第23章解直角三角形 中档题拓展训练 【6个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册

第23章解直角三角形 中档题拓展训练★★【6个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 一．特殊角的三角函数值 二．解直角三角形 三．解直角三角形的应用 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 六．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．特殊角的三角函数值 1．（2024•河北区二模）计算的值是　　 A． B．1 C． D．3 二．解直角三角形 2．（2024•九龙坡区自主招生）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 3．（2024•霍邱县模拟）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为　　 A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 4．（2024•商丘模拟）如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值为　　 A． B． C． D． 5．（2024•滨江区二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则　　 A． B． C． D． 6．（2024•增城区二模）如图，在中，，，，是的高，则的值是　　 A． B． C． D． 7．（2024•聊城模拟）如图，在中，，是中线，过点作的垂线，分别交、于点、．若，，则的长为　　 A．39 B． C． D．19.5 8．（2024•苍溪县模拟）如图，四边形的对角线平分，，，且，，则的值为　　 A． B． C． D． 9．（2024•邗江区二模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 　　． 10．（2024•新城区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点、在上运动，且，点、分别在、上，连接、，若，，则的值为 　　． 11．（2024•呼兰区校级一模）在中，，，的面积为，则的值为 　　． 12．（2024•东台市校级模拟）如图所示，已知的终边，直线的方程为，则等于 　　． 三．解直角三角形的应用 13．（2024•东方二模）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为　　 A． B． C． D． 14．（2024•朝阳区二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点与点重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为0.8米，则点到的距离的长为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 15．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 16．（2024春•冠县期末）如图，一个圆规的两脚不等长，若一脚，另一脚，则使用这个圆规画出的圆的半径长可能是　　 A． B． C． D． 17．（2024•武威二模）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，，则筒车盛水桶到达的最高点到水面的距离是　　米． A． B． C． D． 18．（2024•嘉兴二模）综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点处测得，，． 根据以上素材解决问题： （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度． （结果精确到．参考数据：，， 19．（2024•立山区模拟）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，， （1）求点到所在直线的距离． （2）求的长度． 20．（2024春•万载县月考）如图1是五四纪念碑，将其抽象为图2，其形状近似斜边在地面的，它的前方有春笋雕塑，测得在点到的垂线上，，，． （1）求、两点之间的距离； （2）求五四纪念碑的总长度（即的周长）．（参考数据：，，，结果精确到． 21．（2024•黄岩区一模）如图为小丽家书房一角，书桌上有一盏台灯．台灯支点到桌面的距离长，灯罩长，可绕支点上下转动．现测得，求点到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，， 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 22．（2024春•萧山区期中）如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为　　 A．6米 B．米 C．米 D．米 23．（2024•银川校级二模）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，，，在一条直线上，，其相关数据为，，的长是 　　（结果精确到，参考数据：， 24．（2024春•长沙期中）2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为，于点．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点移至点，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． （1）求该冰滑梯的高度； （2）求冰滑梯新终点与原终点之间的距离（计算结果保留根号，图中假设，，三点共线且，，，都在同一平面内，滑道、没有起伏，为平直的斜坡）． 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 25．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为　　米． A．20 B．15 C．12 D． 26．（2024•中江县一模）如图，在湖边高出水面的山顶处看见一架无人机停留在湖面上空某处，观察到无人机底部标志处的仰角为，又观其在湖中之像的俯角为，则无人机与湖面的高度为　　 A． B． C． D． 27．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 28．（2023秋•孟村县期末）如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为5米，坡度，长为6米，则古塔的高度为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 29．（2024•曾都区三模）如图，两座建筑物在同一水平面上，从点测得点的俯角为，测得点的俯角，则建筑物与的高度之比为　　 A． B． C． D． 30．（2024•黄冈模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部和顶部处分别测得古塔顶部的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为是 　　，，结果保留一位小数）． 31．（2024•香洲区二模）如图，某飞机于空中处探测到正下方的目标，此时飞行高度为，从飞机上看地面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为 　　（结果精确到．（参考数据：，， 32．（2024•南京模拟）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶点，亮亮则沿点正东方向到达离点水平距离80米的点观看，此时烟花在与、同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，小李在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，亮亮在处测得点的仰角为，（点、、、、在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中是否属实？（参考数据：， 33．