专题2.4 用配方法求解一元二次方程（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.4 用配方法求解一元二次方程（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根为（　　） A． B．， C． D．， 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）将方程配方成的形式，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 8．（22-23九年级上·山东临沂·期中）将方程降次转化为一元一次方程，得（　　） A．， B．， C．， D．， 9．（21-22八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系xOy中，若已知点，则下列结论一定不成立的是 A． B． C． D． 10．（21-22九年级上·山西太原·期中）如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：（1）画出AD的中点E，连接BE；（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（    ） A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）的根为 ． 12．（23-24九年级上·北京密云·期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为 ． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）当 时，代数式与的值互为倒数． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程有解，那么的取值范围是 ． 15．（2024八年级下·上海·专题练习）方程的根是 16．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为 ． 18．（22-23九年级·江苏南京·自主招生）已知三角形是等边三角形，点，点，点在第一象限，求点坐标 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2024九年级上·全国·专题练习）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 20．（8分）（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 21．（10分）（23-24九年级上·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中满足． 22．（10分）（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： （1）请猜想：方程的解为 ； （2）请猜想：关于的方程 的解为，； （3）下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 23．（10分）（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 24．（12分）（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题： （1）数对，中，使成立的“神奇数对”是_________； （2）若是使成立的“神奇数对”，求的值； （3）若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题． 【分析】解：∵， ∴x是3的平方根， 则， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了配方法的应用，根据，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，即可作答． 【详解】解：∵方程配方成的形式 ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ∴ 即 ∴， 故选：A 3．C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了解分式方程，偶次幂和算术平方根的非负性，根据偶次幂和算术平方根的非负性以及解分式方程的方法和步骤逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； B、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； C、， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，故该方程有实数根，符合题意； D、∵，∴，∵，∴该方程无实数解，不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D； 故选D． 7．B 【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键． 8．C 【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， 两边都加4得：， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键． 9．A 【分析】由勾股定理可得：，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得： 当时，有最小值 ∴的最小值为 所以A不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键． 10．D 【分析】求出一元二次方程的解，然后利用正方形的性质和勾股定理求得对应线段的长度，即可求解． 【详解】解： ，（舍去） 由题意可得：，， ∵E为AD的中点 ∴ 由勾股定理可得： ∴线段AH的长为方程的一个根 故选D 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，正方形的性质，勾股定理以及圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 11．，． 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，方法是根据平方根的意义开平方即可得出答案． 【详解】解：， ，． 故答案为：，． 12． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解：， 配方得：， 整理得：， ∵即为形式， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程． 根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵代数式与的值互为倒数， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 15． 【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再两次开方即可． 【详解】解：， ， ， 开方得：，或（舍去）， 开方得：， 故答案为：． 16．1 【分析】由已知等式变形表示出，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：， ， ，即， ， ， 当，即时，的最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17．x-4=-（5-2x） 【分析】根据转化思想、直接开平方法解答． 【详解】解：开平方，得x-4=±（5-2x）， ∴x-4=5-2x或x-4=-（5-2x）， ∴他漏掉的另一个方程为x-4=-（5-2x）， 故答案为：x-4=-（5-2x）． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18． 【分析】设，根据等边三角形的性质以及两点间的距离公式，列方程求解即可， 【详解】解：设， ∵为等边三角形， 则， 则，； 两式相减得，代入第一个式子得， 解得或 当时，，则 当时，， 由于在第一象限，、都大于0； 可得． 故答案为： 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，属于课内中等偏上难度题目；注意计算化简的技巧以及第一象限答案的取舍． 19．(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． （1）移项后两边开方，即可求出x； （2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 开方得：， 即，； （2）解：， ， 开方得：， 即，． 20．(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 21．， 【分析】本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程和一元一次不等式组，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 则或， 解得或， 且， 当时， 原式 22．(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）解：方程整理得：， 其解为，； （2）解：猜想得：其解为，， 故答案为：（或； （3）解：方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得，． 经检验，，都是原方程的解． 23．（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 24．(1)； (2)； (3)最小值为． 【分析】（）按照题中定义将数对，分别验算即可； （）根据题意得到关于的分式方程，解方程即可求解； （）根据已知条件，先将和用含的式子表示出来，再根据题意得出关于和的等式，然后可得关于的等式，利用配方即可得到代数式的最小值； 本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是使成立的“神奇数对”； ∵， ∴数对不是使成立的“神奇数对”； 故答案为； （2）解：∵是使成立的“神奇数对”， ∴， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵是使成立的“神奇数对”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$