第22章相似形 中档题拓展训练【7个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册

第22章相似形 中档题拓展训练★★【7个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 一．黄金分割 二．平行线分线段成比例 三．相似三角形的判定与性质 四．相似三角形的应用 五．作图-相似变换 六．位似变换 七．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 一．黄金分割 1．（2024•邗江区一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记取正整数），则的值为　　 A． B． C． D． 二．平行线分线段成比例 2．（2024春•榆阳区校级月考）如图，已知，若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024春•济宁期末）如图，在中，，，，平分，点是的中点，与交于点，则的值 　　． 三．相似三角形的判定与性质 4．（2024•牡丹江一模）如图，锐角中，，分别为，边上的高，和的面积分别是4和1，，则点到直线的距离是　　 A． B．4 C． D． 5．（2024•鹿城区校级模拟）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连结交于点．若，，则的长为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．（2024•城厢区校级模拟）如图，在中，，分别是、的中点，若，则　　 A．4 B．8 C．2 D．16 7．（2024•本溪二模）如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为　　 A．9 B．18 C．36 D．72 8．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在中，点、分别是、上的点，连接，，，若，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．2 9．（2024春•长兴县期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2024•绥化模拟）如图，点在的直角边上（与点，不重合），，以为边作正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为　　 A． B．3 C． D． 12．（2024•新城区模拟）如图，，，，点在上，连接，点、分别在、上，且，，则在中，边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 13．（2024•麒麟区一模）如图，在中，、分别是和的中点，，则　　 A．8 B．4 C．5 D．2 14．（2024•鞍山二模）如图，在中，，分别为，上两点，若，，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•深圳校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，交于点．已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则　　 A． B． C． D． 17．（2024•浙江模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端望点，使视线刚好通过点，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则　　 A． B． C． D． 18．（2024•瑶海区二模）如图，已知正方形中，点是的中点，于，交于，则　　． 19．（2024•金东区二模）如图，在中，，于点，，，点是上一点，且，连结并延长交于点，则的面积为 　　． 20．（2024•崂山区校级三模）如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、：以下四个结论正确的有 　　（填序号）． ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时； ④当时，． 21．（2024•长春一模）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论： ①四边形是矩形； ②平分四边形的周长； ③； ④当时，四边形的面积为2． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　　． 22．（2024春•成武县期末）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结，交于点．若，则　　． 23．（2024春•青浦区校级期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点、分别是、的中点，则线段的长为 　　 24．（2024•玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证： （1）； （2）． 25．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 26．（2024•潍坊二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 27．（2024•盂县二模）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分） 是斜边上的高， ． ，， ， （依据）． ． 即． 任务一：（1）材料中的依据是指 　　； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为 　　． 28．（2024•安庆一模）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为，的中点，延长至，使，连接，延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，． ①求长； ②求四边形的面积． 四．相似三角形的应用 29．（2024•益阳三模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度　　． 30．（2024•镇平县模拟）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪测量塔高，其边长为，较长的对角线的长为，为对角线的交点，当测角仪的顶点，与塔顶避雷装置顶端的点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，经测量得到，． （1）求凤台寺塔的高（包括顶部高为的避雷装置）； （2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议． 31．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 　　； （2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到． 32．（2024•陈仓区三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点、、、在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 五．作图-相似变换 33．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 六．位似变换 34．（2024•嘉善县一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 35．（2024•咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2024春•天府新区校级月考）如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为8，则的面积为　　 A．12 B．16 C．18 D．19 37．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，与△是以点为位似中心的位似图形，若，△的面积为2，则的面积为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 38．（2024•碑林区校级一模）如图，与是以点为位似中心的图形，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为 　　 39．（2024春•迁安市期末）如图，在平面直角坐标系中有点和点，连接、．若将各边都扩大为原来的2倍，则的对应点的坐标为 　　． 七．作图-位似变换 40．（2024春•威海期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．△与是以点为位似中心的位似图形． （1）请写出点的坐标是 　　； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形．