（2024•兴县模拟）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．某数学活动小组的同学测量摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象：摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离 测量目的：学会运用三角函数有关知识解决生活中的实际问题 测量工具：测角仪、皮尺 测量方案： （1）如图1是某型号的摄像头安装完成后的示意图，镜头的拍摄广角，用皮尺测得摄像头到地面的距离 ； （2）如图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部时，同时也能拍摄到大楼上最高点．此时，测角仪在点处测得点的俯角，点，，，，均在同一竖直平面内． 测量示意图： 请根据以上测量数据，求摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离．（结果精确到；参考数据：，， 34．（2024•莲湖区模拟）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为，从，两处分别测得路灯的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，． 35．（2024•红旗区校级二模）“全国景区赋能计划”首站落地洛邑古城，吸引了广大市民参与．统计数据显示，春节假期，有效扫码数量超17万次，单日最高扫码量达2万次，平均每日扫码量1万次以上，活动落地页点击曝光超35万，为景区带来了持续的人气和活力．图1是洛邑古城中的文峰塔．某数学兴趣小组对该塔采用了如下测量方案：如图2，他们选择了一座高为的古建筑，并测得这座古建筑与文峰塔之间的距离为．他们在两者之间的点处利用高的测角仪，测得文峰塔顶点的仰角为，古建筑顶点的仰角为（点，，，，，在同一平面内）．求文峰塔的高度（结果精确到．参考数据：，，，，， 六．解直角三角形的应用-方向角问题 36．（2024•邹城市一模）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为　　． A． B． C． D．50 37．（2024•武汉模拟）如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达35千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为 　　千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数） 38．（2024春•满城区期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行50海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．则　　；轮船到灯塔的距离　　海里．（结果保留根号） 39．（2024•五峰县模拟）如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为20海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是 　　海里．（结果保留根号） 40．（2024春•榆阳区校级月考）如图，在处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，该轮船沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，求此时轮船与灯塔的距离．（参考数据：，， 第23章解直角三角形 中档题拓展训练★★【6个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 【解析版】 一．特殊角的三角函数值 二．解直角三角形 三．解直角三角形的应用 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 六．解直角三角形的应用-方向角问题 · 知识点梳理 · 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． · 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． · 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． · 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． · 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） · 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． · 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 一．特殊角的三角函数值 1．（2024•河北区二模）计算的值是　　 A． B．1 C． D．3 【答案】 【分析】先计算，再计算二次根式乘法即可． 【解答】解；， 故选：． 【点评】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握特殊三角函数的取值． 二．解直角三角形 2．（2024•九龙坡区自主招生）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 令小正方形的边长为， 根据勾股定理得， ， ． 在中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 3．（2024•霍邱县模拟）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为　　 A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 【答案】 【分析】分当在上时和当在的延长线上时两种情况，画出图形求解即可． 【解答】解：如图1，当在上时，作，垂足为， ，，， ，． 是边上的中线， ， 是边上的高， ， ， ． ，， 故； 如图2，当在的延长线上时，同理可得可得， ，， 故． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，求角的正切值，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 4．（2024•商丘模拟）如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，作交于．由可以假设，，推出，，想办法求出即可解决问题． 【解答】解：如图，作交于． 在中，， 可以假设，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 5．（2024•滨江区二模）如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先证明，得出，再根据求得与的关系式． 【解答】解：连接， ，点为的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，综合运用这些性质和定理是解题的关键． 6．（2024•增城区二模）如图，在中，，，，是的高，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出的长，再将转化为即可解决问题． 【解答】解：由题知， 在中， ． 又是的高， ， ， ． 在中， ， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知余弦的定义及将转化为是解题的关键． 7．（2024•聊城模拟）如图，在中，，是中线，过点作的垂线，分别交、于点、．若，，则的长为　　 A．39 B． C． D．19.5 【答案】 【分析】先在中，根据长及的正切求出的长，再通过，在中求出的长，最后用勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】解：在中， ， 则令，， 所以， 解得（舍负）， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以． 因为是斜边上的中线， 所以， 所以， 所以， 所以． 在中， ， 所以． 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键． 8．