第11章平面直角坐标系 培优题突破练习 【4个考点30题专练】【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第11章平面直角坐标系 培优题突破练习★★★【4个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 一．点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．坐标与图形变化-平移 · 知识点梳理 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 一．点的坐标 1．（2021春•南昌期末）已知点，则点不可能在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2021春•饶平县校级期末）若点在轴的下方，轴的左方，到轴的距离是3，到轴的距离是2．则点的坐标为　　 A． B． C． D． 3．（2006•宁波校级自主招生）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有　 　种． 4．（2017春•西城区期末）如图1，平面上两条直线，相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线的距离为，到直线的距离为，则称有序实数对为点的“距离坐标”，例如，图1中点的“距离坐标”为，点的“距离坐标”为． （1）如图2，点的“距离坐标”为　　，点的“距离坐标”为　　； （2）如图3，点，分别在直线，上，则，两个点中，“距离坐标”为的点是　　； （3）平面上“距离坐标”为的点有　　个，“距离坐标”为的点有　　个． 5．（2009秋•永嘉县期末）如图，在直角坐标系中，设一动点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，则　　． 6．如图，一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 　　． 7．（2017春•栾城区期末）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限． （1）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值； （2）若点到轴的距离小于到轴的距离，求的取值范围． 二．坐标确定位置 8．根据指令，，，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离，现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对轴正方向． （1）若给机器人下了一个指令，，则机器人应移动到点　　； （2）请你给机器人下一个指令　　，使其移到点． 9．（2014•新泰市模拟）如图，已知，，，，，，，，，则点的坐标是　 　． 10．（2023春•凯里市校级期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系． （1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置； （2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 11．（2024春•沂水县期末）根据下列条件画一幅示意图，标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置． （1）从学校向东走，再向北走是工厂； （2）学校向西走，再向北走是体育馆； （3）从学校向南走，再向东走是百货商店． 12．（2017春•禹州市期中）如图是某学校的平面示意图，在的正方形网格中，如果实验楼所在位置的坐标为． （1）请画出符合题意的平面直角坐标系； （2）在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置： 旗杆　 　；校门　 　；图书馆　 　；教学楼　 　． 13．（2017春•东兰县期中）小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为，火车站的坐标为．写出体育场、文化宫、超市的坐标． 三．坐标与图形性质 14．（2023•薛城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点．已知，．点到原点的最大距离为　　 A．22 B．18 C．14 D．10 15．（2023春•天门期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为　　 A． B． C． D．或 16．（2023春•樊城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•新市区校级期末）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 18．（2023春•虹口区期末）在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有　　个 A．5 B．6 C．7 D．8 19．（2020秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 20．（2022秋•泗阳县期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度水平向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度竖直向上运动，过点作交于点，当线段的值最小时，则运动时间的值为 　　． 21．（2019秋•徐汇区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点、在轴正半轴上，点在第一象限，，，，，在轴上找一点，使是直角三角形，则点的坐标是 　　． 22．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 　　． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别是，，是轴正半轴上的一个动点，过点作直线于点，直线与轴相交于点．若，则点的坐标为 　　． 24．（2023春•宁江区期中）已知：点．点在过点，且与轴平行的直线上，求出点的坐标． 25．（2017春•矿区期中）已知：，，． （1）求的面积； （2）设点在坐标轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 26．（2022春•柘城县期末）已知点，点，点，轴，轴，在第二象限的角平分线上： （1）写出、、三点坐标； （2）求的面积； （3）若点为线段上动点，当面积大于12小于16时，求点横坐标取值范围． 27．（2017春•高密市期末）如图，在平面直角坐标系中画出以下各点：，，，，顺次连接，，，，计算所得到的四边形的面积． 28．（2020春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，且，满足，连接、． （1）如图1，若，点是直线上的一个动点，当最短时，求的值；点是线段上的一个动点，且满足于点，于点，求的值； （2）如图2，过点作直线轴，过点作直线与交于点，与轴交于点，、分别平分、，求的度数． 四．坐标与图形变化-平移 29．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是　　 A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6 30．（2024春•武汉期末）已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为　　 A．4 B． C．3 D． 第11章平面直角坐标系 培优题突破练习★★★【4个考点30题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年沪科版数学八年级上册 【解析版】 一．点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．坐标与图形变化-平移 · 知识点梳理 · 点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． · 坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． · 坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． · 坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 一．