第13章三角形中的边角关系、命题与证明 中档题拓展训练 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 中档题拓展训练★★ 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 一．三角形的角平分线、中线和高 二．三角形的面积 三．三角形三边关系 四．三角形内角和定理 五．三角形的外角性质 六．命题与定理 七．推理与论证 · 知识点梳理 · 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的角平分线、中线和高 1．（2024春•榆阳区月考）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段，其中能表示的高的是　　 A． B． C． D． 二．三角形的面积 3．（2024春•内丘县期末）如图，在锐角三角形中，是边上的动点，连接，关于①、②，下列列断正确的是　　 ①当为的中点时，与的面积相等； ②线段可以把分成两个钝角三角形． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 4．（2024春•锡山区校级月考）如图，和是的中线，与交于点，下列结论正确的有　　个． （1） （2）连接并延长交于点，则 （3） A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 5．（2024春•靖江市校级月考）如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　　． 6．（2024春•巨野县期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 　　． 7．（2024春•大足区期末）如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 　　． 8．（2024春•邹平市期末）如图，直线经过点和点，连接，，求的面积． 9．（2024春•郧西县期末）已知点，点，且、满足． （1）直接写出点，的坐标； （2）已知点在轴上，且三角形面积为6（即，求点坐标； （3）点为线段上一点，求，满足的关系式． 三．三角形三边关系 10．（2024•廊坊一模）平面内，将长分别为1，1，3，的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是　　 A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2024春•连平县期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是　　 A．2 B．4 C．8 D．11 12．（2024春•滨州月考）已知一个三角形的三边长分别为5，，10，则　　． 13．（2024春•兴化市校级月考）已知三角形的三边长为3、7、，且为整数，则的最大值为 　　． 14．（2024春•铁西区期末）在中，，，则的取值范围是 　　． 四．三角形内角和定理 15．（2024春•宜城市期末）将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 16．（2024春•高青县期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2024春•都昌县期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使得点与点重合．若恰好平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 18．（2024春•射洪市期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是　　 A．延长至过作 B．过作 C．过作 D．过作，， 19．（2024春•长沙期末）在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 20．（2024春•乾县期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2024春•牟平区期末）在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是　　 A．， B．， C．， D．， 22．（2024春•南召县期末）如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则　　． 23．（2024春•宿城区期末）已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则　　． 24．（2024春•海口期末）直线于点，点、分别在射线、上（不与点重合）． （1）如图1，、分别是和的角平分线，求的度数； （2）如图2，延长至点，、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，若，求的度数； （3）如图3，点在上，过点作，交的延长线于点，作于点． ①若，判断与是否相等，并说明理由； ②若，平分，求的度数． 25．（2024春•牟平区期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 26．（2024春•惠民县期末）如图所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则　　； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 27．（2024春•西安期末）如图，在中，，，于点，与交于点． （1）求的度数； （2）若平分，平分，试说明． 28．（2024春•信都区月考）嘉淇同学对“任意一个三角形的内角和一定等于”说理，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来说理．请你完成以下说理过程． 如图，已知：．请对说明理由． 29．（2024春•滑县期末）一副直角三角尺如图1所示放置，含角的三角尺固定不动，含角的三角尺的直角边与三角尺的斜边在同一条直线上，且顶点重合． （1）已知任意三角形的内角和是，则的度数是 　　； （2）如图2，将含角的三角尺绕顶点顺时针旋转，当边与三角尺的边平行，且边与边相交于点时，求的度数． （3）在含角的三角尺绕顶点顺时针旋转一周的过程中，当边时，的度数为 　　（说明：本题所求角度均指大于．小于的角） 五．三角形的外角性质 30．（2024春•青秀区校级期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③④；⑤．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．（2024春•龙亭区校级期末）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 32．（2024春•开福区校级期末）如图，已知，，点、、在一条直线上，则　　度． 33．（2024春•冠县期末）如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． （1）如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； （3）在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 34．（2024春•井冈山市期末）（1）如图1，在中，平分，平分，求证：； （2）如图2，在中，平分，平分外角，猜想和有何数量关系，并证明你的结论． 六．命题与定理 35．（2024•连山区二模）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 36．