专题2.2 认识一元二次方程（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2 认识一元二次方程（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．4或 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列方程中有一个解为的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 5．（23-24八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山东威海·期末）若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 7．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 8．（22-23八年级下·山东泰安·期中）若的一个解为，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 10．（2024·安徽滁州·模拟预测）若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（    ） A．2或 B．3或 C．2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）方程化为一般形式是 ． 12．（23-24九年级上·广东广州·期末）若2是关于的方程的一个根，则 ． 13．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）设、是方程的两根，则 ． 15．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 18．（2024·福建厦门·模拟预测）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 20．（8分）（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根． 21．（10分）（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 22．（10分）（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 23．（10分）（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 24．（12分）（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，”进行判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、当时，，所以不是方程的解； B、当时，，所以不是方程的解； C、当时，，所以不是方程的解； D、当时，，所以是方程的解． 故选：D． 4．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 6．C 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为和，进而求出两个根的平方和即可． 【详解】解：∵a，b，c满足， ∴关于x的方程的两个根分别为和， ∴； 故选C． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 8．A 【分析】把代入，得，对进行化简，即可． 【详解】∵是的一个解， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解． 9．C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 10．C 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足， 也是关于的方程（其中）的解， 或，解得或（负值舍去）， ， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 去括号得，， 合并同类项得，， ∴方程化为一般形式为， 故答案为：． 12．4 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可． 【详解】解：是一元二次方程， 且， 解得：且， ， 原不等式为：，即 ∴， 故答案为：． 18．小正方形的边长 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解． 【详解】结合图形可知大正方形的面积为， ∵长方形的面积为， ∴四个长方形的面积总和为， 结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：， 故答案为：小正方形的边长． 19．(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 20．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 21．（1）；（2） 【分析】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． （2）根据方程的解的定义，代入解答即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键． 【详解】解：（1）令， 解不等式①，得，解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2）由（1）知不等式组的整数解为， 将代入中，得， 解得． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 23．都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 24．类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$