（2024•苍溪县模拟）如图，四边形的对角线平分，，，且，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，，再根据含30度角的直角三角形可得，由垂直定义可得，从通过解直角三角形可求得，再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式可求解． 【解答】解：过点作，垂足为， 平分，， ，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2024•邗江区二模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 　　． 【答案】． 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 令小正方形的边长为， 由勾股定理得， ， ． 在中， ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线及熟知余弦的定义是解题的关键． 10．（2024•新城区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点、在上运动，且，点、分别在、上，连接、，若，，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，过点作于点，设，，先解得，，根据得，证明为等腰直角三角形得，，，再解得，，再由得，解得，，然后证明为等腰直角三角形得，，由此得，则，最后根据可得出答案． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 设，， 在中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ，，， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ，由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧是解决问题的关键． 11．（2024•呼兰区校级一模）在中，，，的面积为，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】先根据的面积，可求出边上的高，再根据垂足在边上和延长线上分类讨论即可解决问题． 【解答】解：过点作边的垂线，垂足为， ，的面积为， ， 则． 当点在边上时， 在中， ， ， ． 在中， ． 当点在延长线上时， 在中， ， ． 在中， ． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形及三角形面积，根据高线的位置进行正确的分类讨论及熟知正切的定义是解题的关键． 12．（2024•东台市校级模拟）如图所示，已知的终边，直线的方程为，则等于 　　． 【答案】． 【分析】根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值． 【解答】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， 则点坐标为，点坐标为， 故，； ，， ，即， 且， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的定义，利用等角的代换，体现了思维的灵活性． 三．解直角三角形的应用 13．（2024•东方二模）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出的值． 【解答】解：小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5， 设直角三角形中较短的直角边为，则较长的直角边是，其中， 由勾股定理得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边． 14．（2024•朝阳区二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形为矩形，长为4米，长为1米，点与点重合．道闸打开的过程中，如图②，边固定，连杆、分别绕点、转动，且边始终与边平行．当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为0.8米，则点到的距离的长为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】根据图形和锐角三角函数可以表示出，再根据图1和矩形的性质，可以得到的长，然后即可得到的长． 【解答】解：由图2可得， ，，米， （米， 由图1可得，四边形是矩形，长为4米，长为1米， 米， 米， 米， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼成的大正方形．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【解答】解：根据题意，设，则， ，四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（2024春•冠县期末）如图，一个圆规的两脚不等长，若一脚，另一脚，则使用这个圆规画出的圆的半径长可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由三角形的边的关系知，，即可求解． 【解答】解：圆的半径相当于中，边的长度， 由三角形的边的关系知，， 即， 故选：． 【点评】本题为三角形边角关系题，确定是解题的关键． 17．（2024•武威二模）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，，则筒车盛水桶到达的最高点到水面的距离是　　米． A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接交于点，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：连接交于点， 由题意得：， 在中，，米， （米， 米， 米， 筒车盛水桶到达的最高点到水面的距离是米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024•嘉兴二模）综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度？ 素材1：如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角． 素材2：如图2，在路灯正前方的点处测得，，． 根据以上素材解决问题： （1）求灯杆的长度． （2）求灯管支架的长度． （结果精确到．参考数据：，， 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）在中，利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）过点作，过点作，构造矩形和直角三角形、．设的长为，用含的代数式表示，先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用直角三角形的边角间关系求出． 【解答】解：（1）灯杆与地面垂直， ． 在中， ， 答：灯杆的长度为． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为． ，，， 四边形是矩形． ，，． ． 在中， ， ． ． 设 ，则， ． 在中， ， ，即． ． ， ． 答：灯管支架的长度约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质是解决本题的关键． 19．（2024•立山区模拟）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，， （1）求点到所在直线的距离． （2）求的长度． 【答案】（1）； （2）的长度约为． 【分析】（1）如图，过点作于点，交的延长线于点，交的延长线于点，解直角三角形即可得到结论； （2）根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， 交的延长线于点，交的延长线于点， 在中，，， ． 在中，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ； （2）在中， ，， ． 在中， ，， ． ， 故的长度约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．