（2024春•剑阁县月考）下列命题中，真命题的个数是　　 ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②同位角相等； ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④图形平移的方向一定是水平的； ⑤若，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 37．（2024•兴隆台区校级模拟）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是　　 A． B． C． D． 38．（2024春•威海期末）下列命题的逆命题，是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．有一个角为90度的三角形是直角三角形 39．（2024春•酉阳县期末）命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是 　　命题（填写“真”或“假” ． 七．推理与论证 40．（2024春•绍兴期中）一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划天完成为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则　　 A．37 B．38 C．40 D．41 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 中档题拓展训练★★ 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 【解析版】 一．三角形的角平分线、中线和高 二．三角形的面积 三．三角形三边关系 四．三角形内角和定理 五．三角形的外角性质 六．命题与定理 七．推理与论证 · 知识点梳理 · 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． · 三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 一．三角形的角平分线、中线和高 1．（2024春•榆阳区月考）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可． 【解答】解：、， ， ， ， ，故本选项说法错误，不符合题意； 、当为等腰直角三角形时， 是中线， 不是角平分线， ， 为角平分线， ， ，故本选项说法错误，不符合题意； 、是的中线， ， 当时，是的中位线， 则，故本选项说法错误，不符合题意； 、，，， ，故本选项说法正确，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形角平分线定义的应用． 2．（2024春•桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段，其中能表示的高的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：所给图形中，线段能表示的高的是选项， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键． 二．三角形的面积 3．（2024春•内丘县期末）如图，在锐角三角形中，是边上的动点，连接，关于①、②，下列列断正确的是　　 ①当为的中点时，与的面积相等； ②线段可以把分成两个钝角三角形． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】 【分析】①过点作于点，根据三角形的面积公式判断即可； ②根据，证明与不能同时大于即可． 【解答】解：①过点作于点． 为的中点， ， ，， ， ①正确． ②是锐角三角形， ，，， ，， ， 当时，；当时，， 与不能同时大于， 线段不可以把分成两个钝角三角形， ②不正确． 综上，只有①正确． 故选：． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式及钝角三角形的定义是解题的关键． 4．（2024春•锡山区校级月考）如图，和是的中线，与交于点，下列结论正确的有　　个． （1） （2）连接并延长交于点，则 （3） A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质，逐一进行分析即可． 【解答】解：和是的中线， ，故①正确； 连接并延长交于点，如图： 三角形的三条中线交于一点， 为的中线， ，故②正确； 是的中线， ， ， ；故③正确； 故选：． 【点评】本题考查三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，关键是三角形面积公式的应用． 5．（2024春•靖江市校级月考）如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　　． 【答案】． 【分析】连接，设．根据“两个三角形的面积比等于底边长之比”求出的面积和的值，根据“两个阴影三角形面积之和的面积的面积”计算即可． 【解答】解：连接． 设． 是边上靠近的三等分点， ，， 是的中点， ，， ， ，解得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“两个三角形的面积比等于底边长之比”是解题的关键． 6．（2024春•巨野县期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于 　7　． 【答案】7． 【分析】因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【解答】解：如图，点是的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ，， ， ，且， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高之比． 7．（2024春•大足区期末）如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 　24　． 【答案】24． 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果． 【解答】解：四边形是矩形， ， 设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则， 矩形的面积； 故答案为：24． 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 8．（2024春•邹平市期末）如图，直线经过点和点，连接，，求的面积． 【答案】9． 【分析】利用点和点与正半轴围成的矩形面积相等，得到代入数据计算即可． 【解答】解：如图，点，， 点和点， ， ． 故答案为：9． 【点评】此题考查了坐标与图形性质、三角形面积一次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键 9．（2024春•郧西县期末）已知点，点，且、满足． （1）直接写出点，的坐标； （2）已知点在轴上，且三角形面积为6（即，求点坐标； （3）点为线段上一点，求，满足的关系式． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性质列方程组并求解即可； （2）根据三角形面积公式求出，设，列绝对值方程并求解即可； （3）连接，根据，将和代入计算即可． 【解答】解：（1）根据，得， 解得， ，． （2）， ， 设，则， 解得或， 点的坐标为或． （3）连接． ，，， ． 【点评】本题考查三角形的面积、偶次方和算术平方根的非负性质等，掌握三角形面积公式及偶次方和算术平方根的非负性质是解题的关键． 三．三角形三边关系 10．（2024•廊坊一模）平面内，将长分别为1，1，3，的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是　　 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】 【分析】由三角形三边关系定理得到，，因此，即可得到答案． 