第22章相似形 培优题突破练习 【5个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册

第22章相似形 培优题突破练习★★★【5个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 一．黄金分割 二．平行线分线段成比例 三．相似三角形的判定与性质 四．相似三角形的应用 五．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 一．黄金分割 1．（2022•和县一模）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于．若，，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 二．平行线分线段成比例 2．（2017秋•天心区校级月考）如图，在三角形中，为的中点，，，连接交于点，则的值为　　． 3．（2024•沧州一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 三．相似三角形的判定与性质 4．（2021秋•巴中期末）如图，已知和都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•永嘉县月考）如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（2021秋•端州区校级期末）如图，正方形的对角线、交于点．点在上，且，连接交于点，若，则正方形的边长为　　 A．7 B． C．6 D．8 7．（2021秋•正定县期末）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于点，若，则的值为　　 A． B． C． D． 8．（2021•江干区二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 9．（2023秋•道里区期末）如图，，，点在上，，的平分线交于，交于，连接交于点，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023•夏津县一模）如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接，．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③④ 11．（2023•义乌市校级开学）如图，点是的边的延长线上一点，点是边上的一个动点（不与点重合）．以、为邻边作平行四边形，又（点、在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为　　 A． B． C． D． 12．（2021秋•包头期末）如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④正方形的面积是四边形面积的4倍． 其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④ 13．（2011•内江）如图，在中，点、分别是边、的中点，过的中点并与的延长线交于点，与交于点．若的面积为，则四边形的面积　 　． 14．（2020•浙江自主招生）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．则下列结论①，②，③，④中，正确的是 　　． 15．（2018•香坊区一模）已知：如图，，，，则　　． 16．（2009•鄂州模拟）如图，中，，，现把另一个顶点放在边上一点（与、不重合），再将绕点旋转，旋转过程中，与线段始终有交点，与线段始终有交点，若已知，则　　． 17．（2017秋•雁江区校级期中）如图：中，平分，且于点，已知，，、把线段分成等份（其中为正整数），、把线段分成等份，则　　． 18．（2019秋•南岗区校级月考）如图，中，，、分别在，上，连接，，，，则的长为　　． 19．（2023•芜湖一模）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 20．（2021•衢江区一模）如图，矩形中，，，为对角线上一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为 　　； （2）长的最小值为 　　． 21．（2022秋•怀宁县期末）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 22．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． （1）求证：； （2）联结，求证：． 23．（2024春•威海期末）如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为，秒．动点到达点时运动终止．连接、、． （1）求当动点运动时间为多少秒时，与相似； （2）在运动过程中，当时，求的值． 24．（2023•站前区校级一模）如图，在中，，点在上，且，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接，当点到达点时，点、同时停止运动、设，与重叠部分的面积为，当时，点恰好在边上． （1）填空：点恰好经过边时，的值为 　　； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 25．（2021秋•隆回县期末）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． （1）求证：； （2）点从点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒，为何值时，． 四．相似三角形的应用 26．（2019•郫都区模拟）在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有一动点，连接，，，则的最小值是 　　． 27．（2024•河南三模）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度．（结果精确到，参考数据： 28．（2022•富顺县校级模拟）有一块三角形余料，它的边，高．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 29．（2022秋•兴隆县期中）如图，零件的外径为，要求它的壁厚，需要先求出内径，现用一个交叉钳与相等）去量，若测得，，你能求零件的壁厚吗？ 五．作图-位似变换 30．（2024春•牟平区期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 第22章相似形 培优题突破练习★★★【5个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 【解析版】 一．黄金分割 二．平行线分线段成比例 三．相似三角形的判定与性质 四．相似三角形的应用 五．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 一．黄金分割 1．（2022•和县一模）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于．若，，则的最小值为　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论． 【解答】解：如图1，过点作于， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， 设的中点为，连接， 如图2，当点是中点时，的值最大，此时，，共线． ，， ， ， ， ， ， ， ． 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当时，有最大值是解题的关键． 二．平行线分线段成比例 2．（2017秋•天心区校级月考）如图，在三角形中，为的中点，，，连接交于点，则的值为　3　． 【分析】作交于，交的延长线于．根据，设，求出，即可解决问题； 【解答】解：作交于，交的延长线于． ， 可以设，则， ，设，则， ，， ， ， ， ，，， ， 故答案为3． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（2024•沧州一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 【分析】（1）由，得到，代入数据求得，于是得到结论； （2）设米，则，根据平行线分线段成比例定理得到，得到方程，求出，解一元二次方程即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， 米； （2）设米，则， ， ， ， ， 由题意得， 化简得 ， 解或． 经检验：或是原方程的根， 的长应设计为60或米． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 三．相似三角形的判定与性质 4．（2021秋•巴中期末）如图，已知和都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据等边三角形的性质证明，可得，，然后证明，可得，再证明，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作交于点， 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到． 5．（2021秋•永嘉县月考）如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意，点在上，连接．利用相似三角形的性质，求出，可得结论． 【解答】解：如图，连接，由题意，点在上，连接． 