第15章轴对称图形与等腰三角形 中档题拓展训练 【13个考点】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第15章轴对称图形与等腰三角形 中档题拓展训练★★【13个考点】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定 五．等腰三角形的判定与性质 六．等边三角形的性质 七．含30度角的直角三角形 八．轴对称的性质 九．轴对称图形 十．作图-轴对称变换 十一．利用轴对称设计图案 十二．轴对称-最短路线问题 十三．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． · 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． · 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024•米东区一模）如图，在，，平分交于点，过点作，垂足恰好是边的中点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•普宁市月考）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知面积是36，周长是18，，分别平分和，于，则的长是　　 A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2024春•漳州期末）如图，在中，、分别平分和，连结并延长交于点，于点，、是外角平分线，现给出下列结论： ①平分； ②与互补； ③； ④． 其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024春•定边县期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为　　 A．10 B．15 C．20 D．30 6．（2024•天山区一模）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024春•酒泉期末）如图，平分，是上一点，过点作于点，，是上任意一点，连接，则的最小值为 　　． 8．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形中，平分，于点，腰的长比底多3，的周长和面积都是24，则　　． 9．（2024春•秦都区校级月考）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 10．（2024春•浑南区期中）如图，是的平分线，，过点作，与交于点． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，，，求中边上的高． 二．线段垂直平分线的性质 11．（2024•宁津县二模）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•金沙县校级月考）如图，在中，，是上的一点，是上一点，且，若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024春•永寿县期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． （1）求的长； （2）若，．求的面积． 三．等腰三角形的性质 14．（2024春•新昌县期中）已知关于的一元二次方程是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为　　 A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17 15．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　　． 16．（2024春•滨州期末）如图，中，、分别平分外角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 　　（填写所有正确结论的序号）． 17．（2024春•汉中期末）如图，，，，，求的度数． 四．等腰三角形的判定 18．（2024春•邵东市期末）在平面直角坐标系中有点和点，若是等腰三角形，是其中一条腰，且是轴上一点，则符合题意的点有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．（2024春•吉安县校级月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：为等腰三角形． 五．等腰三角形的判定与性质 20．（2024春•吉安县校级月考）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 21．（2024春•滕州市期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　　 A．12 B．9 C．10 D．11 六．等边三角形的性质 22．（2024春•金沙县校级月考）已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为，则它的周长是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 七．含30度角的直角三角形 23．（2024春•乳山市期末）如图，在中，，，，点从点以的速度向点运动，同时点从点以的速度向点运动，运动时间为． （1）当　　时，为等边三角形；（直接写结果） （2）当为何值时，为直角三角形？ 24．（2024春•永寿县校级月考）如图，在中，，，为上一点，．求的长． 八．轴对称的性质 25．（2024春•太康县期末）如图，和△关于直线对称，下列结论：（1）△；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2024春•锦江区期末）如图，中，，是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 27．（2024•姑苏区校级二模）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为　　 A．18 B．30 C．15 D．24 28．（2024•碑林区校级自主招生）在一节折纸活动课上，小思将如图1的正方形纸片两边对折至对角线，得到如图2的四边形，再将其一角对折，使对面两角的顶点重合，得到如图3的五边形，则图3中的大小为 　　度． 九．轴对称图形 29．（2024春•鄄城县期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 　　． 一十．作图-轴对称变换 30．（2024春•新城区校级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在小正方形的顶点上， （1）在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； （2）求四边形的面积． 一十一．利用轴对称设计图案 31．（2024•石家庄校级模拟）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有　　种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2024春•怀化期末）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　　种． 33．（2024春•埇桥区期末）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 一十二．轴对称-最短路线问题 34．（2024春•庐江县校级期中）如图，，，是的高，，，相交于点，点，分别是，上的动点，连接，，若，则的最小值是　　 A． B． C． D． 