（2024春•万载县月考）如图1是五四纪念碑，将其抽象为图2，其形状近似斜边在地面的，它的前方有春笋雕塑，测得在点到的垂线上，，，． （1）求、两点之间的距离； （2）求五四纪念碑的总长度（即的周长）．（参考数据：，，，结果精确到． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，在中，，，，由即可求出的长； （2）利用解直角三角形分别求出及的长即可得解． 【解答】解：（1）连接，在点到的垂线上，如图1， ，，三点共线，即， 在中，，，， ，即， ， ，两点之间的距离为， 答：，两点之间的距离约为． （2）在中，，，，如图2， ，即， ， 在中，，，， ，即， ， 五四纪念碑的总长度即的周长为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（2024•黄岩区一模）如图为小丽家书房一角，书桌上有一盏台灯．台灯支点到桌面的距离长，灯罩长，可绕支点上下转动．现测得，求点到桌面的距离．（结果精确到．参考数据：，， 【答案】点到桌面的距离约为． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， ， ， 点到桌面的距离约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 22．（2024春•萧山区期中）如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为　　 A．6米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案． 【解答】解：分别过、作，， 四边形为矩形， 斜坡的坡比，即，不妨设，则， 在中根据勾股定理：，， 解得或（不合题意，舍去）， 又背水坡的坡比， ， 在中根据勾股定理得：， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2024•银川校级二模）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，，，在一条直线上，，其相关数据为，，的长是 　　（结果精确到，参考数据：， 【答案】的长约为． 【分析】过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可． 【解答】解：过点作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， 答：的长约为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（2024春•长沙期中）2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目．如图，表示原长为的冰滑梯，坡角为，于点．为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点移至点，此时冰滑梯延长了150米（忽略缓冲长度）． （1）求该冰滑梯的高度； （2）求冰滑梯新终点与原终点之间的距离（计算结果保留根号，图中假设，，三点共线且，，，都在同一平面内，滑道、没有起伏，为平直的斜坡）． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质可得即可求解； （2）运用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）依题意得：， ，， ， 则该冰滑梯的高度为； （2）依题意得：， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故冰滑梯新终点与原终点之间的距离为． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 25．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为　　米． A．20 B．15 C．12 D． 【答案】 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【解答】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米，， 在中， ， 在中， ， ， 解得（米， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26．（2024•中江县一模）如图，在湖边高出水面的山顶处看见一架无人机停留在湖面上空某处，观察到无人机底部标志处的仰角为，又观其在湖中之像的俯角为，则无人机与湖面的高度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设 ，则 ，根据山顶处高出水面，得出，，根据，得出 ，从而列出方程，求出的值即可． 【解答】解：设 ， 在中，则， ， 山顶处高出水面， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 即无人机距湖面的高度是． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 27．（2024•温州三模）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为　　 A．米 B．米 C． 米 D． 米 【答案】 【分析】过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过作于，则四边形是矩形，如图． 米，米， ， ， 米， （米， 即旗杆的高度为米， 故选：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 28．（2023秋•孟村县期末）如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为5米，坡度，长为6米，则古塔的高度为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】作，，由，可设，，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【解答】解：如图，作，，垂足分别为，，则四边形是矩形，则， 斜坡，，设，， ， ，则， ，， 长为6， ， ， ， ， 即古塔的高度为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 29．（2024•曾都区三模）如图，两座建筑物在同一水平面上，从点测得点的俯角为，测得点的俯角，则建筑物与的高度之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，根据矩形的性质得到，，设，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 30．（2024•黄冈模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部和顶部处分别测得古塔顶部的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为是 　56.8　，，结果保留一位小数）． 【答案】约为56.8米． 【分析】过点作于点，设塔高，则，，在中，利用角的正切列出方程可得答案． 【解答】解：过点作于点，得矩形， 由题意得，设塔高，则，， 在中，， 则，即， 解得：． 答：古塔的高度约为56.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用． 31．（2024•香洲区二模）如图，某飞机于空中处探测到正下方的目标，此时飞行高度为，从飞机上看地面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为 　14.3　（结果精确到．（参考数据：，， 【答案】14.3． 【分析】根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， 在中，， ， 飞机与指挥台的距离约为， 故答案为：14.3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 32．