4.4探索三角形相似的条件 第1课时 利用角的关系判定三角形相似 教学设计 2024—2025学年北师大版数学 九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 探索三角形相似的条件 (第 1 课时) 教科书 书 名：义务教育教科书 ·数学 (九年级上册) 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1.经历两个三角形相似条件的探索过程，增强学生发现问题、提出问题的意识，进一步体会 类比、分类、归纳等思想方法，发展学生探究、交流、合作，合情推理能力和初步逻辑推 理意识。 2.初步掌握相似三角形定义、性质及判定定理 1，并会运用他们解决简单的证明和计算，发 展应用意识。 教学重难点 教学重点： 掌握相似三角形的判定定理 1. 教学难点： 能熟练运用相似三角形的判定定理 1 解决简单的证明和计算. 教学过程 一、新课导入 【复习回顾 引出新课】 问题 1：相似多边形的定义是什么？ 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形． 问题 2：你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？ 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 学科网（北京）股份有限公司 如图， (1)在△ABC 和△DEF 中， ∠A＝∠D, ∠B＝ ∠E, ∠C＝ ∠F， = = . △ABC∽△DEF. 3. 问题 3：根据相似三角形的定义判定两个三角形相似需要哪些条件？ 4. 问题 4：能否像判定三角形全等那样，利用尽可能少的条件判定三角形相似呢？ 类比猜想 二、合作探究 【探究一】 猜想 1：如果两个三角形只有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？能举例说 明吗？ 一角对应相等的两个三角形不一定相似. 【探究二】 猜想 2：如果两个三角形有两个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 两个人合作，分别画△ABC 和△A′B′C′，使得∠A 和∠A′都等于∠α， ∠B 和∠B′都 等于∠β， 思考： (1)此时， ∠C 与∠C′相等吗？ (2)测量所画三角形的三条边，看看 = = 是否相等？ (3)你们画的三角形相似吗？ 改变∠α， ∠β的大小，再试一试． 利用几何画板再探究一下. 通过以上动手操作和几何画板演示，我们可以得到 三角形相似的判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言： ∵ ∠A=∠D ， ∠B=∠E, ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 三、典例精析 【随堂练习】 1．判断题： (1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似． ( √ ) (2) 所有的直角三角形都相似． ( × ) (3)有一个角相等的两个等腰三角形相似． ( × ) 因为这组相等的角没有说明是等腰三角形中的底角还是顶角，所以应该分类讨论。 1. 如果这组相等的角都是等腰三角形的顶角，那么在两个三角形中，除了∠D=∠D`，还有底 角∠E=∠E′= ,可以根据两角分别相等的两个三角形相似判定两个三角形相似。 2. 如果这组相等的角都是等腰三角形的顶角， 在两个三角形中， ∠B=∠B′ ， ∠A＝∠A′=180°-2 α,也可以根据两角分别相等的两个三角 形相似来判定。 3. 如果这组相等的角一个是等腰三角形的底角，一个是等腰三角形的顶角， 那么这两个三角形中只有一组角对应相等。其他两个角不一定相等，所以两个三角形不一定 相似。 (4)顶角相等的两个等腰三角形相似． ( √ ) 2.如图, D, E 分别是△ABC 的边 AB, AC 上的点，DE∥BC (1) 图中有哪些相等的角？ ∠ADE=∠B ， ∠AED=∠C. (2) 找出图中的相似三角形，并说明理由。 △ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). (3) 写出三组成比例线段。 AD AE DE AB = AC = BC . 变式 1：如图， D、E 分别是△ABC 的边 BA、CA 延长线上的点，DE∥BC (1) 图中有哪些相等的角？ ∠DAE=∠BAC ， ∠D=∠B ， ∠E=∠C (2) 找出图中的相似三角形，并说明理由。 △ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). 注意：有平行，找相似. 3.下列图形加上什么条件可以使两个三角形相似？ 相似三角形的基本型式如上。 四、发散探究 如图，过△ABC (∠C＞∠B) 的边 AB 上一点 D 作一条直线与三角形另一边相交，使得截出 的小三角形与△ABC 相似，这样的直线有几条？请把他们一一作出。 五、【课堂小结】 通过今天的学习，你有什么收获？ 数学思想：类比，从特殊到一般再从一般到特殊， 数学思想方法：分类讨论思想方法 六、课后检测 1.如图， ∠1=∠2=∠3 ，求证： △ABC ∽△ADE． 证明： ∵ ∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C= 180°－∠2－∠DOC ， ∠E= 180°－∠3－∠AOE， ∠DOC=∠AOE (对顶角相等)， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB， 垂足为 D. 求 AD 的长. 解： ∵ ED⊥AB ， ∴ ∠EDA=90 ° . 又∠C=90 ° ， ∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. AD AE = ∴ AC AB . ( AC × A E 8 ´ 5 )∴ AD= = =4. AB 10 $$