第21章二次函数与反比例函数 培优题突破练习★★★【7个考点】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册

第21章二次函数与反比例函数 培优题突破练习★★★【7个考点】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 一．反比例函数系数k的几何意义 二．反比例函数图象上点的坐标特征 三．反比例函数与一次函数的交点问题 四．抛物线与x轴的交点 五．二次函数与不等式（组） 六．二次函数的应用 七．二次函数综合题 · 知识点梳理 · 反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． · 反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． · 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． · 待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． · 反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． · 反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． · 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2021秋•渝中区校级月考）如图，平行四边形的顶点和在轴上，和相交于点，线段的中点为，交轴于点，连接．若反比例函数的图象经过点和点，，且的面积为，则的值为　　 A．1 B．5 C．2 D． 2．（2022春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为　　 A． B． C． D． 3．（2023•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为 　　． 二．反比例函数图象上点的坐标特征 4．（2021•二道区一模）如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点、均在函数的图象上，点在轴正半轴上，，若点的横坐标为，点的纵坐标为1，则的值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 5．（2021•十堰）如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2020•兴宁区三模）如图，点，都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 7．（2020•娄底模拟）如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．20 C． D． 8．（2022春•永春县校级月考）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点在轴正半轴上，且，顶点在轴正半轴上，反比例函数经过顶点，则点的坐标为 　　． 9．（2024•青川县三模）在平面直角坐标系中，对于点，，，，若，则称点和点互为“等距点”．已知点是以为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点的等距点，则的取值范围是 　　． 三．反比例函数与一次函数的交点问题 10．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象的表达式为，图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为　　 A． B． C． D． 11．（2024•广西模拟）直线（常数和双曲线的图象有且只有一个交点，一次函数与轴交于点，点是线段上的动点，点在反比例函数图象上，且满足．设与线段的交点为，若，则的值为 　　． 12．（2023•灌云县校级模拟）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为18，则的值为　 　　． 13．（2023秋•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点、，直线与轴、轴分别交于、两点，点是函数图象上、间的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，与交于点．若点的横坐标为3，存在点使，则的面积为 ． 14．（2024•淮安模拟）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标． 四．抛物线与x轴的交点 15．（2020•红桥区三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①，；②；③二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和，则．其中，正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 五．二次函数与不等式（组） 16．（2021秋•北仑区校级月考）已知函数，若不等式对于任意和恒成立，则实数的取值范围是 　　． 六．二次函数的应用 17．（2020秋•长兴县月考）如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为（单位：的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：与的关系式为．如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加，则小孔离水面的距离是　　 A． B． C． D． 18．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为　　，液面到点所在水平地面的距离是 　　． 19．（2022•上城区一模）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（分之间满足关系值越大，表示接受能力越强，在第　 　分钟时，学生接受能力最强． 七．二次函数综合题 20．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，已知点，为坐标原点，是线段上任意一点（不含端点，，过、两点的二次函数和过、两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为、，射线与相交于点．当时，这两个二次函数的最大值之和等于　　 A．5 B． C．8 D．6 21．（2021•太和县一模）如图1，是等边的边上一点（不与点，重合），连接，以为边向右作等边，连接．已知的面积与的长之间的函数关系如图2所示为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 　　． （2）等边的边长为 　　． 22．（2024•二道区校级模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； （2）当点落在直线上时，求点的坐标； （3）连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 23．（2024•湖北模拟）如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为第二象限抛物线上一点． （1）　　，　　； （2）如图2，连接，，，设的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值； （3）如图3，过作的平行线与抛物线的另一交点为，直线和直线分别交轴于，两点，请直接写出的值． 24．（2024•武威三模）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）如图②，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴负方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 25．