△，使相似比为； （3）若点为内一点，则点在△内的对应点的坐标为 　　． 第22章相似形 中档题拓展训练★★【7个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 【解析版】 一．黄金分割 二．平行线分线段成比例 三．相似三角形的判定与性质 四．相似三角形的应用 五．作图-相似变换 六．位似变换 七．作图-位似变换 · 知识点梳理 · 比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． · 比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． · 黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． · 平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． · 相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． · 相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． · 相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． · 位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 一．黄金分割 1．（2024•邗江区一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记取正整数），则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】化简为，代入算式计算即可． 【解答】解： ， ， ， ， ，，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了分式化简求值，正确的化简计算是本题的解题关键． 二．平行线分线段成比例 2．（2024春•榆阳区校级月考）如图，已知，若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】 【分析】根据，得到，再根据进行等量代换，即可解题． 【解答】解：， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握比例线段的对应关系是关键． 3．（2024春•济宁期末）如图，在中，，，，平分，点是的中点，与交于点，则的值 　　． 【答案】． 【分析】如图，过点作，垂足为，过点作，交于点，由角平分线性质定理，得，由三角形面积可求证，由可进一步求证，可得，于是，求证，可得，进一步得证，，从而． 【解答】解：如图，过点作，垂足为，过点作，交于点， 平分，，， ． ， ． ． ， ． 又， ． ． ，． ， ， 又， ． ，， ． ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，角平线的性质定理；运用相似三角形的性质推证线段之间的数量关系是解题的关键． 三．相似三角形的判定与性质 4．（2024•牡丹江一模）如图，锐角中，，分别为，边上的高，和的面积分别是4和1，，则点到直线的距离是　　 A． B．4 C． D． 【答案】 【分析】证明，则，，进而可证，则，可求，设点到直线的距离为，依题意得，，即，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，， 又， ， ， ， ， ， ， 解得，， 设点到直线的距离为， 依题意得，，即， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024•鹿城区校级模拟）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连结交于点．若，，则的长为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】 【分析】如图，分别延长、交于，然后利用已知条件可以证明，然后利用中位线的性质即可求解． 【解答】解：如图，分别延长、交于， 过点作的平分线的垂线，垂足为， ，，而， ， ，， 而，， ， 点为的中点， ， 为的中位线， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了中位线的性质及角平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 6．（2024•城厢区校级模拟）如图，在中，，分别是、的中点，若，则　　 A．4 B．8 C．2 D．16 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得到，，再证得，然后根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：、分别是边、的中点， ，， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7．（2024•本溪二模）如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为　　 A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】 【分析】作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：作于点，交于点， ， ， ， ，，且，， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 8．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，在中，点、分别是、上的点，连接，，，若，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】 【分析】首先利用已知条件可以证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：，， ， 而， ， ， 而，， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用判定于性质． 9．（2024春•长兴县期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】根据平移的性质得出周长关系解答即可． 【解答】解：由平移可知，，，，， ， ， ，，， 设，，，则，，， ，，， ， ，即； 四边形和四边形周长之差 ， 故选：． 【点评】此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质得出周长关系解答． 10．（2024•绥化模拟）如图，点在的直角边上（与点，不重合），，以为边作正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】①由正方形的性质得出，，证出，证明，得出；②证明四边形是矩形，得出；③由等腰三角形的性质和矩形的性质得出；④证出，得出对应边成比例，得出． 【解答】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 故②正确； ，， ， 故③正确； ，， ， ， ， 即． 故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点的性质与判定方法是解题关键． 11．（2024•榆阳区校级模拟）如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为　　 A． B．3 C． D． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及特殊角，求出和的长度，从而得出的长度． 【解答】解：过点作交延长线于点， 四边形是菱形，，， ，， ，， ， ， ， 是中点， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握性质与判定方法是解题的关键． 12．（2024•新城区模拟）如图，，，，点在上，连接，点、分别在、上，且，，则在中，边上的高为　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【分析】延长交于点，利用相似三角形的判定和性质得出即可． 【解答】解：延长交于点， ，，， ， ， ， ， ， 即在中，边上的高为， 故选：． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质得出比例解答． 13．（2024•麒麟区一模）如图，在中，、分别是和的中点，，则　　 A．8 B．4 C．5 D．2 【答案】 【分析】根据中位线确定相似比，再求面积即可． 【解答】解：、分别是和的中点， ，， ， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查了中位线定理和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定定理是解答本题的关键． 