第13章三角形中的边角关系、命题与证明 培优题突破练习★★★【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 培优题突破练习★★★ 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 一．三角形的面积 二．三角形三边关系 三．三角形内角和定理 四．三角形的外角性质 五．命题与定理 六．推理与论证 · 知识点梳理 · 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的面积 1．（2018•海门市模拟）在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为　　 A．8 B． C． D． 2．（2004•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2016•武汉校级模拟）如图，内有一定点，过点的一条直线分别交射线于，射线于．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小　　 A． B．为的角平分线 C．为的高 D．为的中线 4．（2021春•龙华区校级期中）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，至少经过　　次操作． 5．（2020•丹东）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；按照这个规律进行下去，则△的面积为　　． 6．（2023春•封开县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6． （1）　　，　　； （2）求的面积； （3）如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标． 二．三角形三边关系 7．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 三．三角形内角和定理 8．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（2024春•江阴市期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2015春•金牛区期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点，若，则　　． 12．（2018秋•椒江区校级期中）已知在中，，，那么　 　度，　 　度． 13．（2023秋•香洲区校级期中）如图，在中，平分交于点，是边上的高，，，求和的度数． 14．（2024春•仪征市期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． （1）小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则　　； （2）小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； （3）小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 15．（2024春•海曙区期末）如图1，在三角形中，，直线与边，分别交于，两点，直线与边，分别交于，两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，，请直接写出、、之间的数量关系（用含的式子表示）． 16．（2023秋•林州市期中）如图，在中，，，．求的度数． 17．（2021秋•紫云县期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 18．（2023春•承德县期末）已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，． （1）如图1，平分，平分，与相交于点，求的度数； （2）若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示，此时平分，平分，与相交于，，，求的度数； （3）若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示，其他条件与（2）中相同，请直接写出此时的度数． 四．三角形的外角性质 19．（2021秋•路南区期中）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　　 A． B． C． D．或 20．如图所示，为的三条角平分线的交点，，则　　度． 21．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　　． 22．（2021秋•舒兰市期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点．求的度数． 23．（2024春•永年区期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　　． 24．（2024春•吉安期中）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）问题解决：按小明的思路，求的度数； （2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）问题应用：在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请画出图形，并直接写出与、之间的数量关系． 五．命题与定理 25．（2021秋•新野县期中）如图，已知是锐角，，，．点是射线上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，长可选取的范围是 　　．若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 　　． 六．推理与论证 26．（2019秋•诸暨市期末）学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有　　箱． A．2 B．3 C．4 D．5 27．（2019•宁波模拟）某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为　　 A．13分或14分 B．14分或15分 C．15分或16分 D．16分或17分 28．（2023•孟村县二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“” “”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 　　（填方块上的字母）． 29．（2023秋•雨花区期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中5位参赛者的得分情况，参赛者说自己得分是71至80之间的一个整数，请根据图表信息推断参赛者的得分为 　　． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 30．（2020秋•南岸区期末）如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选座位号之和为 　　． 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 培优题突破练习★★★ 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 一．三角形的面积 二．三角形三边关系 三．三角形内角和定理 四．三角形的外角性质 五．命题与定理 六．推理与论证 · 知识点梳理 · 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的面积 1．（2018•海门市模拟）在直角坐标系中，点，动点在第一象限，动点在轴上．当时，面积的最大值为　　 A．8 B． C． D． 【答案】 【分析】由于，当到的距离最大时，面积有最大值，再根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可求解． 【解答】解：根据条件可知，，， 以为弦，所对圆周角等于作一辅助圆，如图所示： 当点位于优弧中点时，点到直线的距离最大，即“高”最大，而底为定值4， 所以此时的面积最大，计辅助圆圆心为，，， 所以点位于优弧中点时，点到直线的距离为， 所以面积的最大值． 故选：． 【点评】考查了三角形的面积，坐标与图形性质，关键是理解当到的距离最大时，面积有最大值． 