（2024•阳泉三模）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是直线上一动点，点是抛物线上直线下方的一个动点，设点的横坐标为． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）过点作交直线于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值，并求的最大值； （3）过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2024•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），直线与抛物线相交点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）连接，，，，求四边形的面积． （3）若点在直线上，且，求点的坐标． 27．（2024•宣汉县一模）已知抛物线与轴交于、两点，顶点为，与轴交于点，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交轴于，顶点在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点的直线交抛物线于、两点在点右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 28．（2024春•澄海区校级月考）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为．当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，点在上，点绕点顺时针旋转，对应点为，若点在抛物线的对称轴上，请直接写出点的坐标． 29．（2024•天长市模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求直线，的函数表达式； （2）如图2，是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； （3）如图3，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，交直线于点，抛物线对称轴与交于点．若，求的长． 30．（2024•巴中模拟）已知，点，点，点，抛物线过，，三点．点在该抛物线上．（1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形．若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 第21章二次函数与反比例函数 培优题突破练习★★★【7个考点】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学九年级上册 【解析版】 一．反比例函数系数k的几何意义 二．反比例函数图象上点的坐标特征 三．反比例函数与一次函数的交点问题 四．抛物线与x轴的交点 五．二次函数与不等式（组） 六．二次函数的应用 七．二次函数综合题 · 知识点梳理 · 反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． · 反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． · 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． · 待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． · 反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． · 反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． · 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 一．反比例函数系数k的几何意义 1．（2021秋•渝中区校级月考）如图，平行四边形的顶点和在轴上，和相交于点，线段的中点为，交轴于点，连接．若反比例函数的图象经过点和点，，且的面积为，则的值为　　 A．1 B．5 C．2 D． 【答案】 【分析】设与轴交于点，，，反比例函数解析式为，则，根据平行四边形的性质及中点坐标公式，的坐标，得①，根据，且的面积为，得②，再求的坐标，是的中点，得③，由①②③可求出的值． 【解答】 解：如图，设与轴交于点，，，反比例函数解析式为，则， ，， 的纵坐标为， 为线段的中点， ，， 反比例函数的图象经过点和点， ，的横坐标为， ①， ，， ，且的面积为， 的面积为， 的面积为2， ， ②， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则， ， 直线的解析式为， 直线与轴的交点的坐标为， 是的中点， ， ③， 由①③得， ， 代入②得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式，直线解析式，根据点求解是解题的关键． 2．（2022春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】延长交轴于点，过点作轴于点，轴，，，可得轴；利用，可得，得到，；利用，四边形是菱形，可得；设，则，由勾股定理可得，，可得点的坐标为，所以，由四边形为矩形，，可得点的坐标，得到，的长，利用的面积列出方程，求得的值，即可得到的值． 【解答】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 轴，，， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是菱形，， ， 设，则， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， ，，， 四边形为矩形， ， 点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， ，， ， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求得反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐标表示相应的线段长度和利用线段长度表示相应的坐标是解题的关键． 3．（2023•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在第二象限，以为边在的左侧作菱形，满足轴，过点作交于点，，反比例函数的图象经过点，与边交于点，分别连接，，．若，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】延长交轴于点，则，；由，有，又四边形是菱形，所以；在直角三角形中，，所以，；又反比例函数的图象经过点和，因为，设，，，所以，，解得．所以． 【解答】解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形和四边形是矩形， 则， ， ， ， ， ； ， ， 四边形是菱形， ； 则在中，， 设，则，， ，， ，，， ， 反比例函数的图象经过点和， ， 设，，， ， ， 解得． ． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键． 二．反比例函数图象上点的坐标特征 4．（2021•二道区一模）如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点、均在函数的图象上，点在轴正半轴上，，若点的横坐标为，点的纵坐标为1，则的值为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】 【分析】作轴，轴于点，，用含代数式表示点，坐标，通过求解． 