【解答】解：连接， 在中，， ， 在中，， ， 可能是3． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是连接，应用三角形的三边关系定理来解决问题． 11．（2024春•连平县期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是　　 A．2 B．4 C．8 D．11 【答案】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边长的取值范围，据此根据选项即可判断． 【解答】解：设第三边长为， 则有， 即， 观察只有选项符合， 故选：． 【点评】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 12．（2024春•滨州月考）已知一个三角形的三边长分别为5，，10，则　　． 【答案】． 【分析】先根据三角形的三边关系判断的取值范围，再化简求值． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的非负性质、三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 13．（2024春•兴化市校级月考）已知三角形的三边长为3、7、，且为整数，则的最大值为 　9　． 【答案】9． 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求出的取值范围，从而得出符合要求的整数． 【解答】解：三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，为最大边， ， ， 最大边为整数）可取的值为：9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记“三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 14．（2024春•铁西区期末）在中，，，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】利用三边关系判断即可． 【解答】解：四边形的第三边的范围：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是理解三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和． 四．三角形内角和定理 15．（2024春•宜城市期末）将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用三角形的内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，利用折叠的性质求出，最后利用平角及角的和差关系求出． 【解答】解：在中， ， ． 由题意知：， ． △是沿折叠成的三角形， ． ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理及折叠的性质，掌握“三角形的内角和是”、“折叠前后的对应角相等”等知识点是解决本题的关键． 16．（2024春•高青县期末）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，，依此类推可知的度数 【解答】解：与的平分线交于点， ； 同理可得， ． 要使的度数为整数，则的最大值为4，此时． 故选：． 【点评】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义． 17．（2024春•都昌县期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使得点与点重合．若恰好平分，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得：，，可以角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理可求解的度数，再利用直角三角形的性质可求解． 【解答】解：由折叠可知：，， 平分， ， ，， ， 解得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查折叠与对称，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，求解的度数是解题的关键． 18．（2024春•射洪市期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是　　 A．延长至过作 B．过作 C．过作 D．过作，， 【答案】 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：、， ，，由，得，故不符合题意； 、， ，，由，得，故不符合题意； 、，，，无法证得三角形的内角和等于，故符合题意； 、如图， ， ，， ， ， ， ， ，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 19．（2024春•长沙期末）在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】 【分析】依据题意，根据，，即可判断①；根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断②；根据角平分线的定义和三角形内角和定理，可求出，再根据垂直的定义，可求出，再根据以及①的结论可判断③；根据角平分线的定义和三角形的外角性质可判断④． 【解答】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确； ②平分， ， ，， ， 故②正确； ③平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ④，， ， ，， ， ， ， ， 故④错误． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角性质，解题时要能熟练掌握三角形的内角和定理是关键． 20．（2024春•乾县期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】因为是的角平分线，所以，由，得，，在中，，即可作答． 【解答】解：因为是的角平分线， ， 由，得， 在中，， 因为在中，， 把，代入， 得， 那么， 所以， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和为以及角平分线的定义，关键是三角形内角和定理的应用． 21．（2024春•牟平区期末）在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角和定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案． 【解答】解；当顶角为时，， 当顶角为时， 所以选项错误． 当顶角为时，， 当时，， 所以选项错误． 当顶角为时，， 所以选项正确． 当顶角为时，， 当顶角为时， 所以选项错误． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 22．（2024春•南召县期末）如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则　　． 【答案】． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，由直角三角形的性质求出的度数，根据即可得出结论． 【解答】解：中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 23．（2024春•宿城区期末）已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则　265　． 【答案】． 