点的坐标 1．（2021春•南昌期末）已知点，则点不可能在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据各个象限的点的坐标特点，列出不等式组，不等式组无解则点不可能在该象限． 【解答】解：点不可能在第一象限，理由如下： 点的坐标是，若点在第一象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组无解，符合题意； 点不可能在第一象限； 点的坐标是，若点在第二象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 点的坐标是，若点在第三象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 点的坐标是，若点在第四象限，则有： ， 解①得， 解②得， 不等式组解集是，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点并正确地列出不等式组或方程是解题的关键． 2．（2021春•饶平县校级期末）若点在轴的下方，轴的左方，到轴的距离是3，到轴的距离是2．则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据点的位置确定点坐标即可． 【解答】解：点在轴的下方，到轴的距离是3， 点纵坐标为， 在轴的左方，到轴的距离是2， 点横坐标为， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是正确画出坐标系，再确定点位置． 3．（2006•宁波校级自主招生）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有　5　种． 【分析】质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，这样质点向正方向跳动4次，向负方向跳动一次．第几次是向负方向跳结果都相同，因而有5种运动方案． 【解答】解：共有如下方案： ①可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动4次； ②向正方向跳动1次，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动3次； ③向正方向跳动2次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动2； ④向正方向跳动3次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动1次； ⑤向正方向跳动4次后，再向负方向跳动1次． 质点不同的运动方案共有5种．故答案填：5． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解及动手操作能力，实际操作一下可很快得到答案． 4．（2017春•西城区期末）如图1，平面上两条直线，相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线的距离为，到直线的距离为，则称有序实数对为点的“距离坐标”，例如，图1中点的“距离坐标”为，点的“距离坐标”为． （1）如图2，点的“距离坐标”为　　，点的“距离坐标”为　　； （2）如图3，点，分别在直线，上，则，两个点中，“距离坐标”为的点是　　； （3）平面上“距离坐标”为的点有　　个，“距离坐标”为的点有　　个． 【分析】首先要了解，距离坐标的有序数对的构成方法，在此基础上要知道当点在某条直线上时，其对应直线上的距离坐标实际为0；同时，要通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上．此时，答案就比较容易得出． 【解答】解：（1）图形点到直线、的距离分别是1.6和2.5，点到直线、的距离分别是2.2和1.5． 故答案为：， （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线、的距离，所以，到直线、的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为： （3）代表点到直线、的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为5，、、、四点的“距离坐标”为． 故答案为：2，4 【点评】本题本质是研究点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． 5．（2009秋•永嘉县期末）如图，在直角坐标系中，设一动点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，则　50　． 【分析】经过观察分析可得每4个数的和为2，把100个数分为25组，即可得到相应结果． 【解答】解：； ； ； 原式． 【点评】解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． 6．如图，一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 　　． 【分析】由于一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点，那么点坐标为，再向正北走到达点，那么点坐标为，再向正西走到达点，那么点坐标为，然后依此类推即可求出点的坐标． 【解答】解：依题意得点坐标为， 点坐标为即， 点坐标为即， 点坐标为即， 点坐标为即， 点坐标为． 【点评】此题首先正确理解题意，然后由已知条件正确确定点的坐标位置是解决本题的关键． 7．（2017春•栾城区期末）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限． （1）若点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值； （2）若点到轴的距离小于到轴的距离，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题意不等式组即可得到结论． 【解答】解：（1）点在第四象限， ，， 点到轴的距离与到轴的距离相等， ， 解得：； （2）点到轴的距离小于到轴的距离， ， 解得：． 【点评】本题考查了点的坐标，平面直角坐标系，一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，是基础概念题． 二．坐标确定位置 8．根据指令，，，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离，现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对轴正方向． （1）若给机器人下了一个指令，，则机器人应移动到点　，　； （2）请你给机器人下一个指令　　，使其移到点． 【分析】先根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求点的纵坐标；同样也可根据坐标求出对应的旋转角和线段的长度再求坐标． 【解答】解：（1）根据题意可知，逆时针旋转60度，行走的距离是4，所以坐标为，； （2）要使其移到点，则需要逆时针旋转135度，行走的距离是，所以指令为，． 【点评】主要考查了用坐标确定点的位置．读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，运用勾股定理求点的坐标是解题的关键． 9．（2014•新泰市模拟）如图，已知，，，，，，，，，则点的坐标是　　． 【分析】根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：、、横坐标为0，纵坐标大1；、、横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，；、、横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，；点的坐标符合、、的规律，按此规律求得点的坐标． 【解答】解：根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：、、横坐标为0，纵坐标大1；、、横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，；、、横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，； 是3的倍数， 点的坐标符合、、的变化规律， 是3的670倍， 点的坐标应是横纵坐标依次扩大为的670倍， 则点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题的难点是得到所求点所在的象限；关键是得到该象限内点的横纵坐标的变化规律． 