专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】用配方法求解一元二次方程 (1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)理论依据：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； 　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【特别提示】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【知识点二】配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【特别提示】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接平方法解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【题型2】用配方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则 ； （2）求代数式的最值； （3）若代数式的最大值为8，求k的值． 【变式1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【题型4】 【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·山东泰安·三模）若，则的值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【例2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数， (1) 求函数的定义域； (2)当时，求a的值. 【例2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】用配方法求解一元二次方程 (1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)理论依据：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； 　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【特别提示】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【知识点二】配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【特别提示】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接平方法解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． （1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】（22-23八年级下·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．利用直接开平方法可得方程的解． 解：原方程两边直接开平方可得： ， 原方程两边直接开平方可得： 或者， ∴， 故答案为：． 【题型2】用配方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解； 解：（1）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 解：， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． 利用配方法求解即可． 解：， ， ，即， 方程的两根为， ， ，． 故答案为：，． 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则 ； （2）求代数式的最值； （3）若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案；（2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 【变式1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：D． 【变式2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 【题型4】 【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 【变式2】（2023·山东泰安·三模）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 【例2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数， (1) 求函数的定义域； (2)当时，求a的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求函数值，解一元二次方程，解题的关键是理解题意． （1）根据二次根式有意义的条件可得，，再进行求解即可； （2）根据可得，，再解一元二次方程即可． （1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴函数的定义域为； （2）解：当时，， 即， 解得，． 【例2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点拨】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$