35．（2024春•侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　　． 36．（2024春•梁溪区校级期中）已知，是平面直角坐标系中与轴平行且距离轴1个单位长度的直线上的两个动点（点在点左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点的坐标为 　　． 一十三．翻折变换（折叠问题） 37．（2024春•杨浦区期末）如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是　　 A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 38．（2024•正定县一模）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 39．（2024春•九龙坡区期末）如图，点、点分别为的边，上的点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接，．若，，，，，则的长为 　　． 40．（2024春•甘井子区期中）【动手操作】 在数学活动课上，范老师引导同学们探究画平行线的方法，小明经过折纸等动手操作，探究出一种画平行线的方法： 步骤一：如图1，在纸上画出直线与交于点，在线段上取点，过点折叠纸片，使折痕交于点，点在线段的延长线上． 步骤二：用量角器测量出和的度数，计算． 步骤三：再以点为顶点画出，点在点的右侧，就得到直线． （1）如图1，，求证：． 【问题初探】 小明继续折纸操作，探究与的数量关系： 步骤四：如图2，再次将纸折叠两次，使与重合，与重合，折痕直线，交于点． （2）如图2，猜想与的数量关系，并证明． 【类比探究】 （3）①小明发现按照步骤一操作时，将“在线段上取点，点在线段的延长线上”改为“在线段的延长线上取点，且点在线段上”，其他条件不变；再按照步骤二、三进行操作，他发现若点的位置发生改变，，，的数量关系也发生改变，仍能画出直线． 请画出图形，直接写出当，，满足什么数量关系时，直线． ②如图3，在步骤四的操作中，过点，分别折叠，，使折痕，分别落在和中，且交于点，若，，请直接写出与的数量关系．（用含有的代数式表示） 第15章轴对称图形与等腰三角形 中档题拓展训练★★【13个考点】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 【解析版】 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定 五．等腰三角形的判定与性质 六．等边三角形的性质 七．含30度角的直角三角形 八．轴对称的性质 九．轴对称图形 十．作图-轴对称变换 十一．利用轴对称设计图案 十二．轴对称-最短路线问题 十三．翻折变换（折叠问题） · 知识点梳理 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． · 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． · 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 一．角平分线的性质 1．（2024•米东区一模）如图，在，，平分交于点，过点作，垂足恰好是边的中点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出，根据含角的直角三角形性质得出，，求出即可． 【解答】解：，为的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 2．（2024春•普宁市月考）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，推出． 【解答】解：过点作于点， 为的平分线，， ， 故选：． 【点评】此题考查角平分线的性质定理，解答本题的关键要明确：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知面积是36，周长是18，，分别平分和，于，则的长是　　 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】过作于，于，由角平分线的性质得到，，由的周长是18可得，由，得到，由的面积是36，可得，即可求解． 【解答】解：过作于，于， ，分别平分和， ，， 的周长是18， ， ， ， 的面积是36， ， ． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握平分线的性质． 4．（2024春•漳州期末）如图，在中，、分别平分和，连结并延长交于点，于点，、是外角平分线，现给出下列结论： ①平分； ②与互补； ③； ④． 其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】由，分别为与角平分线，可得出为内心，故连接并延长与交于点，为平分线，选项①正确；再由与为两个外角平分线，得到两对角相等，可得出与都为直角，在四边形中，利用内角和为，可得出与互补，选项②正确；根据为外角，，而为外角，，为外角，利用外角性质及等量代换可得出，选项③正确；由，为外角，即，两式结合得到，选项④不正确． 【解答】解：、分别平分和， 连结并延长交于点，则为的平分线，选项①正确； 、分别平分和， ，， 、是外角平分线， ，， ，， ， 四边形内角和为， ，即与互补，选项②正确； ，， 且，，， ， 整理得：， ，选项③正确； ，， ， ， ， ，选项④不正确． 故选：． 【点评】此题考查了角平分线的性质，余角与补角，外角性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 5．（2024春•定边县期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为　　 A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】 【分析】过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 平分，，， ， ， 的面积 ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2024•天山区一模）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得解决问题； 【解答】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图可知：平分， ，， ， 的最小值为2， 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 7．（2024春•酒泉期末）如图，平分，是上一点，过点作于点，，是上任意一点，连接，则的最小值为 　5　． 【答案】5． 【分析】根据垂线段最短确定点的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离． 【解答】解：是上任意一点， 当时，的值最小， 又平分，是上一点，， 的最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置． 8．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形中，平分，于点，腰的长比底多3，的周长和面积都是24，则　　． 【答案】． 【分析】如图，作于．由平分，，，推出，设，则，构建方程组即可解决问题． 【解答】解：如图，作于． 平分，，， ，设，则， 由题意：， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题． 9．