【解答】解：作轴，轴于点，， 把代入得， 点坐标为， 把代入代入得， 点坐标为， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ， 即， 解得， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握反比例函数与等腰直角三角形的性质． 5．（2021•十堰）如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点的坐标可得，；设交直线于点，过点作于，过作于点，利用待定系数法求得直线，的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，由此得到线段的长度，利用解直角三角形求得线段，，利用求得线段，则点的纵坐标可求． 【解答】解：设交直线于点，过点作于，过作于点，如图， 与关于直线对称， 垂直平分． 即为的中点，． ，， ． ． 直线经过点， 直线的解析式为：． ，， ． 设直线的解析式为， ， ． 直线的解析式为． 反比例函数的图象经过点， 反比例函数． 联立方程得：． 解得：，． ． ． ． ， ． ． 在中， ， ． 同理：． ． 点纵坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求解析式，解直角三角形．利用线段的长度得出相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应的线段的长度是解题的关键． 6．（2020•兴宁区三模）如图，点，都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把点和点的坐标代入反比例函数解析式中，求出与的值，确定出与坐标，再作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，根据对称的性质得到点坐标为，点坐标为，分别交轴、轴于点、点，根据两点之间线段最短得此时四边形的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 【解答】解：分别把点、代入双曲线得：，， 则点的坐标为、点坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点， 所以点坐标为，点坐标为， 连接分别交轴、轴于点、点，此时四边形的周长最小， 四边形周长 ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键． 7．（2020•娄底模拟）如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．20 C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出，，的坐标，进而确定，，，再求和即可． 【解答】解：过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，， 由题意可得，，，， 设，则，由点在反比例函数的图象上， ， 解得（取正值）， ， 设，则，由点，在反比例函数的图象上， ， 解得（取正值）， ， 设，则，，由点，，在反比例函数的图象上， ， 解得（取正值）， ， 同理可求，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解决问题的关键． 8．（2022春•永春县校级月考）如图，平面直角坐标系中，等边的顶点在轴正半轴上，且，顶点在轴正半轴上，反比例函数经过顶点，则点的坐标为 　　． 【答案】，． 【分析】以的内心为圆心，作的外接圆，交轴于点，连接，过点作轴于点，作，交于点，证明，由，得出，继而由，设，得出解方程即可求解． 【解答】解：如图，以的内心为圆心，作的外接圆，交轴于点，连接，过点作轴于点，作，交于点， ，是等边三角形， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又，， ， ，， 设， ， ，，，， ， ， ， ，， ， 轴，， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的对角互补，等边三角形的性质，反比例函数的性质，求得是解题的关键． 9．（2024•青川县三模）在平面直角坐标系中，对于点，，，，若，则称点和点互为“等距点”．已知点是以为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数图象上存在点的等距点，则的取值范围是 　或　． 【答案】或． 【分析】如图，作轴，于，令直线与轴的夹角为，则，由，可求，如图，作直线，在直线上取点，作轴于，由，可得，即直线与轴的夹角为，、在直线上，然后分和两种情况讨论即可． 【解答】解：如图，作轴，于， 令直线与轴的夹角为，则， ， ， 如图，作直线，在直线上取点，作轴于， ，即， 直线与轴的夹角为，、在直线上； 如图，当反比例函数在第一、三象限时，即，直线与的交点，均能使反比例函数图象上存在点的等距点； 当反比例函数在第二、四象限时，当与相交时，能使反比例函数图象上存在点的等距点； 如图，记与的交点为，设， ， 解得， ， 将点代入可得， ； 综上，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆是解题的关键． 三．反比例函数与一次函数的交点问题 10．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象的表达式为，图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由对称性可得函数的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点的横坐标为，点的横坐标为，由根与系数的关系可得出，，再结合点是的中点，可得出和的值，由此可得出结论． 【解答】解：法一、设，， ，关于直线的对称点，在反比例函数图象上， ， 解得，， ． 法二、由对称性可得函数的解析式为：， 令，整理得，， 设点的横坐标为，点的横坐标为， 则和是的两根， 由根与系数的关系可得出①，， 点是的中点， ②， 由①②可知，，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数的解析式是解题关键． 11．（2024•广西模拟）直线（常数和双曲线的图象有且只有一个交点，一次函数与轴交于点，点是线段上的动点，点在反比例函数图象上，且满足．设与线段的交点为，若，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】先求出、点坐标，过点作于交于，利用全等三角形的性质证明，，即可得，再证明，求得，解便可得出结果． 【解答】解：由消去得到，， 直线（常数和双曲线的图象有且只有一个交点， △，即， ， 解方程组得到，， ， 令，得． 解得， ， 过点作于交于，设交于． 由题意，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ，， ，， ， 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 12．（2023•灌云县校级模拟）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为18，则的值为　 　　． 【答案】． 【分析】先设出点和点的坐标，利用反比例函数的性质，得到，再由阴影面积也是18，得出，分别表示出点、的坐标后，将和表示出来，建立关于和的方程，联立与得到关于的一元二次方程后，利用求根公式法得到和的含的表达式，代入方程求解即可． 【解答】解：如图所示，设，，，，直线与轴交点记为点，与的交点记为点，作轴，垂足为点， ，，， ，， ， 又阴影部分面积为18， ， ， ， 直线解析式为， 令，则， ， ， ， 设直线的解析式为：， 代入点坐标后得：， ， ，， ， ， ， ， ， 由，可得：， 其中， ， ，， ， 化简得：， 平方后得：9△△， 将△代入可得：， ， 由， 解得：， 的值为． 故答案为：． 