7.3.1 离散型随机变量的均值同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.1　离散型随机变量的均值 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]若随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 则E(X)=(　　) A.0 B.-1 C.- D.- 2.[探究点一]若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的均值E(X)=(　　) A.2 B.2或 C. D.1 3.[探究点二·2024江苏高二专题练习]若随机变量Z的分布列为 Z 1 2 3 P 0.5 x y 且E(Z)=,则xy=(　　) A. B. C. D. 4.[探究点二]若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=(　　) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 5.[探究点三]今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为(　　) A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22 6.[探究点一·2024湖南衡阳高二期中]一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则E(X)=(　　) A.2 B.3 C. D. 7.[探究点一]某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192例 8例 则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　　.  8.[探究点二]离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=　　　　　,b=　　　　　.  9.[探究点三]为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据: 处罚金额x/元 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少? (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于20元的概率; ②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值. B级 必备知识基础练 10.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是(　　) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元 11.[2024广西高二期末]A与B两人进行热身赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设A在每局中获胜的概率为,B在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,比赛停止时已打局数为ξ,则E(ξ)=(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是 ξ -1 0 2 P cos α 其中α∈0,,则下列表述正确的是(　　) A.+cos α=1 B.cos α= C.E(ξ)=1 D.sin α= 13.李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如表: X 1 2 3 P ! ? ! 请小王同学计算X的均值,尽管“?”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同.据此,小王给出了正确答案E(X)=　　　　　.  14.[2024天津和平一模]某单位组织“学习强国”知识竞赛,竞赛共有10道题目,随机抽取3道让参赛者回答,规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛员甲只能答对其中的6道,那么甲抽到能答对题目数X的数学期望为　　　;甲能通过初试的概率为　　　.  15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值. 16.[苏教版教材例题]在一个人数很多的地区普查某种疾病,由以往经验知道,该地区居民得此病的概率为0.1%.现有1 000人去验血,给出下面两种化验方法. 方法1:对1 000人逐一进行化验. 方法2:将1 000人分为100组,每组10人.对于每个组,先将10人的血各取出部分,并混合在一起进行一次化验,如果结果呈阴性,那么可断定这10人均无此疾病;如果结果呈阳性,那么再逐一化验. 试问:哪种方法较好? C级 学科素养创新练 17.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值. 参考答案 1.C　E(X)=-1+0+1=-=-故选C. 2.C　由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去). 所以E(X)=0+1 3.C　根据题意,可得解得所以xy=故选C. 4.A　由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A. 5.B　当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015; 当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22; 当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765. 所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75. 6.C　由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4, 且P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)= 因此X的分布列为 X 2 3 4 P 则E(X)=2+3+4故选C. 7.4 760　由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760. 8　0　易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ① 又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1, 即10a+4b=1, ② 由①②,得a=,b=0. 9.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是 (2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)= ②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为 X 5 10 15 20 25 30 35 P 故E(X)=5+10+15+20+25+30+35=20. 10.B　出海的期望效益为5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元). 11.B　由题意得,随机变量ξ的可能取值是2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为2+2= 若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中各得1分, 所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=2=, 所以E(ξ)=2+4+6故选B. 12.ABC　对于A,由随机变量的分布列的性质, 得+cos α=1; 对于B,由+cos α=1,得sin α+2cos α=2, 联立得5cos2α-8cos α+3=0, 解得cos α=或cos α=1(舍去); 对于D,因为α∈0,,则sin α=; 对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2=1. 13.2　设“!”为x,“?”为y,则2x+y=1. E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2. 14　由题意,X的可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以E(X)=0+1+2+3 甲能通过初试的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= 15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)= 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1+2+3=2. 16.解 第1种方法的化验次数为1 000. 第2种方法:如果某组的混合血液化验结果呈阴性,就可以断定这10人均无此疾病,那么对这10人只化验1次; 如果结果呈阳性,那么必须对这10人再逐一化验,这时共需进行11次化验.因为对所有人来说,化验结果呈阳性的概率均为0.001,而且这些人的化验结果是相互独立的,所以每个人的化验次数X的概率分布如下表所示. X 1 11 P (1-0.001)10 1-(1-0.001)10 因为每个人化验次数X的均值为 E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以1 000人的化验次数的均值为1 000×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}=1 100-1 000×0.99910≈110. 因此,方法2远好于方法1. 17.解记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”. 由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与与F,都相互独立. (1)记H=“至少有一种新产品研发成功”,则,于是P()=P()P()=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1- (2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220. 因为P(X=0)=P()=, P(X=100)=P(F)=, P(X=120)=P(E)=, P(X=220)=P(EF)=, 故X的分布列为 X 0 100 120 220 P 均值E(X)=0+100+120+220=140. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$