（2024春•秦都区校级月考）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析． 【分析】过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【解答】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【点评】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 10．（2024春•浑南区期中）如图，是的平分线，，过点作，与交于点． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，，，求中边上的高． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质得到，则，易得，得证； （2）作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据角平分线的性质定理解答即可． 【解答】（1）证明：是的平分线， ． ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点作于点， 在中，，， ， ． 是的平分线，，， ． 即中边上的高为． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二．线段垂直平分线的性质 11．（2024•宁津县二模）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出，可对、选项进行判断． 【解答】解：由作法得垂直平分，， ，，，所以选项正确，不符合题意； ，， 为的中位线， ， 所以选项正确，不符合题意； 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ，所以选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 设，，得， 解之得（负舍）， ， ， ， ． 所以选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 12．（2024春•金沙县校级月考）如图，在中，，是上的一点，是上一点，且，若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【解答】解：，， 直线是线段的垂直平分线， 是的中点， ， 故选：． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握． 13．（2024春•永寿县期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，． （1）求的长； （2）若，．求的面积． 【答案】（1）7； （2）6． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，即可得出答案； （2）根据题意得到，根据，得，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ； （2）， ， ，， ，， ， ， ， ， 的面积． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、三角形的面积，关键是线段垂直平分线性质的熟练运用． 三．等腰三角形的性质 14．（2024春•新昌县期中）已知关于的一元二次方程是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为　　 A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17 【答案】 【分析】根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可． 【解答】解：一元二次方程有两个实数根， △， ； 不管去何值，方程都有两个不相等的实数根， 一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根， 是腰长，是方程的一个根， ，整理，得：， 解得：或， 当时，， 解得，， 此时等腰三角形的三边长：6，6，5，周长； 当时，， 解得，， 等腰三角形的三边长：6，6，7，周长． 综上所述，该三角形的周长为17或19． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义是解题的关键． 15．（2024春•雁塔区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，利用线段垂直平分线的性质可证得，再根据三角形外角的性质可求解． 【解答】解：， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16．（2024春•滨州期末）如图，中，、分别平分外角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 　①③④　（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④． 【分析】由，可得，由、分别平分外角、外角，可得，，可得，可判断①的正误；，不平行，可判断②的正误；由，可得，，则，，，可判断③的正误；平分，可判断④的正误． 【解答】解：， ， 、分别平分外角、外角， ，， ，①正确，故符合要求；，不平行，②错误，故不符合要求； ， ，， ， ， ，即，③正确，故符合要求； 平分，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． 17．（2024春•汉中期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】利用证明，根据全等三角形对应角相等即可得到的度数． 【解答】解：， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 四．等腰三角形的判定 18．（2024春•邵东市期末）在平面直角坐标系中有点和点，若是等腰三角形，是其中一条腰，且是轴上一点，则符合题意的点有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】已知两点（即一条边），构造等腰三角形分两种情况：①作这条边的中垂线；②以端点为圆心，线段长为半径作弧， 【解答】解：如图， 由图可知，①以为圆心，长为半径的圆交轴于，，则可与、构成等腰三角形； ②以为圆心，长为半径的圆交轴于，可与、构成等腰三角形； ③作线段的垂直平分线，交轴于，则可与、构成等腰三角形，但是此时为底边，不符合题意； 综上所述，构成以为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况， 符合题意的点有3个； 故选：． 【点评】本题考查图形与坐标，涉及等腰三角形的判定与性质，掌握已知两点构造等腰三角形的方法是解决问题的关键． 19．（2024春•吉安县校级月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：为等腰三角形． 【答案】（1）10； （2）见解析． 【分析】（1）利用等角对等边得到，再根据线段的垂直平分线的性质求得，据此求解即可； （2）证明，，推出，即可证明． 【解答】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， 又， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五．等腰三角形的判定与性质 20．