【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【解答】解：由折叠知：，． ，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 24．（2024春•海口期末）直线于点，点、分别在射线、上（不与点重合）． （1）如图1，、分别是和的角平分线，求的度数； （2）如图2，延长至点，、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，若，求的度数； （3）如图3，点在上，过点作，交的延长线于点，作于点． ①若，判断与是否相等，并说明理由； ②若，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①，理由见解答；②． 【分析】（1）利用三角形内角和定义以及角平分线定义求的度数，再根据三角形内角和定义即可求得的度数 （2）根据平角定义以及角平分线定义可求得，由可知，易求，由三角形外角性质可知，从而可知，进而可得的度数 （3）①先有同角余角相等得到，，由等量代换可知，从而可得； ②由等角的余角相等得到，再根角平分线定义可知，由三角形外角性质可知，再根据三角形内角和定义即可求的度数，从而可得的度数． 【解答】解：（1）、分别是、 的角平分线， ，． ， 在中， 么 ． （2）、分别是 和 的角平分线， 点，， ， ， 是 的角平分线， ， ． ； （3）①，理由如下： ， ， ， ； ②在中， ， ． ． 平分， ． ， ． 在 中， ． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键． 25．（2024春•牟平区期末）如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 【答案】． 【分析】根据，得出，再由平行线的性质解答即可． 【解答】解：， ， ，， ， ， ， ， ． ． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 26．（2024春•惠民县期末）如图所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则　30　； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解答；（2）①30；②． 【分析】（1）结论：．如图1中，连接并延长到．利用三角形的外角的性质证明即可． （2）①利用（1）中结论计算即可． ②如图3中，设，．利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：． 理由：如图1中，连接并延长到． 因为，， 所以， 即． （2）①如图2中， 由（1）知：， 由于， 所以 ． 故答案为30． ②如图3中，设，． 由（1）可知：， ， ， ． 【点评】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用． 27．（2024春•西安期末）如图，在中，，，于点，与交于点． （1）求的度数； （2）若平分，平分，试说明． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得．再根据平行线的判定方法可得结论． 【解答】解：（1）， ． ， ， ． （2）平分， ， ． 平分， ． ， ． ． 【点评】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 28．（2024春•信都区月考）嘉淇同学对“任意一个三角形的内角和一定等于”说理，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来说理．请你完成以下说理过程． 如图，已知：．请对说明理由． 【答案】见解析． 【分析】先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键． 【解答】证明：过点作，如图所示． ， ，， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键． 29．（2024春•滑县期末）一副直角三角尺如图1所示放置，含角的三角尺固定不动，含角的三角尺的直角边与三角尺的斜边在同一条直线上，且顶点重合． （1）已知任意三角形的内角和是，则的度数是 　　； （2）如图2，将含角的三角尺绕顶点顺时针旋转，当边与三角尺的边平行，且边与边相交于点时，求的度数． （3）在含角的三角尺绕顶点顺时针旋转一周的过程中，当边时，的度数为 　　（说明：本题所求角度均指大于．小于的角） 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可解决问题． （2）根据平行线的性质得出的度数，进而得出的度数，据此求出的度数即可． （3）根据题意画出示意图，再根据平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：（1），， ． 又， ， ． 故答案为：． （2）， ． 又， ， ． （3）当点在上方时，如图所示， ， ， ． 当点在下方时，如图所示， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟知三角形的内角和定理及平行线的性质是解题的关键． 五．三角形的外角性质 30．（2024春•青秀区校级期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③④；⑤．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案． 【解答】解：①平分， ， ，， ， ， ，故①正确， ②， ， 平分，， ，故②正确； ③，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④平分， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确； ⑤由④得，， ， ， ，故⑤不正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定和性质、含角平分线的三角形内角和定理的应用，关键是三角形外角性质的应用． 31．（2024春•龙亭区校级期末）如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】先根据外角定理得出，再根据角平分线的定义得出，，进而得出，同理可得：，，总结出一般规律，即可解答． 【解答】解：是的一个外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的度数为整数，， 的最大值为4， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 32．（2024春•开福区校级期末）如图，已知，，点、、在一条直线上，则　60　度． 【答案】60． 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案． 【解答】解：，， ． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键． 33．