（2024•南京模拟）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶点，亮亮则沿点正东方向到达离点水平距离80米的点观看，此时烟花在与、同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，小李在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，亮亮在处测得点的仰角为，（点、、、、在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中是否属实？（参考数据：， 【答案】烟花燃放高度约为425.7米，属实． 【分析】（1）过作于，根据矩形的性质得到，，，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）由（1）知米，由（1）知米，米，求得米，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：属实， 过作于，于， 则四边形是矩形， ，，， 在中，米，， 设，， ， ， 米． 米，米，米， 米， ， ， （米， 在中，，，， ， ， （米． 答：烟花燃放高度约为425.7米，属实． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地找出辅助线是解题的关键． 33．（2024•兴县模拟）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．某数学活动小组的同学测量摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象：摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离 测量目的：学会运用三角函数有关知识解决生活中的实际问题 测量工具：测角仪、皮尺 测量方案： （1）如图1是某型号的摄像头安装完成后的示意图，镜头的拍摄广角，用皮尺测得摄像头到地面的距离 ； （2）如图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部时，同时也能拍摄到大楼上最高点．此时，测角仪在点处测得点的俯角，点，，，，均在同一竖直平面内． 测量示意图： 请根据以上测量数据，求摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离．（结果精确到；参考数据：，， 【答案】摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离约为． 【分析】根据题意可得：，，根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 摄像头能拍摄到的大楼上最高点到大楼底部点的距离约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 34．（2024•莲湖区模拟）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为，从，两处分别测得路灯的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，． 【答案】灯柱的高度为． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再设 ，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， ， 设 ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 灯柱的高度为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 35．（2024•红旗区校级二模）“全国景区赋能计划”首站落地洛邑古城，吸引了广大市民参与．统计数据显示，春节假期，有效扫码数量超17万次，单日最高扫码量达2万次，平均每日扫码量1万次以上，活动落地页点击曝光超35万，为景区带来了持续的人气和活力．图1是洛邑古城中的文峰塔．某数学兴趣小组对该塔采用了如下测量方案：如图2，他们选择了一座高为的古建筑，并测得这座古建筑与文峰塔之间的距离为．他们在两者之间的点处利用高的测角仪，测得文峰塔顶点的仰角为，古建筑顶点的仰角为（点，，，，，在同一平面内）．求文峰塔的高度（结果精确到．参考数据：，，，，， 【答案】文峰塔的高度约为． 【分析】延长交于点，根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 由题意得：，，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 文峰塔的高度约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 六．解直角三角形的应用-方向角问题 36．（2024•邹城市一模）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为　　． A． B． C． D．50 【答案】 【分析】过点作于点，依题意，得，，设，根据三角函数得，，再列方程求出的值即可． 【解答】解：如图过点作于点， 由题意，得，，， ， ， ， ， 在中， 在中， ， ，设， ， ，， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 37．（2024•武汉模拟）如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达35千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为 　58.3　千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】58.3． 【分析】由题意可得，，千米，则，，在中，利用正弦函数求解即可． 【解答】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，千米， ，， ， 在中，， （千米）， 即：此时与灯塔的距离约为58.3千米． 故答案为：58.3． 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 38．（2024春•满城区期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行50海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．则　　；轮船到灯塔的距离　　海里．（结果保留根号） 【答案】；． 【分析】根据题意可知，，再根据三角形内角和求出的度数；过做于点，首先求出，进而求出． 【解答】解：由题意可知，， ； 过作于点， 在中，，海里， （海里）， 在中，， （海里）， 答：的长为． 故答案为：；． 【点评】本题解直角三角形的应用方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 39．（2024•五峰县模拟）如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为20海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是 　　海里．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】过作于，证是等腰直角三角形，得，，设海里，则海里，再由锐角三角函数定义得（海里），然后由得，解得，即可解决问题． 【解答】解：过作于，如图： 则， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ，， 设海里，则海里， 在中，， （海里）， ， ， 解得：， ， 即海里， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 40．（2024春•榆阳区校级月考）如图，在处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，该轮船沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，求此时轮船与灯塔的距离．（参考数据：，， 【答案】此时轮船与灯塔的距离约为75海里． 【分析】由题意可知，，，，可求，，在中应用正弦函数即可求解， 【解答】解：如图所示标注字母， 根据题意得：，，，， ，， 在中， （海里）， 故答案为：此时轮船与灯塔的距离约为75海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$