【点评】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识，要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等． 13．（2023秋•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点、，直线与轴、轴分别交于、两点，点是函数图象上、间的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，与交于点．若点的横坐标为3，存在点使，则的面积为或． 【答案】或． 【分析】由已知可得，则，再由可得，设则，由于在上， 故，所以，解得或，进而求，或，，，或，，根据求解即可． 【解答】解：函数，且点的横坐标为3， 时，， 故， ， 在上， ， ， 函数与轴、轴分别交于、， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， 在上， ， ， 解得：或， ， 或， 或，， 轴于， 或，， ， 直线， 交于， 或，， 或， 或， ，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的图象的综合应用，较难，理解题意是解决问题的关键． 14．（2024•淮安模拟）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标． 【分析】（1）把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，把点坐标代入中求出得到一次函数解析式； （2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设，先利用一次解析式解析式确定，再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到的值，从而得到点坐标． 【解答】解：（1）把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 一次函数解析式为； （2）点和点关于直线对称， ， 由函数图象可得：当时，或； （3）设， 当时，， ， ， ，解得， 或． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 四．抛物线与x轴的交点 15．（2020•红桥区三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①，；②；③二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和，则．其中，正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断； 再利用根与系数的关系求出两根之积为，这只有在时才能成立，故选项①错误； 将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出二次函数图象与轴的交点坐标，即可对选项③进行判断． 【解答】解：一元二次方程化为一般形式得：， 方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：，故选项②正确； 一元二次方程实数根分别为、， ，， 而选项①中，，只有在时才能成立， 故选项①错误； 二次函数， 令，可得， 解得：或3， 抛物线与轴的交点为或， 故， 故选项③正确． 综上所述，正确的结论有2个，为②③． 故选：． 【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题． 五．二次函数与不等式（组） 16．（2021秋•北仑区校级月考）已知函数，若不等式对于任意和恒成立，则实数的取值范围是 　或或　． 【答案】或或． 【分析】先求出函数的最大值，利用恒成立转化成对于任意恒成立，利用分段函数转化求解即可． 【解答】解： ， 的最大值为1， 不等式对于任意和恒成立， 对于任意恒成立， 即对于任意恒成立， 设（a）， 则， 或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查了函数恒成立条件的转化和应用，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题． 六．二次函数的应用 17．（2020秋•长兴县月考）如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为（单位：的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：与的关系式为．如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加，则小孔离水面的距离是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设垫高的高度为，写出此时关于的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：， ， 当为时，射程有最大值，最大射程是． 设垫高的高度为，则， 当时，最大为， ，此时． 小孔离水面的竖直距离为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 18．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为　　，液面到点所在水平地面的距离是 　　． 【答案】；． 【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离． 【解答】解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入得：， 解得：， ； 根据题意可知，，设与轴的交点坐标， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得（舍或， ． ，， 水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点， 是等腰直角三角形， ， ． ． 过点作于点， 是的中点，且， ， ． ． 故答案为：；． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 19．（2022•上城区一模）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（分之间满足关系值越大，表示接受能力越强，在第　13　分钟时，学生接受能力最强． 【分析】根据函数性质求最值，可用配方法，也可用公式法． 【解答】解：， 函数开口向下，有最大值， 根据二次函数的性质，当时，最大， 即在第13分钟时，学生接受能力最强． 【点评】本题重在检查求函数最值的方法，有配方法、公式法． 七．二次函数综合题 20．（2021•龙岗区校级自主招生）如图，已知点，为坐标原点，是线段上任意一点（不含端点，，过、两点的二次函数和过、两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为、，射线与相交于点．当时，这两个二次函数的最大值之和等于　　 A．5 B． C．8 D．6 【答案】 【分析】过作于，过作于，过作于，则是这两个二次函数的最大值之和，，求出，．设，根据二次函数的对称性得出，推出，，得出，，代入求出和，相加即可求出答案． 【解答】解：过作于，过作于，过作于， ，，， ， ，， ， 由勾股定理得：． 设，根据二次函数的对称性得出， ， ，， ，， ， 即，， 解得：，， ． 故选：． 【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题． 21．（2021•太和县一模）如图1，是等边的边上一点（不与点，重合），连接，以为边向右作等边，连接．已知的面积与的长之间的函数关系如图2所示为抛物线的顶点）． （1）当的面积最大时，的大小为 　　． （2）等边的边长为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由得，用的代数式表示，得到为中点时最大，从而可求度数； （2）根据的最大面积是列方程即可得答案． 