（2024春•冠县期末）如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． （1）如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则　70　； （2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； （3）在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）70； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据是的邻三分线得，再根据三角形外角定理可得出的度数； （2）根据三角形内角和定理求出，再根据是的邻三分线，是的邻三分线，得，由此可得的度数； （3）分两种情况讨论如下：①当是“邻的三等分线”时，则，，由三角形外角定理得，，即，由此可得的度数；②当是“邻的三等分线”时，则，，由三角形外角定理得，，即，由此可得的度数；综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1），的邻三分线交于点， ， ，为的一个外角， ， 故答案为：70． （2）， ， 是的邻三分线，是的邻三分线， ，， ， ； （3）分两种情况讨论如下： ①当是“邻的三等分线”时，如图1所示： ，， ， 是的邻三分线， ， 由三角形外角定理得：，， 即， ， ； ②当是“邻的三等分线”时，如图2所示： 则， 是的邻三分线， ， 由三角形外角定理得：，， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角的计算，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角的计算是解决问题的关键． 34．（2024春•井冈山市期末）（1）如图1，在中，平分，平分，求证：； （2）如图2，在中，平分，平分外角，猜想和有何数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再求出答案即可； （2）根据三角形外角性质得出，，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ； （2）猜想： 证明：， ， ， ， 又平分，平分， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于和角平分线的定义是解此题的关键． 六．命题与定理 35．（2024•连山区二模）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答． 【解答】解：、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的； 、2，3不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 、2不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 故选：． 【点评】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，掌握错误的命题即为假命题是解题的关键． 36．（2024春•剑阁县月考）下列命题中，真命题的个数是　　 ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②同位角相等； ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④图形平移的方向一定是水平的； ⑤若，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】根据平行线的判断和性质，平行公理，平移性质进行判断即可． 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，是假命题； ②两直线平行，同位角相等，故原说法错误，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原说法错误，是假命题； ④图形可以向任何方向平移；故原说法错误，是假命题； ⑤若，，则，正确，是真命题； 综上分析可知，真命题有1个， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，掌握平行线、垂线、平移等相关性质是解题的关键． 37．（2024•兴隆台区校级模拟）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的定义，再结合举反例的方法可得到答案． 【解答】解：选项中的图形，满足两个角相等，但是不是对顶角，故符合题意； 选项中的图形是对顶角，故不符合题意； 选项中的图形两个角不相等，故不符合题意； 选项中的图形两个角不相等，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是真假命题的判定，对顶角的含义，掌握判断命题为真假命题的判定方法是解本题的关键． 38．（2024春•威海期末）下列命题的逆命题，是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．有一个角为90度的三角形是直角三角形 【答案】 【分析】先交换各命题的题设与结论部分得到四个逆命题，然后分别根据全等三角形的判定、平行线的判定、矩形直角三角形的判定方法和对顶角的定义判断逆命题的真假． 【解答】解：、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题； 、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，是真命题； 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； 、有一个角为90度的三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的一个角是直角，是真命题； 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 39．（2024春•酉阳县期末）命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是 　真　命题（填写“真”或“假” ． 【答案】真． 【分析】根据平行线的判定方法判断即可． 【解答】解：“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题， 故答案为：真． 【点评】本题考查命题与定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型． 七．推理与论证 40．（2024春•绍兴期中）一项工程由甲、乙、丙三个人来完成，原计划天完成为正整数），如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作，恰好能如期完成，如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作，则比原计划晚0.5天完成，如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作，则比原计划晚1天完成，若丙单独完成这项工程需要50天，则　　 A．37 B．38 C．40 D．41 【答案】 【分析】考虑三种情况，第一种：甲乙丙；第二种：丙甲乙；第三种：乙丙甲；我们发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工 作天数都是一样的．所以只要看最后那几天就行．若第一种情况，最后甲乙，那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符题意．所以第一种情况，最后应该是甲；那么第二种情况最后就是丙甲；第三种情况就是乙丙；所以甲丙甲乙丙，因为丙单独50天做完，工效为150，所以通过计算得到甲单独25天完成，乙单独50天完成，则． 【解答】解：第一种：甲乙丙； 第二种：丙甲乙； 第三种：乙丙甲； 我们发现只要经过3的倍数天，甲、乙、丙的工 作天数都是一样的．所以只要看最后那几天就行． 若第一种情况，最后甲乙，那么第三种情况最后必然是乙丙甲，这样得到甲乙乙丙甲，显然不符题意．所以第一种情况，最后应该是甲； 那么第二种情况最后就是丙甲； 第三种情况就是乙丙；所以甲丙甲乙丙，因为丙单独50天做完，工效为150，所以通过计算得到甲单独25天完成，乙单独50天完成， ． 故选：． 【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是根据题意正确推理． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$