在中，， ，， ， ， ， ， 整理得，， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的想，矩形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质求出与的关系，进而解决问题． 6．（2021秋•端州区校级期末）如图，正方形的对角线、交于点．点在上，且，连接交于点，若，则正方形的边长为　　 A．7 B． C．6 D．8 【答案】 【分析】过点作于点，根据正方形的性质证明，可得，根据，设，则，可得，列出方程即可求出结果． 【解答】解：如图，过点作于点， 正方形的对角线、交于点， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ， 解得， ， 正方形的边长为7． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到． 7．（2021秋•正定县期末）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于点，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则，，由，得，求出，再由，得，即可得结论． 【解答】解：四边形是菱形， ， ，设，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型． 8．（2021•江干区二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】①由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求； ④由外角的性质可求． ②由“”可证，可得； ③通过证明，可得，进而可得结论． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又，， ， ，故④正确； ，，， ， ，，， ， ， ， ，故②正确； ，， ，故③正确． 综上，正确的是①②③④． 故选：． 【点评】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9．（2023秋•道里区期末）如图，，，点在上，，的平分线交于，交于，连接交于点，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据同角的余角相等，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； ②延长、交于点，可证得是等腰直角三角形，得出，，再证得即可； ③延长、交于点，连接，可证得，得出，，即可推出； ④过点作于，过点作于，利用三角形面积及等腰直角三角形性质可得，再证得，得出即可． 【解答】解：①， ，， ， 在与中， ， ， ，， ，故①正确； ②如图，延长、交于点， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 即， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ；故②正确； ③如图，延长、交于点，连接， 由②知：中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即；故③正确； ④如图，过点作于，过点作于， 则，， 和均为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；故④正确； 综上所述，正确的答案有①②③④，共4个； 故选：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形，难度较大． 10．（2023•夏津县一模）如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接，．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③④ 【答案】 【分析】①正确．想办法证明，，可得结论． ②正确．证明，推出，再证明，，可得结论． ③错误．用反证法证明即可． ④正确．证明，可得结论． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形，故①正确， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，故②正确， 若是等边三角形，则，， 这个与题目条件不符合，故③错误， 四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形；故④正确． 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 11．（2023•义乌市校级开学）如图，点是的边的延长线上一点，点是边上的一个动点（不与点重合）．以、为邻边作平行四边形，又（点、在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先过点作交于，连接，，易得四边形，是平行四边形，又由四边形是平行四边形，设，则，可求得，又由，，即可求得的面积与面积之比． 【解答】解：如图，过点作交于，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， 即， ，，共线， 设， ， ， ， 则， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比是关键． 12．（2021秋•包头期末）如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④正方形的面积是四边形面积的4倍． 其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④ 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案． 【解答】解：①在正方形中，，，， ， ， ， ， 故①正确； ②由①全等可得， ，， ， 故②正确； ④由①全等可得四边形的面积与面积相等， 正方形的面积是四边形面积的4倍， 故④正确； ③， ， 四边形为正方形， ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出，属于选择压轴题． 13．（2011•内江）如图，在中，点、分别是边、的中点，过的中点并与的延长线交于点，与交于点．若的面积为，则四边形的面积　　． 【分析】由点、分别是边、的中点，可得，，即可得与，又由的中点是，则可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案． 【解答】解：点、分别是边、的中点， ，， ， ， 的面积为， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质以及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比． 14．（2020•浙江自主招生）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．则下列结论①，②，③，④中，正确的是 　①②③④　． 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，则可得，由即可证得；则可得，利用三角形外角的性质，即可求得；在上截取，连接，易得点，，，四点共圆，则可证得是等边三角形，然后由即可证得，则可证得；易证得，由相似三角形的对应边成比例，即可得． 【解答】解：四边形是菱形， ， ， ， 即是等边三角形， 同理：是等边三角形 ， 在和中， ， ； 故①正确； ， ， ； 故②正确； 在上截取，连接， ， 点，，，四点共圆， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 故③正确； ，， ， ， ． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 15．（2018•香坊区一模）已知：如图，，，，则　　． 【分析】延长到，使得．设，，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题； 【解答】解：延长到，使得． ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．（2009•鄂州模拟）如图，中，，，现把另一个顶点放在边上一点（与、不重合），再将绕点旋转，旋转过程中，与线段始终有交点，与线段始终有交点，若已知，则　　． 【分析】过点作于，于，则，根据相似三角形的判定方法得到，再根据相似三角形的边对应成比例及平行线的性质即可求得结论． 【解答】解：过点作于，于，则 【点评】考查相似三角形的对应边成比例，平行线截线段成比例． 17．（2017秋•雁江区校级期中）如图：中，平分，且于点，已知，，、把线段分成等份（其中为正整数），、把线段分成等份，则　　． 【分析】延长交于．首先证明，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：延长交于． ， ， ，， ， ， ， ，， 、把线段分成等份（其中为正整数），、把线段分成等份， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查规律型图形的变化，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题． 18．（2019秋•南岗区校级月考）如图，中，，、分别在，上，连接，，，，则的长为　10　． 【分析】作交于点，作的延长线于点，根据已知得，可得，对应边成比例，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解： 如图，作交于点，作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即 ， 即 即 即 设， 则，， 在中，根据勾股定理，得 解得． ． 故答案为10． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是作适当的辅助线构造相似． 19．（2023•芜湖一模）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 【答案】①； ②2或． 【分析】①求出，证明，得出，即可得出结果； ②过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明△△，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，，求出，，由，即可得出结果； 【解答】解：①， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：； ②过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ，， ，， ， 解得：或， 或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2021•衢江区一模）如图，矩形中，，，为对角线上一个动点，过点作交于． （1）当时，的长为 　　； （2）长的最小值为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接交于点，证明，可得，得是的垂直平分线，然后证明，对应边成比例即可求出的长； （2）当点与点重合时，长最小，由，可得，进而可得的长． 【解答】解：（1）如图，连接交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的长为； 故答案为：； （2）如图，因为， 所以当点与点重合时，长最小， 在矩形中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质． 21．（2022秋•怀宁县期末）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到； （2）根据相似三角形的性质得到，即，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论． 【解答】证明：（1）， ，， ， ， ， ， ， ； （2）， ，即， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得是解题的关键． 22．（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】（1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证； （2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论． 【解答】证明：（1）． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 23．（2024春•威海期末）如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为，秒．动点到达点时运动终止．连接、、． （1）求当动点运动时间为多少秒时，与相似； （2）在运动过程中，当时，求的值． 【答案】（1）或； （2）当时，秒．理由见解答过程． 【分析】设点运动时间为秒，则秒，秒，秒，秒； （1）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （2）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【解答】解：设点运动时间为秒，则秒，秒，秒，秒， （1）当，即时，， ，即， ； 当，即时，， ，即， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； 故答案为：或； （2）当时，秒．理由如下： 如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． 24．（2023•站前区校级一模）如图，在中，，点在上，且，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接，当点到达点时，点、同时停止运动、设，与重叠部分的面积为，当时，点恰好在边上． （1）填空：点恰好经过边时，的值为 　　； （2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）当时，与重叠部分的面积就是的面积，然后根据，，求出的值是多少即可． （2）首先根据关于的函数图象，可得关于的函数表达式有两种情况：当时，，判断出当点点运动到点时，，据此求出；然后求出当时，关于的函数关系式即可． 【解答】解：（1）如图1， ， 当时，与重叠部分的面积就是的面积， ，， ， ． 故答案为：． （2）如图2， ， 根据关于的函数图象，可得关于的函数表达式有两种情况： 当时， ， 当点点运动到点时， ， ． 当时， ， ，， △，， ， 设， △，， ， ， ． 综上可得，． 【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 25．（2021秋•隆回县期末）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． （1）求证：； （2）点从点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒，为何值时，． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，，进而可得判定； （2）首先证明，结合相似三角形即可得到的值． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ； （2）解：当时，； ，， ， ， ， ， ， 解得：， 即当时，． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例． 四．相似三角形的应用 26．（2019•郫都区模拟）在中，，，，以点为圆心，4为半径的圆上有一动点，连接，，，则的最小值是 　　． 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，．由，推出，推出，推出，根据即可解决问题； 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的最小值是， 故答案为． 【点评】本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 27．（2024•河南三模）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度．（结果精确到，参考数据： 【答案】集装箱顶部到地面的高度约为． 【分析】延长交于，由，，得到，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．． 【解答】解：延长交于， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． ，， ， ， ， ， ， 答：集装箱顶部到地面的高度约为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（2022•富顺县校级模拟）有一块三角形余料，它的边，高．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少？请你计算． （2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长． 【分析】（1）由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设，则，易证，由相似三角形的性质解答即可； （2）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答 【解答】解：（1）设矩形的边长，则， ， ， ， 即， 解得， ， 答：这个矩形零件的两条边长分别为，； （2）设，由条件可得， ， 即， 解得． ， 的最大值为，此时，． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键． 29．（2022秋•兴隆县期中）如图，零件的外径为，要求它的壁厚，需要先求出内径，现用一个交叉钳与相等）去量，若测得，，你能求零件的壁厚吗？ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边成比例；对应边成比例，且夹角相等的三角形相似；解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答． 【解答】解：，， ． ． ， ． ． ． 【点评】本题只要是把实际问题抽象到数学问题，利用相似三角形的判定与性质，列出方程，通过解方程求解即可． 五．作图-位似变换 30．（2024春•牟平区期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，△与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似△，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在△中的对应点的坐标． 【分析】（1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心，再根据平面直角坐标系写出点和的坐标； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据位似比是2写出即可． 【解答】解：（1）位似中心如图所示，，； （2）△如图所示，； （3）点． 【点评】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$