第2周模拟检测(集合30%+常用逻辑用语70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2周检测(集合30%+常用逻辑用语70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4},B={1,3,5},则(∁UA)∪B=(　　) A.{5} B.{1,3} C.{1,2,3,5,6} D.⌀ 2.若集合A={x|a<x<2a-1},B={x|1<x<3},且A⊆B,则a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<2} C.{a|1<a<2} D.{a|a≤2} 3.a<0,b<0的一个必要不充分条件为(　　) A.a+b<0 B.a-b<0 C.>1 D.<-1 4.“x>1”是“x2>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.A是B的充分条件,D是C的必要条件,C是B的充要条件,则D是A的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列结论中正确的个数是(　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题; ②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题; ③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”; ④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题. A.0 B.1 C.2 D.3 7.设命题p:∀x>0,x2>0,则¬p为(　　) A.∃x>0,x2≤0 B.∀x≤0,x2>0 C.∀x>0,x2≤0 D.∃x≤0,x2≤0 8.设集合A={x|-2<x<1},B={x|x<a-1},满足A⊆B,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是(　　) A.∁UA={x|x<1,或3<x<4,或x>6} B.∁UB={x|x<2,或x≥5} C.A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6} D.(∁UA)∪B={x|x<1,或2<x<5,或x>6} 10.设x∈R,则x2-2x-3>0的一个充分条件为(　　) A.x>5 B.x<-2 C.x<- D.4<x<8 11.下列各命题中为假命题的是(　　) A.∀x∈R,x≥0 B.如果x<5,则x<2 C.∃x∈R,x2≤-1 D.∀x∈R,x2+1≠0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.写出集合{-1,1}的所有子集　　　　　.  13.已知p:1≤x≤2,q:a≤x≤a+2.若q是p的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　.  14.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<m+1},若“x∈A”是“x∈B”成立的一个充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|4<x<10}. (1)求A∩B; (2)求∁R(A∪B). 16.(15分)已知集合A={x|x=k+1,k<2,k∈N},集合B={x|x2-2(a+1)x+a2-5=0,x∈R}. (1)若集合A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知p:关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0无解,q:1-2m<a<1+3m(m>0). (1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:的充要条件是xy>0. 19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件. 参考答案 1.C　因为集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,4},则∁UA={2,5,6}, 而B={1,3,5},所以(∁UA)∪B={1,2,3,5,6}. 故选C. 2.D　若a≥2a-1,即a≤1时,A=⌀,满足A⊆B, 若A≠⌀,则a>1,因为A⊆B, 所以 解得1≤a≤2, 所以1<a≤2, 综上,a的取值范围是{a|a≤2}. 故选D. 3.A　当a<0,b<0时,a+b<0成立,即A满足条件. 当a<0,b<0时,不能得到a-b<0成立,即B不满足条件. 当a<0,b<0时,不能得到>1成立,即C不满足条件. 当a<0,b<0时,>0,所以<-1不成立,即D不满足条件. 故选A. 4.A　由不等式x2>1,解得x<-1或x>1,所以当x>1成立时,可得x2>1成立,即充分性成立; 反之,当x2>1成立时,得不到x>1成立,即必要性不成立,所以x>1是x2>1的充分不必要条件. 故选A. 5.B　∵A是B的充分条件,∴A⇒B.① ∵D是C的必要条件,∴C⇒D.② ∵C是B的充要条件,∴C⇔B.③ 由①③得A⇒C.④ 由②④得A⇒D,∴D是A的必要条件. 故选B. 6.C　对于①:命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故①错误; 对于②:命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题,故②正确; 对于③:命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则􀱑p:∀x∈R,x2+2x+1>0,故③错误; 对于④:ac2>bc2可以推出a>b,所以a>b是ac2>bc2的必要条件,故④正确. 所以正确的命题为②④,故选C. 7.A　全称量词命题的否定是存在量词命题,命题p:∀x>0,x2>0的否定为∃x>0,x2≤0. 故选A. 8.A　由题意知a-1≥1, 所以a≥2.故选A. 9.BC　因为全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6}, 所以∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},故A错误; 因为全集U=R,集合B={x|2≤x<5}, 所以∁UB={x|x<2,或x≥5},故B正确; 因为集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},∁UB={x|x<2,或x≥5}, 所以A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正确; 因为∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},B={x|2≤x<5}, 所以(∁UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故D错误. 10.ABD　不等式x2-2x-3>0等价于(x-3)(x+1)>0,得x>3或x<-1. 令A={x|x>3或x<-1},要找x2-2x-3>0的一个充分条件,即找集合A的子集, 根据子集的定义知,选项ABD为A的子集. 故选ABD. 11.ABC　对于A,当x=-2∈R时,x<0,所以命题“∀x∈R,x≥0”为假命题; 对于B,当x=4时,则2<x<5,所以命题“如果x<5,则x<2”为假命题; 对于C,当x∈R时,x2≥0,所以命题“∃x∈R,x2≤-1”为假命题; 对于D,∀x∈R,x2≥0,则x2+1≥1,所以命题“∀x∈R,x2+1≠0”为真命题.故选ABC. 12.⌀,{-1},{1},{-1,1}　由子集的定义,得集合{-1,1}的所有子集有:⌀,{-1},{1},{-1,1}. 13.{a|0≤a≤1}　设集合A={x|1≤x≤2},B={x|a≤x≤a+2}, 由q是p的必要条件,则p⇒q,即A⊆B, 所以 解得0≤a≤1. 14.(1,+∞)　由“x∈A”是“x∈B”成立的一个充分不必要条件,得A⫋B,得 即m>1. 15.解(1)因为A={x|3≤x<7},B={x|4<x<10}, 所以A∩B={x|4<x<7}. (2)因为A={x|3≤x<7},B={x|4<x<10},则A∪B={x|3≤x<10},而全集为R, 所以∁R(A∪B)={x|x<3或x≥10}. 16.解(1)因为集合A={x|x=k+1,k<2,k∈N}={1,2}, 又集合A∩B={2}, 所以2∈B,1∉B, 将x=2代入方程x2-2(a+1)x+a2-5=0,可得a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1, 当a=5时,B={2,10},符合题意; 当a=-1时,B={2,-2},符合题意. 综上所述,a=5或a=-1. (2)若A∪B=A,则B⊆A, 当B=⌀时,方程x2-2(a+1)x+a2-5=0无解, 则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0, 解得a<-3; 当B={2}时,则无解; 当B={1}时,则无解; 当B={1,2}时,则无解. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a<-3}. 17.解(1)∵命题p为真命题, ∴方程4x2-2ax+2a+5=0无解, ∴Δ=(-2a)2-4×4×(2a+5)<0, 解得-2<a<10. ∴实数a的取值范围是(-2,10). (2)设P={a|-2<a<10},Q={a|1-2m<a<1+3m,m>0}. 由题意知Q⫋P,, 解得0<m, 显然当m=时,满足题意. ∴实数m的取值范围为 18.证明(1)必要性:由, 得<0, 即<0. 又由x>y,得y-x<0, 所以xy>0. (2)充分性:由xy>0及x>y, 得,即 综上所述,的充要条件是xy>0. 19.解(1)8=32-12,9=52-42,8∈A,9∈A,假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0, ∴10=1×10=2×5, 则显然均无整数解, ∴10∉A,综上,有8∈A,9∈A,10∉A. (2)集合B={x|x=2k+1,k∈Z}, 则恒有2k+1=(k+1)2-k2, ∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A, 又8∈A,而8∉B, ∴“x∈A”的充分条件是“x∈B”; 但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$