1.1 菱形的性质 教学设计 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 菱形的性质 教科书 书 名：义务教育科教书数学教材 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1.探究并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进展简单的推理和运算. 2.在观察、操作、推理、归纳等探究过程中,开展学生合情推理的才能,进一步让学生养 成用数学知识说理的习惯,并要求学生能纯熟地按标准的推理格式书写. 3.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形 的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培 养学生主动探究、 自主学习和合作交流的意识. 教学重难点 教学重点： 1. 菱形的性质定理的探究和运用。 教学难点： 1.菱形的性质定理的理解及灵活运用。 教学过程 学科网（北京）股份有限公司 一、出示学习目标 (1)通过生活情境抽象出菱形的概念，发展几何直观. (2)类比平行四边形的研究方法，通过动手操作、演绎推理得到菱形的性质，会用 菱形性质解决问题，发展推理能力. (3) 经历菱形的性质的探究过程，积累几何图形研究的基本活动经验，体会研究 几何图形的一般方法。 二、创设情境，导入新知 2022 年 10 月 28 日，习近平总书记来到河南省林州市红旗渠纪念馆考察，红 旗渠精神是一面永不退色的伟大旗帜，历久弥新。为了促进红色精神传承，学校 开展了“追寻红色足迹，传承民族精神”的团课学习活动。 图片中框出的图形是你熟悉的吗？这些图形和平行四边形又有怎样的不同 呢？本节课我们将学习一种特殊的平行四边形——菱形。类比平行四边形的学习 路径，我们也将从定义、性质、判定、应用这几方面展开研究菱形。 【设计意图】从实际生活中抽象出数学模型，让学生体会生活中处处都有数学， 通过图片的展示与变化，回顾前面学过的知识平行四边形，另一方面引出本节课 的课题——菱形。 三、合作交流，探究新知 探究活动一：菱形的定义 [教师]请同学们观看动画，并思考，如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 内角大小保持不变，仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形 叫什么呢? [学生]菱形 总结菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？ 看 ！ 生活中的晾衣架，建筑物的装饰图形，造型独特的餐盘，红火喜庆的 中国结等菱形在我们生活中无处不在。 探究活动二： 动手操作，探究性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样 的性质吗？ 平行四边形性质 边 对边平行且相等 角 邻角互补，对角相等 对角线 互相平分 对称性 中心对称图形 除 此 之外，菱形还有哪些特殊的性质呢？ 请同学们按下暂停键，用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题： ①菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置 关系？ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴 互相垂直。 ②结合手中的折纸得到的菱形 ABCD，找出图中相等的线段。 菱形四条边都相等 (设计意图：通过折纸这一过程，引导学生发现菱形的对称性，即菱形不只是中 心对称图形，还是轴对称图形，在操作过程中验证菱形的特殊性质，鼓励学生通 过多种方法验证发现的结论.) 通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们对菱形的性 质进行证明。 探究活动三： 演绎推理，证明性质 ( A ) ( C )B ( O ) D 图 1-1 已知：如图 1-1，在菱形 ABCD 中，AB=AD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：(1) AB=BC=CD=AD；(2) AC⊥BD. 师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的 四条边都相等了。 ②因为菱形是平行四边形，所以点O 是对角线 AC 与 BD 中点；又因为在菱 形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。 学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关 定理。 证明：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = CD， AD= BC (菱形的对边相等) . 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD (2) ∵AB=AD ∴△ABD 是等腰三角形 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴OB=OD (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即 AC⊥BD 经历了我们的共同努力，获得了菱形的性质定理，下面我 们来看一下它的符号语言。 符号语言： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD 小结：通过观察、猜想、动手操作、演绎推理证明我们得到了菱形是特殊的平行 四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有本身的特殊性质. 菱形性质 边 对边平行且相等 四条边相等 角 邻角互补，对角相等 对角线 互相平分 互相垂直，且每条对角线平分一组对角 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形 【设计意图】本节课的难点就在这一环节上，在这一环节中，大胆的放手， 给学生足够的时间和空间，让他们小组合作，各抒己见，互相补充，集大家智慧， 分析图形，使学生能从边、角、角平分线方面得到结论。在这一环节中，使学生 养成善于观察，勤于探索，精于思考的好习惯，学生自己经过讨论发现的特征更 易于理解记忆。 教师：通过刚才的演绎推理证明，我们已经学习了菱形的特殊性质，下面 我们利用这些性质来解决一些问题。 三、应用性质，解决问题 1、例 1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。 B A O C D 师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是 60° ，这样就可以得到等 边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是 6。 ②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分， 可以得到 OB=3，根据勾股定理就可以求出 OA 的长度；再一次根据菱形的对角线 互相平分,即 AC=2OA,求出 AC。 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等) AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直) 1 1 OB=OD= 2 BD = 2 ×6 =3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵ ∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形 ∴AB=BD=6 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2 OA = AB2 - OB2 = 62 - 32 = 3 AC=2OA=6 四、迁移应用，巩固提高 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 已知 AB=5cm，AO=4cm 求 BD 的长. 师生共析：从图中可以知道 AC 与 BD 互相垂直，可以构成直角△AOB，因为 AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出 OB；又因为菱形的对角线互相平 分，BD 为 OB 的两倍，这样就可以很方便的求出 BD 的数值了。 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直) 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 AO2+BO2=AB2 ∴ BO = AB2 - AO2 = 52 - 42 = 3 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴BD=2BO=2×3=6 (菱形的对角线互相平分) 所以，BD 的长是 6cm. 五、课堂小结，深化提升 自我评价 五、课后作业 必做作业： 习题 1.1 知识技能 1、2、3 选做作业 数学理解 4 最后祝愿同学们少年不负“菱”云志， 曾许天下第一流！ $$