14．（2024•鞍山二模）如图，在中，，分别为，上两点，若，，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由推出，再证明，然后由相似三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 即与的周长之比是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2024春•深圳校级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作于点，交于点．已知，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先证明，求出 然后通过，进一步求出即可． 【解答】解：四边形为菱形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由即可得出结论． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 17．（2024•浙江模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端望点，使视线刚好通过点，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后根据相似三角形的性质，可以得到． 【解答】解：由图2可得，，， ，， ， ， ，即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（2024•瑶海区二模）如图，已知正方形中，点是的中点，于，交于，则　　． 【答案】． 【分析】设，则，，，求得，再证明，得，则，由于，得，可证明，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：设， 四边形是正方形，点是的中点， ，，，， ， ， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键． 19．（2024•金东区二模）如图，在中，，于点，，，点是上一点，且，连结并延长交于点，则的面积为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于，先根据勾股定理求出，根据的等积变换可以求出的长，从而可以求得和的长，在根据勾股定理求出的长，同理可以求出的长，然后根据的等级变换，求出的长，最后根据和相似，求出的长，从而可以求得的面积． 【解答】解：过点作于，如图： 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，需要学生熟练运用勾股定理，三角形的面积公式，根据等积变换来求三角形的高是本题解题的关键． 20．（2024•崂山区校级三模）如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、：以下四个结论正确的有 　①②③④　（填序号）． ①是等边三角形； ②的最小值是； ③当最小时； ④当时，． 【答案】①②③④． 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，得到，，即可证出．②当最小值时，即为最小值，当时，值最小，利用勾股定理求出，即可得到的值．③当最小时，点、分别为、中点，利用三角形中位线定理得到，即可证明，得到，则．④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可，根据等量代换，最后得到答案． 【解答】解：， 为等边三角形， ， 为等边三角形， 又，， ， 在与中， ， ， ，， 为等边三角形，故①正确； ， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ，， ，即，故②正确； 当最小时，点、分别为、中点， ， ， ， ，故③正确； 当时， ，， ， ， 故④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 21．（2024•长春一模）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论： ①四边形是矩形； ②平分四边形的周长； ③； ④当时，四边形的面积为2． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②④．　． 【答案】①②④． 【分析】①推导出，进而得到四边形是矩形，据此判断①； ②首先推导出，得到，进而推导出，得到，，，从而得到平分四边形的周长，据此判定②； ③推导出，得到，同理可证，得到，进而得到，据此判断③； ④依据得到，^^；推导出，得到，进而得到，，，由，得到，，进而求得四边形的面积，据此判断④． 【解答】解：①，，， ， 四边形是矩形，故①正确； ②，， ， 在矩形中，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 如图，设、分别交于点、， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，， 平分四边形的周长， 故②正确； ③，四边形是矩形， ，， ， ， 同理可证， ， ， 故③错误； ④在中，， ， ， ， 由题意可得， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形的面积为， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键 22．（2024春•成武县期末）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结，交于点．若，则　　． 【答案】． 【分析】由，推导出，由，证明，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 23．（2024春•青浦区校级期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点、分别是、的中点，则线段的长为 　　 【答案】． 【分析】连接，证明，由相似三角形的性质得出，推出，由勾股定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案． 【解答】解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24．（2024•玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【解答】证明：（1），，， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． ． ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】见解析． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 26．（2024•潍坊二模）如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【解答】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 27．（2024•盂县二模）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分） 是斜边上的高， ． ，， ， （依据）． ． 即． 任务一：（1）材料中的依据是指 　两角分别对应相等的两个三角形相似　； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为 　　． 【答案】任务一：（1）两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明见解答过程； 任务二：（1）证明见解答过程； （2）6． 【分析】任务一：（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明△ 据此即可解答； 任务二：（1）根据射影定理得，，则； （2）先证明，设，用表示出，，，，再利用相似三角形的性质得到，代入数据即可求解． 【解答】任务一：解：（1），， （两角分别对应相等的两个三角形相似）， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ，， ， ， ， ， ； ③，理由如下： ，， ， ， ， ， ； 任务二：（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：设， ， ，， 在中，， 在中， ，即， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． 28．（2024•安庆一模）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为，的中点，延长至，使，连接，延长交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，． ①求长； ②求四边形的面积． 【答案】（1）见解答； （2）①9；②． 