【解答】解：过作于，如图： 等边，等边， ，，， ， ， ，， 而， ，， ， 设等边边长是，则， ， 当时，有最大值为， （1）的面积最大时，，即是的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）当时，有最大值为， 由图可知最大值是， ，解得或（边长，舍去）， 等边的边长为， 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形及二次函数的综合知识，解题关键是证明，用的代数式表示的面积． 22．（2024•二道区校级模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为，过点作垂直该抛物线的对称轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式及对称轴； （2）当点落在直线上时，求点的坐标； （3）连结并延长交抛物线对称轴于点，作点关于抛物线对称轴对称点，连结、和． ①求的值； ②当在对称轴左侧时，若四边形的周长与周长之比为，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1），； （2），或，； （3）， 【分析】（1）待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式，可求出其对称轴； （2）根据题意的点的纵坐标为4，把代入中，解一元二次方程即可求点的坐标； （3）①过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，可得、，三点共线，设点为，表示和即，得出四边形为平行四边形，进而证明为△的中位线，即可求出； ②由上易证四边形为菱形，故菱形的周长为，周长为，即，代入数值，利用公式法即可求解 ，再根据当在对称轴左侧时，，即可舍去，从而得出的值． 【解答】（1）解：把代入， 得：， ， 该抛物线对应的函数表达式为， 对称轴为直线，即； （2）解：由题意可得，直线为，点在直线上， 点的纵坐标为4，把代入得，， 解得， 或， 点的坐标为或； （3）①解：过点作关于抛物线对称轴的对称点，连接，如图 点关于抛物线对称轴的对称点为点，延长交抛物线对称轴于点， ，，三点共线， 设点， 又抛物线对称轴是直线，点关于抛物线对称轴的对称点为点， 点为， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 点为的中点， 为△的中位线，即， ； ②为△的中位线，垂直平分，四边形为平行四边形， ，，， ， 四边形为菱形， 菱形的周长为， 抛物线对称轴是直线，点的坐标为， 点的坐标为， ， 周长为， 四边形的周长与周长之比为， ， 点为，点的坐标为， ， 将和代入， 化简可得， 解得：， 当在对称轴左侧时，即， ． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法，抛物线的对称轴，菱形的性和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的公式法求根，熟练掌握待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解复杂的方程是解题的关键． 23．（2024•湖北模拟）如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为第二象限抛物线上一点． （1）　　，　　； （2）如图2，连接，，，设的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值； （3）如图3，过作的平行线与抛物线的另一交点为，直线和直线分别交轴于，两点，请直接写出的值． 【答案】（1）；1； （2），，最大为； （3）4． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可解答； （2）根据题意表示出，进而表示出，即可解答； （3）设，求出直线、的解析式，得到点，即可解答． 【解答】解：（1）抛物线交轴于，两点， ， 解得， 故答案为：；1； （2）由（1）可知， 为抛物线第二象限内一点，的横坐标为， ，， 则 ， ， 当时，的最大值为； （3）． 设， 由与平行可设的方程为， 联立， 得， ， ， ， 设的解析式为， 则， 解得， ， ， ， 设的解析式为， 则， 解得， ， ， ， ． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．（2024•武威三模）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点的坐标； （3）如图②，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴负方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用待定系数法将点，点代入抛物线中，即可求解； （2）过点作轴，垂足为，可证，得，即可求出点的坐标； （3）由题意得，在上方作，使得，，可证，得，则，在中，由勾股定理求长即可． 【解答】解：（1）抛物线过点，点， ， 解得， 抛物线表达式为； （2）令，解得，， ，， 如图，过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由题意得，在上方作，使得，，如图， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为， ， ， 即的最小值为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 25．（2024•阳泉三模）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是直线上一动点，点是抛物线上直线下方的一个动点，设点的横坐标为． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）过点作交直线于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值，并求的最大值； （3）过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的函数表达式为； （2），当时，有最大值，的最大值为； （3）在直线上存在点，使点与点关于直线对称，，或，． 【分析】（1）在中，令可得，令可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，求出是等腰直角三角形，知，而，，故，根据二次函数性质可得答案； （3）连接交于，设，由点与点关于直线对称，知，故，可得，或，，又为中点，即得，或，，证明，知为的中点，即可得，或，． 【解答】解：（1）在中，令得， ， 令得， 解得或， ，， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）过作轴交于，如图： ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 点的横坐标为， ，， ， ， ， 当时，取最大值， ，当时，有最大值，的最大值为； （3）在直线上存在点，使点与点关于直线对称，理由如下： 连接交于，如图： 设， 点与点关于直线对称， ， ，， ， 解得或， ，或，， 点与点关于直线对称， ，即为中点， ，或，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为的中点， ，，或，， ，或，， 经检验，，或，均符合题意； ，或，． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质等，解题的关键是掌握中点坐标公式和用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 26．