，点 P 与点 A 重合， ∴ AC ＝ CN ＋ PN ＝120 cm. 当∠ CPN ＝60°时，∵ CN ＝ PN ，∴△ CPN 是等边三角形， ∴ PC ＝ PN ＝60 cm，∴ AP ＝ AC － PC ＝60 cm. $$