【分析】（1）①连接、，证，，即可得四边形是平行四边形； （2）①先证，即可得； （2）②作于点，由，得，即可得． 【解答】 解：（1）①如图，连接、． 点、分别是线段、的中点， ， 四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）①， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ； （2）②如图，作于点 在中，，．， 的面积， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，解题关键是正确判定并计算． 四．相似三角形的应用 29．（2024•益阳三模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度　　． 【答案】． 【分析】如图，作于，则，由题意知，，，，，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【解答】解：如图，作于，则， 由题意知，，，，，，， ， 又， ， ，即， 解得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（2024•镇平县模拟）如图1是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——风台寺塔，距今已有900余年，为仓颉造字之地．数学综合实践小组用自制的菱形测角仪测量塔高，其边长为，较长的对角线的长为，为对角线的交点，当测角仪的顶点，与塔顶避雷装置顶端的点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线过点和顶点，交地平线于点，经测量得到，． （1）求凤台寺塔的高（包括顶部高为的避雷装置）； （2）据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议． 【答案】（1）凤台寺塔的高为； （2）一条改进测量方法的合理化建议：多次测量求平均值，可以减少误差（答案不唯一）． 【分析】（1）延长交于点，根据题意可得：，，，再根据菱形的性质可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）根据多次测量求平均值，可以减少误差，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点， 由题意得：，，， 四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 答：凤台寺塔的高为； （2）一条改进测量方法的合理化建议：多次测量求平均值，可以减少误差（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 31．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 　11.3　； （2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到． 【答案】（1）11.3； （2）旗杆高度为12米； （3）雕塑高度约为． 【分析】（1）由影长恰好等于自己的身高，知是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故， （2）证明，可得，故，即旗杆高度为12米； （3）由，得，设 ，，则，知，同理可得，即得，从而，解出即可得雕塑高度约为． 【解答】解：（1）影长恰好等于自己的身高， 是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， ， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，， 又， ， ，即， 解得， 旗杆高度为12米； （3）如图： ，， ， ， 设 ，，则， ， 同理可得， ， ， 解得； 经检验，是原方程的解， 故， 雕塑高度约为． 【点评】本题考查解直角三角形应用，涉及相似三角形判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 32．（2024•陈仓区三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点、、、在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 【分析】由题意可得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 答：凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 五．作图-相似变换 33．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】过点作于点，点即为所求（由，，推出，再根据，可以证明． 【解答】解：如图，点即为所求． 【点评】本题考查作图相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 六．位似变换 34．（2024•嘉善县一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：由题意， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 35．（2024•咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点是位似中心，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，与位似，原点是位似中心，且， 即与的相似比为， 又， 点的坐标为，即点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键． 36．（2024春•天府新区校级月考）如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为8，则的面积为　　 A．12 B．16 C．18 D．19 【答案】 【分析】利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【解答】解：与是位似图形，且位似中心为，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 37．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，与△是以点为位似中心的位似图形，若，△的面积为2，则的面积为　　 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】 【分析】根据位似变换的概念得到，进而证明△，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：和△是以点为位似中心的位似三角形， ， △， ， 和△的面积比为， △的面积为2， ， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据题意求出和△的面积比是解题的关键． 38．（2024•碑林区校级一模）如图，与是以点为位似中心的图形，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为 　　 【答案】． 【分析】根据位似图形的概念得到，相似比为，再根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：与是以点为位似中心的图形，且相似比为， ，且相似比为， 的坐标为， 点的坐标为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 39．（2024春•迁安市期末）如图，在平面直角坐标系中有点和点，连接、．若将各边都扩大为原来的2倍，则的对应点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】根据位似图形与坐标的关系进行分析作答． 【解答】解：根据题意知：与是位似图形． ，将各边都扩大为原来的2倍， 的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似变换和坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 七．作图-位似变换 40．（2024春•威海期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．△与是以点为位似中心的位似图形． （1）请写出点的坐标是 　　； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形．△，使相似比为； （3）若点为内一点，则点在△内的对应点的坐标为 　　． 【答案】（1）点；见详解；（2）． 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示：点； （2）如图所示：△即为所求，点对应点的坐标为：． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$