（2024春•吉安县校级月考）如图，在中，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】 【分析】先由，得，，结合角平分线的定义，得，，则由等角对等边，得①；因为，所以②；因为③的周长，所以得③；因为，，则④，结合三角形的内角和，列式化简，得⑤．即可作答． 【解答】解：如图： ， ，， 与的平分线交于点， ，， ，， ，， ，故①是正确的； ，， ，， ，故②是错误的； 的周长， 的周长，故③是正确的； ， ， ，故④是错误的； ，， ， ， 故⑤正确， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，综合性适中，难度适中，常考题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．（2024春•滕州市期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　　 A．12 B．9 C．10 D．11 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，进而可得，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 六．等边三角形的性质 22．（2024春•金沙县校级月考）已知等腰三角形的一边长为3，一个内角为，则它的周长是　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】 【分析】根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【解答】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为3， 它的周长是， 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 七．含30度角的直角三角形 23．（2024春•乳山市期末）如图，在中，，，，点从点以的速度向点运动，同时点从点以的速度向点运动，运动时间为． （1）当　1　时，为等边三角形；（直接写结果） （2）当为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）1；（2）当或时，为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出的值； （2）分两种情况讨论：①当为直角时，②当为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值． 【解答】解：（1）根据题意可得，，， ，， ， ，为等边三角形， ， ， ， 当为1时，为等边三角形． 故答案为：1． （2）①当为直角时，， ．即， 解得． ②当为直角时，． ，即， 解得． 综上，当或时，为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 24．（2024春•永寿县校级月考）如图，在中，，，为上一点，．求的长． 【答案】的长为4． 【分析】过点作于点，利用直角三角形的特征得，再根据等腰三角形的性质得，根据即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点， ． ， ． ， ． ，， ， ， 的长为4． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 八．轴对称的性质 25．（2024春•太康县期末）如图，和△关于直线对称，下列结论：（1）△；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得和△全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案． 【解答】解：和△关于直线对称， （1）△； （2）； （3）直线垂直平分； （4）直线平分． 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键． 26．（2024春•锦江区期末）如图，中，，是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出，再结合等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：和关于对称， ，． ，， ，，， ． 又， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟知轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（2024•姑苏区校级二模）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为　　 A．18 B．30 C．15 D．24 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称点为，得出，进而得出点的运动轨迹，据此可解决问题． 【解答】解：点与点关于直线对称， ， 则点在以点为圆心，半径为6的圆上． 当点在上时，的边上的高取得最大值为6， 面积的最大值为：． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质及三角形的面积，能根据所给对称方式得出点的运动轨迹是解题的关键． 28．（2024•碑林区校级自主招生）在一节折纸活动课上，小思将如图1的正方形纸片两边对折至对角线，得到如图2的四边形，再将其一角对折，使对面两角的顶点重合，得到如图3的五边形，则图3中的大小为 　45　度． 【答案】45． 【分析】先根据题意画出图形，根据计算得出． 【解答】解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称前后两个图形全等是解题的关键． 九．轴对称图形 29．（2024春•鄄城县期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 　正方形　． 【答案】正方形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：等腰直角三角形，半圆只有1条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 正方形有4条对称轴； 所以这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是正方形． 故答案为：正方形． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 一十．作图-轴对称变换 30．（2024春•新城区校级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在小正方形的顶点上， （1）在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出，使与关于对称，点与点是对称点； （2）根据网格可得三角形的高为，求得，然后利用解答即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）根据网格可知：， ， ． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 一十一．利用轴对称设计图案 31．（2024•石家庄校级模拟）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有　　种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个． 故选：． 【点评】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 32．（2024春•怀化期末）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种． 