10．（2023春•凯里市校级期中）如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系． （1）以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置； （2）火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【分析】（1）结合图象利用各方向角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【解答】解：（1）保龙仓在图书馆南偏西方向上，且距离图书馆； 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）如图所示： 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 11．（2024春•沂水县期末）根据下列条件画一幅示意图，标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置． （1）从学校向东走，再向北走是工厂； （2）学校向西走，再向北走是体育馆； （3）从学校向南走，再向东走是百货商店． 【分析】要想在平面内确定某点位置，就要用有序数对来表示，因此，建立以学校为坐标原点的平面直角坐标系．标出标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置． 【解答】解：以学校为原点，以学校的正东方向为轴的正半轴，以学校的正北方向为的正半轴建立平面直角坐标系． 按照比例尺标出的学校、工厂、体育馆、百货商店的位置，如图所示． 【点评】本题考查的知识点为：1、在平面内确定某点位置，就要用有序数对来表示．2、建立平面直角坐标系及在上面描点的能力． 12．（2017春•禹州市期中）如图是某学校的平面示意图，在的正方形网格中，如果实验楼所在位置的坐标为． （1）请画出符合题意的平面直角坐标系； （2）在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置： 旗杆　　；校门　 　；图书馆　 　；教学楼　 　． 【分析】（1）实验楼向右2个单位，向上4个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系写出各位置的坐标即可． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示； （2）旗杆、校门、图书馆、教学楼， 故答案为：、、、． 【点评】本题考查了坐标位置的确定，比较简单确定出坐标原点的位置是解题的关键． 13．（2017春•东兰县期中）小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为，火车站的坐标为．写出体育场、文化宫、超市的坐标． 【分析】根据平面直角坐标系的定义和平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系， 则体育场的坐标为、文化馆的坐标为、超市的坐标为． 【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查，是基础题． 三．坐标与图形性质 14．（2023•薛城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点．已知，．点到原点的最大距离为　　 A．22 B．18 C．14 D．10 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，利用勾股定理求得，利用三角形两边之和大于第三边，可知当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值，结论可求． 【解答】解：取的中点，连接，，，如图， 为的中点，， ． ， ． 当，，三点不在一条直线上时，， 当，，三点在一条直线上时，， 当，，三点在一条直线上时，点到原点的最大距离为18． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值解答是解题的关键． 15．（2023春•天门期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】两种情况： （1）作垂直于点，得正方形，利用正方形的性质可得结论； （2）过作于，利用角平分线的性质与勾股定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： （1）如图，过作于， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， ，重合时，有， 点的坐标为； （2）2如图，过作于， ，， ， 又， ， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理可得： ，即：， 解得：， ， ， 此时， 综上所述：或， 故答案选：． 【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，还有斜边直角边公理，勾股定理的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 16．（2023春•樊城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点、点，，点为中点，则长度的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】取点，，连接，则是的中位线，则，求的最小值，即求出的最小值；由题意可知，点在以点为圆心，2为半径的圆上，连接与于点，此时最小，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，取点，，连接，则是的中位线，则， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上，连接交于点，点即为使最小的点． ，， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题主要考查几何最值问题，涉及直径所对的圆周角为，两点之间线段最短等相关知识，将的长度转化为的长度是解题关键． 17．（2024春•新市区校级期末）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线纵坐标相等解答可得． 【解答】解：轴， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键． 18．（2023春•虹口区期末）在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有　　个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】分别讨论当、和时三种情况下，坐标轴上有几个这样的点即可． 【解答】解：当时，以点为圆心、为半径画圆，与坐标轴分别交于点、、（不包括点． 当时，以点为圆心、为半径画圆，与坐标轴分别交于点、、（不包括点． 当时，点应该在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上． 综上，这样的点共有7个，分别是点、、、、、、． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 19．（2020秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为　　 A．， B． C．， D．， 【答案】 【分析】根据题目中给的坐标，可以求出、的直线解析式，交点坐标可以用表示出来，用两点之间距离公式，用配方法求出最值，相应的点坐标就能解出． 【解答】解：为线段的中点， 点坐标为，， ①当时，设直线解析式为， 将，，两点代入，解得， ， 设直线解析式为， 将代入到，解得， 联立，解得，， 点坐标为，， ，即当时，最短，，即，， ②当时，即，直线解析式为，由于在轴上， 故时，，即，，故当时，最短，此时，， 故选：． 【点评】本题考查了动点问题，利用数形结合思维解决问题，联立方程求出交点坐标，难点在于要分类讨论，注意的取值情况． 