第3周模拟检测(第1章30%+一元二次函数、方程和不等式70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3周检测(第1章30%+一元二次函数、方程和不等式70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x∈Z|0≤x≤3},B={x∈N|x<3},则A∩B=(　　) A.{0,1,2} B.{0,1,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3} 2.已知不等式-x2-x+6>0,则该不等式的解集是(　　) A.{x|-2<x<3} B.{x|-3<x<2} C.{x|x<-3或x>2} D.{x|x<-2或x>3} 3.“2x2-5x-3<0”的一个必要不充分条件是(　　) A.-<x<3 B.-1<x<6 C.-3<x< D.-<x<0 4.若实数a,b满足a<b<0,则下列不等式正确的是(　　) A.a-b>0 B.ac<bc C. D.|a|<|b| 5.若正实数m,n满足=1,则2m+n的最小值为(　　) A.4 B.6 C.2 D.9 6.若命题“∃x∈R,x2+x+a-1<0”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.若对任意x>0,a≥恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥-1} B.{a|a≥3} C. D.{a|a≤1} 8.关于x的不等式kx2-6kx+k+8≤0的解集为空集,则实数k满足的不等式是(　　) A.0≤k<1 B.0<k≤1 C.k>1或k<0 D.k≤0 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法错误的是(　　) A.命题“∀x∈R,x2≥2”的否定是“∃x∈R,x2<2” B.命题“∃x∈(-3,+∞),x2≤9”的否定是“∀x∈(-∞,-3],x2>9” C.“x2>y2”是“x>y”的必要而不充分条件 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 10.若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解,则实数a的取值可以是(　　) A.0 B.-4 C.-6 D.-8 11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3},则(　　) A.a>0 B.不等式ax+c>0的解集为{x|x<6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为xx< 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知x>-3,则x+的最小值为　　　　　.  13.不等式≤3的解集是　　　　　　　　.  14.已知x>0,y>0,若x+3y+4xy=6,则x+3y的最小值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+3}. (1)若m=4,求A∪B; (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围. 16.(15分) 如图所示,有一批材料长为24 m,如果用材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形,那么围成的矩形场地的最大面积是多少? 17.(15分)(1)若正数a,b满足=1,求a+b的最小值,并求出对应的a,b的值; (2)若正数x,y满足x+y+8=xy,求xy的取值范围. 18.(17分)今年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3 000万元,每生产x(单位:百辆)需另投入成本y(单位:万元),且y=由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出今年的利润S(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本) (2)当今年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?求出最大利润. 19.(17分)设y=ax2+(1-a)x+a-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R). 参考答案 1.A　由题设,A∩B={0,1,2,3}∩{0,1,2}={0,1,2}. 故选A. 2.B　不等式-x2-x+6>0等价于x2+x-6<0, 也即(x+3)(x-2)<0, 故-3<x<2. 故不等式解集为{x|-3<x<2}. 故选B. 3.B　2x2-5x-3<0⇔(x-3)(2x+1)<0⇔-<x<3, 因为x<x<3⫋{x|-1<x<6}, 故选B. 4.C　对于A,因为a<b<0,所以a-b<0,故A错误; 对于B,因为a<b<0,当c≤0时,ac≥bc,故B错误; 对于C,因为a<b<0,所以ab>0,>0,所以a<b,即,即,故C正确; 对于D,若a<b<0,显然有|a|>|b|,故D错误.故选C. 5.D　正实数m,n满足=1,2m+n=(2m+n)=5+5+4=9, 当且仅当,即m=n=3时等号成立. 故选D. 6.D　∃x∈R,x2+x+a-1<0,即函数f(x)=x2+x+a-1的最小值小于0即可,f(x)=x+2+a-, 故a-<0,解得a< 故选D. 7.C　因为x>0, 所以, 当且仅当x=即x=1时取等号, 因为a恒成立, 所以a,即a,故选C. 8.A　因不等式kx2-6kx+k+8≤0的解集为空集,则当k=0时,满足题意, 当k≠0时,必有 解得0<k<1, 综上得0≤k<1,故选A. 9.BC　A.