2．（2004•重庆）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点、是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点使的面积为2个平方单位，则满足条件的格点的个数是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】首先分别在的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作的平行线．找到所有的格点即可．即有5个． 【解答】解：满足条件的点有5个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 故选：． 【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点． 3．（2016•武汉校级模拟）如图，内有一定点，过点的一条直线分别交射线于，射线于．当满足下列哪个条件时，的面积一定最小　　 A． B．为的角平分线 C．为的高 D．为的中线 【分析】当点是的中点时最小；过点的另一条直线交、于点、，设，过点作交于，由全等三角形的性质可以得出，，从而求得，即可得出结论； 【解答】解：当点是的中点时最小； 如图，过点的另一条直线交、于点、，设，过点作交于， 在和中， ， ， ． ， ， 当点是的中点时最小； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键． 4．（2021春•龙华区校级期中）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，至少经过　4　次操作． 【答案】4 【分析】先根据已知条件求出△及△的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【解答】解：与△底相等，高为，故面积比为， 面积为1， ． 同理可得，，， ； 同理可证， 第三次操作后的面积为， 第四次操作后的面积为． 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过4次操作． 故答案为：4． 【点评】考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 5．（2020•丹东）如图，在矩形中，，，连接，以为边，作矩形使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；以为边，作矩形，使，连接交于点；按照这个规律进行下去，则△的面积为　　． 【答案】． 【分析】首先证明，，推出，求出第一个，第二个三角形的面积，利用相似三角形的性质寻找规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：在矩形中，，， ， ， ， ， ， △， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同法可证， ，， ， ， ， ， ， ， 同法可证， 由题意，， △△， 相似比为：， ，，， 由此规律可得，△的面积为． 故答案为． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2023春•封开县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6． （1）　8　，　　； （2）求的面积； （3）如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1），； （2）24； （3）． 【分析】（1）根据轴，可知点与点的横坐标相同，结合点到轴的距离为6，得点的纵坐标为6，即可得到、的值； （2）根据三角形的面积公式得，即可求出的面积； （3）由图象可知，再由三角形的面积公式求出，结合四边形的面积是的面积的两倍且在第二象限，即可求出点的坐标． 【解答】解：（1），，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6， ，， 故答案为：，． （2），， ， ， ． （3），， ，， ， ， ， ， ， 且在第二象限， ， ． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键． 二．三角形三边关系 7．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由利用大角对大边得到，进一步得到，从而得到． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 三．三角形内角和定理 8．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解答】解：平分，， ． ， ，即，①错误； 平分， ， ， ，即， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ，故③正确； 平分，平分， 为外角的平分线， ， ，，， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 9．（2024春•江阴市期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误； ④证明，根据①的结论，证明结论正确． 【解答】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，故③正确； ④， ， ， ， 由①得，， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 10．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误； ④证明，根据①的结论，证明结论正确． 【解答】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④， ， ， ， 由①得，， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 11．（2015春•金牛区期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点，若，则　　． 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案． 【解答】解：延长，作于点，于点，于点， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识．注意根据角平分线的性质得出是解决问题的关键． 12．（2018秋•椒江区校级期中）已知在中，，，那么　20　度，　 　度． 【分析】由题意知，再根据三角形内角和定理存在：，，，解这三个方程组成的三元一次方程组得，，，． 【解答】解：由题知，①，②，③， 由③得，④， 把①代入④得，， 所以， 即⑤， ⑤②得，， 所以， 代入②得，， 即，． 【点评】本题利用了三角形内角和定理建立方程组求解． 13．（2023秋•香洲区校级期中）如图，在中，平分交于点，是边上的高，，，求和的度数． 【分析】首先根据，求出的度数是多少，即可求出的度数；然后根据，求出的度数，进而求出的度数，即可求出的度数是多少． 【解答】解：， ， 是边上的高， ， ； ， ， ， 平分交于点， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是． 14．（2024春•仪征市期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． （1）小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则　40　； （2）小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； （3）小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】（1）40； （2）； （3）②的值不变，理由见解答部分． 【分析】（1）证明，再利用角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，而，可得，可得，，证明，可得，，再进一步可得答案； （3）设，可得，同理可得：，则，再进一步可得答案． 【解答】解：（1），， ， ， ； 故答案为：40； （2）如图2，过作，而， ， ，，， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， 同理可得：； （3）②的值不变，理由如下： 设， ， 同理可得：， ， ；； ①的值变化；②的值不变． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的含义，角的和差倍分关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．（2024春•海曙区期末）如图1，在三角形中，，直线与边，分别交于，两点，直线与边，分别交于，两点，且． （1）若，求的度数； （2）如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，，请直接写出、、之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】（1）． （2），理由见解析． （3）或． 【分析】（1）过点作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点作直线，结合平行线性质和三角形内角和即可． （3）结合题意画出图形，分类讨论即可． 【解答】解：（1）如图1，过点作直线， ， ， ， ，， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线，由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或．理由如下： 当点在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ． 当点在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ． 综上，或． 【点评】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一． 16．（2023秋•林州市期中）如图，在中，，，．求的度数． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由，求出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：在中，， ． ，， ． ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 17．（2021秋•紫云县期末）如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：是边上的高，， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 18．（2023春•承德县期末）已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，． （1）如图1，平分，平分，与相交于点，求的度数； （2）若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示，此时平分，平分，与相交于，，，求的度数； （3）若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示，其他条件与（2）中相同，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出以及的度数，进而得出答案； （2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出以及的度数，进而得出答案； （3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出和的度数，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图1所示： 直线，， ， ， ，平分， ， ， 可得， 平分， ， ； （2）如图2所示： ，线段沿向右平移到，， ， ， 平分， ， ，， ，， 平分， ， ； （3）如图3所示： 过点作， ，线段沿向左平移到，， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， ． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键． 四．三角形的外角性质 19．（2021秋•路南区期中）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　　 A． B． C． D．或 【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当时， ， ； ②如图2，当时， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键． 20．如图所示，为的三条角平分线的交点，，则　60　度． 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算的度数，从而得出的度数． 【解答】解：由已知可得， ， ． 【点评】此题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理． 21．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　6　． 【分析】连接，，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：连接，，， 是的外角， ， 是的外角， ， 在四边形中，①， 在中，②， ①②得，， 即， ． ． 故答案为：6． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答． 22．（2021秋•舒兰市期末）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点．求的度数． 【答案】． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利用邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数． 【解答】解：， ， ， 和分别平分和， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．本题的关键是利用邻补角或三角形外角性质把和联系起来． 23．（2024春•永年区期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　　． 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出，，再由三角形的外角的性质得出，，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得，，再根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：（1）， 理由如下：和分别是与的角平分线， ，， ， 又， ， ； （2）， 理由如下：和分别是与外角的角平分线， ，， 又是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3）结论：． 根据三角形的外角性质，得，， 是外角与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． 24．（2024春•吉安期中）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）问题解决：按小明的思路，求的度数； （2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）问题应用：在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请画出图形，并直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）当点在射线上时，；当点在线段上时，． 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）分两种情况：点在线段上；点在射线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由：如图2，过作交于， ， ， ，， ； （3）如图所示，当点在射线上时， 过作，交于， ， ， ， ， ， 如图4所示，当在延长线上时， 同理可得：． 【点评】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 五．命题与定理 25．（2021秋•新野县期中）如图，已知是锐角，，，．