20．（2022秋•泗阳县期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度水平向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度竖直向上运动，过点作交于点，当线段的值最小时，则运动时间的值为 　　． 【答案】． 【分析】利用证明，从而证明，可知点在以的中点为圆心的圆周上，从而证明当点与和圆周的交点重合时线段值最小，再利用三角形相似求出此时点运动的距离，进而求解即可． 【解答】解：连接、． 根据题意，得． 点，点，点， ，． 在和中：，，． ， ． 又， ， ， ， 点在以的中点为圆心的圆周上． ． 连接．连接，交圆周于点． ． ， ， ， ， ， 当点位于点处，线段的值最小． 连接、，延长交轴于点，过点作轴于点． 当动点从点运动到点时，线段的值最小． 在和中：，， ， ， ， ， ，． ，， ， ， ， ， ， ． （秒． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形的性质．本题非常复杂，求出点在何处时线段最小是解答本题的关键． 21．（2019秋•徐汇区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点、在轴正半轴上，点在第一象限，，，，，在轴上找一点，使是直角三角形，则点的坐标是 　或　． 【答案】或． 【分析】分三种情形：①，②，③，利用相似三角形的性质，勾股定理，求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， 当时，过点作于，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，同法可得， 当时，设， 则有， 方程无解， 此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2022•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，．再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【解答】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，． 则，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别是，，是轴正半轴上的一个动点，过点作直线于点，直线与轴相交于点．若，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】易证是等腰直角三角形，从而可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【解答】解：，两点的坐标分别是，0，， ，． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ， 点的坐标为． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，能求出是解题的关键． 24．（2023春•宁江区期中）已知：点．点在过点，且与轴平行的直线上，求出点的坐标． 【分析】根据点在过点，且与轴平行的直线上，可得：点的纵坐标是2，据此求出的值是多少，即可求出点的坐标． 【解答】解：点．点在过点，且与轴平行的直线上， 点的纵坐标是2． ， 解得， ，， 的坐标是． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：点的纵坐标是2． 25．（2017春•矿区期中）已知：，，． （1）求的面积； （2）设点在坐标轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据图形的面积的和差计算即可． （2）分点在轴上和点在轴上两种情况讨论可得符合条件的点的坐标． 【解答】解：（1）； （2）点在坐标轴上，与的面积相等， 、、、． 【点评】本题考查了坐标与图形性质以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差． 26．（2022春•柘城县期末）已知点，点，点，轴，轴，在第二象限的角平分线上： （1）写出、、三点坐标； （2）求的面积； （3）若点为线段上动点，当面积大于12小于16时，求点横坐标取值范围． 【分析】（1）根据题意得出和的横坐标相同，和的纵坐标相同，得出，，由角平分线的性质得出的坐标； （2）求出，即可得出的面积； （3）设的坐标为，则的面积，根据题意得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）如图所示： 轴，轴， 和的横坐标相同，和的纵坐标相同， ，， 在第二象限的角平分线上， ； （2）， 的面积； （3）设的坐标为， 则的面积， 面积大于12小于16， ， 解得：； 即点横坐标取值范围为：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算、不等式的解法；熟练掌握坐标与图形性质，根据题意得出不等式是解决问题（3）的关键． 27．（2017春•高密市期末）如图，在平面直角坐标系中画出以下各点：，，，，顺次连接，，，，计算所得到的四边形的面积． 【分析】根据给出的点的坐标先描点，再把各个点顺次连接，由矩形面积减去两个小直角三角形的面积之差可得四边形的面积． 【解答】解：（本题满分11分） 、、、点位置如图所示． ． 说明：每描出一个点得（1分），共（4分）；计算面积得（7分）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了平面直角坐标系的建立，知道把不规则图形的面积分割成规则图形的面积进行求解是常用的方法． 28．（2020春•阳新县期末）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，且，满足，连接、． （1）如图1，若，点是直线上的一个动点，当最短时，求的值；点是线段上的一个动点，且满足于点，于点，求的值； （2）如图2，过点作直线轴，过点作直线与交于点，与轴交于点，、分别平分、，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）过作，垂足为，此时最短，利用三角形的面积公式可列方程求出的长，等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，两条垂线段之和等于一腰上的高，因此有； （2）过作，由角平分线的意义得，，而，进而得到． 【解答】解：（1）， ，， ，， ， ， 过作，垂足为，此时最短， ， ， 即：， ， ，，，， ， 答：当最短时，，； （2），，， ，， ， 过点作，则， ， ， ， ． 【点评】考查非负数的意义、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及角平分线的意义等知识，综合应用知识的能力较强，作辅助线将问题转化，利用已有的结论是解决问题的必要方法． 四．坐标与图形变化-平移 29．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是　　 A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6 【答案】 【分析】如图，过点作交于，交于，连接．想办法求出的长即可． 【解答】解：如图，过点作交于，交于，连接． ，， ， ， ． ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，， ， 解得， ， 将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合， ， 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题． 30．（2024春•武汉期末）已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为　　 A．4 B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据点及点平移后的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，再根据点由同样的平移方式由点平移得到即可解决问题． 【解答】解：因为点经过平移后的对应点是， 所以，． 因为点也经过这样的平移后对应点是， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$