【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可． 【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 33．（2024春•埇桥区期末）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 一十二．轴对称-最短路线问题 34．（2024春•庐江县校级期中）如图，，，是的高，，，相交于点，点，分别是，上的动点，连接，，若，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，作点关于的对称点，连接，，，则垂直平分，推出，，，则，根据，，则，，因为，所以，则，则，当点，，共线且时， 最小，此时为的长， ，所以的最小值是． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，， 则垂直平分， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 当点，，共线且时， 最小，此时为的长， ， 的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 35．（2024春•侯马市期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　　． 【答案】． 【分析】作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、、、，则当点与点重合，点与点重合时，的周长最小，则易得的大小． 【解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别交、于点、，连接、、、， 由对称性知：，，，， ， 当点与点重合，点与点重合时，的周长最小； ，， ，， ，， ， ， ， ， 此时， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点、的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 36．（2024春•梁溪区校级期中）已知，是平面直角坐标系中与轴平行且距离轴1个单位长度的直线上的两个动点（点在点左侧），且，若有点和点，则当的值最小时，点的坐标为 　，或，　． 【答案】，或， 【分析】分当，是直线上的两个点时，当，是直线上的两个点时，这两种情况讨论，利用轴对称的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标． 【解答】解：分两种情况： ①当，是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ，， 四边形为平行四边形，则， 点与点关于直线对称， ， ， 的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为，； ②当，是直线上的两个点时， 取点关于直线的对称点，将点向右平移2个单位得点，连接交直线交于一点，如图，此时，的值最小， ，， 四边形为平行四边形，则， 点与点关于直线对称， ， ， 的最小值为的值， 设直线的解析式为，图象过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的坐标为，； 故答案为：，或， 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，涉及轴对称的性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分情况讨论是解题的关键． 一十三．翻折变换（折叠问题） 37．（2024春•杨浦区期末）如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是　　 A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】 【分析】根据折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质求解． 【解答】解：是边的中点， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ，故①是正确的； 由折叠的性质得：， ，故②谁正确的， 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质是解题的关键． 38．（2024•正定县一模）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【分析】分两种情况讨论，一是，且点与点在直线的异侧，由折叠得，则，求得，则；二是，且点与点在直线的同侧，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，，且点与点在直线的异侧， 由折叠得， ，且， ， ， ， ； 如图2，，且点与点在直线的同侧， ，且， ， ， ， 综上所述，或， 故选：． 【点评】此题重点考查垂直的定义、轴对称的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出的度数是解题的关键． 39．（2024春•九龙坡区期末）如图，点、点分别为的边，上的点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接，．若，，，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】延长交于，延长，交于点，根据折叠的性质得，由勾股定理求出，，再证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质及等角对等边即可得出． 【解答】解：如图，延长交于，延长，交于 点， 将沿折叠，得到， ，，，； ，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 40．（2024春•甘井子区期中）【动手操作】 在数学活动课上，范老师引导同学们探究画平行线的方法，小明经过折纸等动手操作，探究出一种画平行线的方法： 步骤一：如图1，在纸上画出直线与交于点，在线段上取点，过点折叠纸片，使折痕交于点，点在线段的延长线上． 步骤二：用量角器测量出和的度数，计算． 步骤三：再以点为顶点画出，点在点的右侧，就得到直线． （1）如图1，，求证：． 【问题初探】 小明继续折纸操作，探究与的数量关系： 步骤四：如图2，再次将纸折叠两次，使与重合，与重合，折痕直线，交于点． （2）如图2，猜想与的数量关系，并证明． 【类比探究】 （3）①小明发现按照步骤一操作时，将“在线段上取点，点在线段的延长线上”改为“在线段的延长线上取点，且点在线段上”，其他条件不变；再按照步骤二、三进行操作，他发现若点的位置发生改变，，，的数量关系也发生改变，仍能画出直线． 请画出图形，直接写出当，，满足什么数量关系时，直线． ②如图3，在步骤四的操作中，过点，分别折叠，，使折痕，分别落在和中，且交于点，若，，请直接写出与的数量关系．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析； （3）①或；②． 【分析】（1）证明，即可得到； （2），，得到； （3）①根据反推即可；②，，得出． 【解答】（1）证明：，， ， ； （2）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， 由（1）可得， ，， ，， ； （3）解：①关系为：或，证明如下：根据题意画出图如图所示： 由题意得：， ，， ， ， ； ②由（1）可得， ，， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$