点是射线上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，长可选取的范围是 　　．若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 　　． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等是假命题，证明见解析，；或． 【分析】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，只有当两个直角三角形满足上述条件时，才全等． 【解答】解：（1）分别在，上截取，，使，连接，， ， ， 在和中，，，， 和不全等， 长可选取的范围是：， 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等是假命题，证明见解析，； （2）①当时，是直角三角形，此时，的形状、大小是唯一确定的； ②当时，点在射线上运动，此时，的形状、大小是唯一确定的． 故答案为：或． 【点评】本题考查有关三角形全等的知识，关键是掌握三角形全等的判定方法，明白有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 六．推理与论证 26．（2019秋•诸暨市期末）学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有　　箱． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先计算出这些球的总数量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数，判断篮球的箱数． 【解答】解：（个，根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍， 剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数， 由于102是3的倍数， 所以拿走的篮球个数也是3的倍数， 只有9和27符合要求， 假设拿走的篮球的个数是9个，则，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个， 假设拿走的篮球的个数是27个，则，剩下的篮球是25个，只有，所以剩下2箱篮球， 故这六箱球中，篮球有3箱， 故选：． 【点评】本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识． 27．（2019•宁波模拟）某足球比赛小组赛的比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），且丙与其他球队均打平，则四个球队的得分之和可能为　　 A．13分或14分 B．14分或15分 C．15分或16分 D．16分或17分 【答案】 【分析】利用已知得出丙3平得分为3分，根据甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等），可得丁1平2负或2平1负得1分或2分，当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件；当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件；进而得出答案． 【解答】解：丙与其他球队均打平， 丙得分为3分， 甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名（四队得分互不相等）， 丁1平2负或2平1负得1分或2分， 当丁1平2负时，甲2胜1平得7分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为（分； 当丁2平1负时，甲1胜2平得5分，乙1胜1平1负得4分满足条件，四个球队的得分之和为（分． 则四个球队的得分之和可能为14分或15分． 故选：． 【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜平负场次是解题关键． 28．（2023•孟村县二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“” “”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 　、、、　（填方块上的字母）． 【答案】、、、 【分析】根据题意： 下方的“2”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间、对应“？”中有一个雷； 由于下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以对应的方格肯定不是雷，因为对应的方格不是雷，所以下方“2”的左上、右上的方格，即、都是雷； 而下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷． 因为下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷， 根据下方的“4”周围应该有4个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷． 综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷． 据此解答即可． 【解答】解：图2中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断： 由第三行第二个“1”，可得它的上方必定不是雷． 结合下方的“2”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个“？”中有3个雷，中间、对应“？”中有一个雷； 由于下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以对应的方格肯定不是雷，如图所示： 进行下一步推理： 因为对应的方格不是雷，所以下方“2”的左上、右上的方格，即、都是雷； 而下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷． 因为下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷， 根据下方的“4”周围应该有4个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷． 综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷． 故答案为：、、、 【点评】本题主要考查了扫雷的基本原理和推理和证明的知识，主要训练学生逻辑推理能力． 29．（2023秋•雨花区期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中5位参赛者的得分情况，参赛者说自己得分是71至80之间的一个整数，请根据图表信息推断参赛者的得分为 　76　． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 14 6 64 10 10 40 【答案】76． 【分析】设的分数为，则，即可求解． 【解答】解：由参赛者可知，答对一道得（分， 由参赛者可知，打错一道的得分为：（分， 设参赛者答对了道，则答错了道， 设的分数为，则， 当时，， 当时，， 当时，， 说自己得分是71至80之间的一个整数， 故，此时的分数为76符合题设条件， 故答案为：76． 【点评】本题考查推理与论证，涉及到一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 30．（2020秋•南岸区期末）如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选座位号之和为 　66　． 【答案】66． 【分析】先判断，丙购4票后，左余5座，右余6座，即可得出结论． 【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买5，3，1，2，4号票， 此时，3号左边有5个座位，4号右边有6个座位， 第二个丁可以购买3号右边的6个座位，另一侧的座位甲和乙购买， 即丙，3，1，2，、丁，6，8，10，12，14，、甲（7）、乙，11，， 或丙，3，1，2，、丁，8，10，12，14，、乙，9，、甲； 因此，第一个是丙购买票，丁第二个买票，满足条件的丁所选座位号之和． 故答案为：66． 【点评】此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$