（2024•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），直线与抛物线相交点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）连接，，，，求四边形的面积． （3）若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为； （2）四边形的面积为18； （3）的坐标为或． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为，得，解得，可得抛物线的函数表达式为； （2）设直线与交轴于，交直线于，求出，，，，，可得；，即可得； （3）作关于的对称点，连接，过作于，由，，，得，故，根据，关于的对称，知，，，，即得，用面积法求出，可得，，因，知，即，可得，从而的坐标为或． 【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线与交轴于，交直线于，如图： 联立， 解得或， ，， 在中，令得，令得， ，， 在中，令得， ， ， ； ， ， ， ， 四边形的面积为18； （3）作关于的对称点，连接，过作于，如图： ，，， ，，， ， ， ，关于的对称， ，，，， ，，共线，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造一个角等于． 27．（2024•宣汉县一模）已知抛物线与轴交于、两点，顶点为，与轴交于点，且的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交轴于，顶点在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点的直线交抛物线于、两点在点右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）平移后抛物线的表达式为：； （3）直线必过定点． 【分析】（1）把代入可得，，令即得，，故抛物线的对称轴为直线，，根据的面积为6，可得，，用待定系数法得抛物线的解析式为； （2）是平行四边形的边，则当点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，同样点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，代入抛物线解析式解之即可求解； （3）设，，知直线解析式为，由直线过定点，有，而直线过，可得，，解得，设直线解析式为，把，代入得直线解析式为，即，当时，，故直线过定点． 【解答】（1）解：把代入得： ， ， ， 令得， ， 或， ，， 抛物线的对称轴为直线，， 的面积为6， ， ， ； 把代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 是平行四边形的边， 当点向右平移2个单位向上平移4个单位得到，同样点向右平移2个单位向上平移4个单位得到， 即， ， 解得， ， 平移后抛物线的表达式为：； （3）证明：设，， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 直线过定点， ， ， 直线过， ， ， ， 由得： 或， ， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 当时，， 直线必过定点． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 28．（2024春•澄海区校级月考）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为．当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，点在上，点绕点顺时针旋转，对应点为，若点在抛物线的对称轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，由，可得，当时，有最大值为，求出坐标即可； （3）先求出对称轴为直线，如图，过点作轴于点，交于点，在轴上截取，连接，然后证明，然后根据勾股定理计算解题． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，则， ， 将点、代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ，， ，， ， ， 的面积为，的面积为， ， 点为直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值为，此时； （3）， 对称轴为直线， 如图3，过点作轴于点，交于点，在轴上截取，连接， 则，即， 又， ， ，， 又， ， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 29．（2024•天长市模拟）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求直线，的函数表达式； （2）如图2，是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； （3）如图3，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，交直线于点，抛物线对称轴与交于点．若，求的长． 【答案】（1）直线解析式为；直线解析式为； （2）当的值最大时，点的坐标为； （3）的长为12． 【分析】（1）由求出，，，再用待定系数法可得直线解析式为；直线解析式为； （2）过作交于，设，可得，，，由，即可得，根据二次函数性质可得答案； （3）过作于，设，求出抛物线的对称轴为直线，直线解析式为，可得，，，联立，得，，故，根据，得，可知，从而可得，的长为12． 【解答】解：（1）在中，令得， ， 令得， 解得或， ，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）过作交于，如图： 设， 在中，令得： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，取最大值； 此时， 当的值最大时，点的坐标为； （3）过作于，如图： 设， 由可得，抛物线的对称轴为直线， 由，设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 联立， 解得， ，， ， ， ， ， 或（无实数解，舍去）， ， ， ， ； 的长为12． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 30．（2024•巴中模拟）已知，点，点，点，抛物线过，，三点．点在该抛物线上．（1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形．若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【分析】（1）将点，点，点代入抛物线解析式即可解答； （2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过，作的垂线段，分别交于点，，证明，得到点的坐标，求得的解析式，即可求得点坐标； （3）考虑三种情况，即，，分别为直角的时，利用勾股定理，即可解答． 【解答】解：（1）把将点，点，点代入抛物线解析式， 可得 解得 抛物线的解析式为； （2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过，作的垂线段，分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ，， 根据，可得，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， 解得，， ， ； （3）存在，或． ， 抛物线的对称轴为直线， 设，则，，， ①当时，， ， 方程无解，故不成立； ②当时，， ， 解得， ， ③当时，， ， 解得， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查了二次函数综合，主要考查待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） $$