命题“∀x∈R,x2≥2”的否定是“∃x∈R,x2<2”,故正确; B.命题“∃x∈(-3,+∞),x2≤9”的否定是“∀x∈(-3,+∞),x2>9”,故错误; C.x2>y2⇔|x|>|y|,|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|>|y|,所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故错误; D.关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根m<0,所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件,正确. 故选BC. 10.ABC　若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解, 则Δ=16+4(2+a)≥0, 解得a≥-6. 故选ABC. 11.BCD　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3}, 所以-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根,且a<0,故A错误; 由题得,-2+3=-,-2×3=, 所以b=-a,c=-6a,则不等式ax+c>0可化为ax-6a>0, 因为a<0,所以x<6,故B正确; 因为a+b+c=a-a-6a=-6a,又a<0,所以a+b+c>0,故C正确; 不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0, 又a<0,所以-6x2+x+1>0, 即6x2-x-1<0, 即(3x+1)(2x-1)<0, 解得-<x<,故D正确. 故选BCD. 12.-1　因为x>-3, 所以x+3>0,所以x+=x+3+-3≥2-3=-1. 当且仅当x+3=, 即x=-2时取等号. 所以x+的最小值为-1. 13　由3,得-3≤0, 即0, 则 解得x<0或x 故不等式3的解集是 14.3　因为x>0,y>0,x+3y+4xy=6, 所以4xy=6-(x+3y), 即x·3y=6-(x+3y). 因为x·3y2,当且仅当x=3y时取到等号, 所以6-(x+3y), 解得x+3y≥3或x+3y≤-6(舍去), 所以当x=,y=时,x+3y有最小值3. 15.解(1)m=4时,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|3≤x≤11}, ∴A∪B={x|-2≤x≤11}. (2)∵A∩B=B, ∴B⊆A, ∴当B=⌀时,m-1>2m+3, 解得m<-4, 当B≠⌀时,解得-1≤m≤1, ∴实数m的取值范围是{m|m<-4或-1≤m≤1}. 16.解由题意知,3x+2y=24, ∴y=12-x. ∵x>0,y>0, ∴0<x<8, ∴S=2xy=-3x2+24x(0<x<8). 函数图象的对称轴为直线x==4, ∴当x=4时,面积取得最大值,为-3×16+96=48, 或者:由于0<x<8,所以S=2xy=-3x2+24x=3(8-x)x≤3×2=48,当且仅当8-x=x,即x=4时取等号 ∴矩形场地的最大面积为48平方米. 17.解(1)a+b=(a+b)=2++8≥10+2=18, 当且仅当a=6,b=12时取等号,所以a+b最小值为18. (2)xy=x+y+8≥2+8, 即()2-2-8≥0, 即(-4)(+2)≥0, 解得4,所以xy≥16, 当且仅当x=y=4取等号,所以xy的取值范围为{xy|xy≥16}. 18.解(1)由题意得当0<x<40时,S(x)=500x-(10x2+100x)-3 000=-10x2+400x-3 000,当x≥40时,S(x)=500x--3 000=1 500-x-, 所以S(x)= (2)由(1)得当0<x<40时,S(x)=-10x2+400x-3 000, 当x=20时,Smax(x)=1 000, 当x≥40时,S(x)=1 500-x-=1 500-x+, ∵x+2=200,当且仅当x=,即x=100时等号成立, ∴S(x)≤1 500-200=1 300, ∴x=100时,Smax(x)=1 300. ∵1 300>1 000, ∴x=100时, 即今年产量为100百辆时,企业所获利润最大,且最大利润为1 300万元. 19.解(1)由题意可得ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立, 可转化为ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立. ①当a=0时,x≥0,不满足题意; ②当a≠0时,要使ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立,则需满足解得a 所以实数a的取值范围为,+∞. (2)原不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1可化为ax2+(1-a)x-1<0. 1)当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}; 2)当a≠0时,解ax2+(1-a)x-1=0,得x1=1,x2=- ①当a>0时,因为-<0<1,所以不等式的解集为; ②当a<0时,解-=1可得a=-1. (ⅰ)当a<-1时,此时-<1,所以不等式的解集为x; (ⅱ)当a=-1时,此时-=1,所以不等式的解集为{x|x≠1}; (ⅲ)当-1<a<0时,此时->1,所以不等式的解集为x. 综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为xx<1或x>-;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$