解析几何面积问题专项训练 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

解析几何面积问题专项训练 解析几何面积问题专项训练 1．（23-24高二上·广东省实验中学深圳学校、深圳外国语·期末）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由直线过点且倾斜角为，得直线的方程为， 由消去并整理得，易知， 设，则， 于是， 所以面积为. . 2．（23-24高二上·广东省高州市·期末）已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意得， ∴椭圆C的标准方程为； （2）   直线l的倾斜角为45°，可得斜率，左焦点为，l的方程为， 直线与椭圆联立， 显然， 设，， ， O到的距离， 的面积为． 3．（23-24高二上·广州华师附中·期末）已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线． (1)求曲线的方程； (2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）连接，由线段的垂直平分线和半径相交于点，得，而圆的半径为， 则， 因此曲线是以为左右焦点，长轴长的椭圆，显然焦距，则， 所以曲线的方程是. （2）设直线的方程为，，则， 由消去得，显然，则， 于是的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 4．（23-24高二上·深圳实验中学·期末）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1， 椭圆必不过，所以过三点，将代入椭圆方程得 ，解得，， ∴椭圆的方程为：； （2）① 依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称， 必有，不合题意，所以直线斜率必不为0， 设其方程为，与椭圆联立， 整理得：， 所以， 且因为点是椭圆上一点， 即，设直线的斜率为， 所以， 所以，即， 因为 ， 所以， 此时， 故直线恒过定点； ②由①得， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 所以的最大值为． 5．（23-24高三上·华师附中、深圳中学、广东省实验中学、广雅中学·期末）已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为8. (1)求的方程； (2)设点，求面积的表达式（用表示）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 在椭圆中， 的周长，解得， 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 则， 故的方程为. （2）由题意及（1）证明如下， 在中， 由几何知识得，直线和直线的斜率不为零， 设直线和直线的方程为, 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理得 因为，所以， 可得即； 同理可得， 可得即， 不妨设， 由， 又 则 把代入上式得， . 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. (1)求的方程； (2)当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，椭圆过点，且，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知，可设直线为，且， 联立整理得，， 所以，， 的周长为， 设内切圆的半径为，则，所以， 又，所以， 要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大， 而，所以， 令，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即，， 当时等号成立.此时，所以， 所以直线的方程为. 7．（23-24高二上·深圳市罗湖区·期末）已知椭圆的短轴长，离心率为． (1)求C的标准方程： (2)过点的直线与C交于P，Q两点，P关于x轴对称的点为R，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，解得， 所以C的标准方程为． （2） 由题意直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 联立消去y得，， 则，又， 所以，， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 8．（23-24高二上·广州市铁一中学、广州外国语中学、广大附中·期末）已知椭圆的左顶点和右顶点分别为和，椭圆的离心率为并且与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若,分别为上两点（不与,重合），若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，得，则， 所以椭圆方程可变为，由， 得，由， 解得，所以， 故椭圆的方程为：； （2）由（1）知， 易知直线MN的斜率不为0，设其方程为， 则，，两式相减得， 整理得，即，又， 所以，则， 又， 所以， 即①， ，消元得， ，， 代入①式，得， 所以，整理得，解得， 即直线MN恒过定点，且， 所以， 故的面积为， 令，则，， 则， 又函数在上单调递增，由，得， 则，即的面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何面积问题专项训练 解析几何面积问题专项训练 1．（23-24高二上·广东省实验中学深圳学校、深圳外国语·期末）已知椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积. 2．（23-24高二上·广东省高州市·期末）已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积． 3．（23-24高二上·广州华师附中·期末）已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线． (1)求曲线的方程； (2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值． 4．（23-24高二上·深圳实验中学·期末）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 5．（23-24高三上·华师附中、深圳中学、广东省实验中学、广雅中学·期末）已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为8. (1)求的方程； (2)设点，求面积的表达式（用表示）. 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，. (1)求的方程； (2)当的内切圆面积取得最大值时，求的方程. 7．（23-24高二上·深圳市罗湖区·期末）已知椭圆的短轴长，离心率为． (1)求C的标准方程： (2)过点的直线与C交于P，Q两点，P关于x轴对称的点为R，求面积的最大值． 8．（23-24高二上·广州市铁一中学、广州外国语中学、广大附中·期末）已知椭圆的左顶点和右顶点分别为和，椭圆的离心率为并且与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若,分别为上两点（不与,重合），若，求面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$