6.1反比例函数 教学设计 2024—2025学年北师大版数学 九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 反比例函数 教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册教材 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1. 经历从现实情境中抽象出反比例函数概念的过程，初步理解反比例函数所反映的变量之间 的关系，进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型. 2. 结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学重难点 教学重点： 经历从实际问题中抽象出反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念. 教学难点： 领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学过程 环节一：提出问题，导入新课 植树节，学校组织学生在学校集合步行至距离学校 6k㠰的滨江公园植树，在这个过程中 产生了一些问题，让我们从数学的角度思考这些问题. 问题 1:如果同学们步行的平均速度是 5k㠰/ℎ ，则步行的路程s (k㠰)与步行时间t(ℎ)之间 的关系式为 ? 问题 2:如果同学们步行的平均速度是 5k㠰/ℎ ，则距离植树地点的路程s (k㠰)与步行时间 t(h)之间的关系式为 ? 追问 1:这两个表达式大家熟悉吗？是什么函数？ 问题 3:如果计划植树 600 棵，共有x名同学参加，平均每人植树y棵，y与x之间的关系式 为 ? 问题 4:公园里一个矩形花坛的面积为 24㠰2 ,那么花坛的长b(㠰)与宽a(㠰)之间的关系式 为 ？ 这两个表达式的形式相同，但不同于一次函数，我们再来看一个类似的例子. 学科网（北京）股份有限公司 问题 5:欧姆定律： 电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U = IR.当U = 220V时，电流I与 电阻R之间的关系式为 ？ (1)利用写出的关系式完成表格： (直观感受两个变量之间的对应关系) R/Ω 20 40 60 80 100 ... I/A (2)当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ (感受反比例关系) (3)变量I是变量R的函数吗？ 追问2:从这节课开始我们要研究一类新的函数——反比例函数，请同学们回忆八年级上 册我们研究一次函数是从哪几个方面进行的？我们研究反比例函数应该从哪些方面进行呢？ (这一章，我们首先研究反比例函数的概念，其次研究它的图象和性质，最后研究它的应用， 本节课我们先来研究反比例函数的概念.) 设计意图：从学生身边的生活实际出发，选择植树活动为背景，精心设计问题串，既复 习了正比例函数、一次函数，与原有的知识建立了联系，又为下面的学习打下伏笔，同时又 使学生意识到还有其他形式的函数关系，激发学生继续学习的兴趣和求知欲望.初中阶段我们 研究函数的基本思路都是先研究函数的概念，然后研究函数的图像和性质，最后是函数在实 际生活中的应用，追问 2 的设置一方面起到了知识的导入作用，另一方面运用类比的思想渗 透了研究基本初等函数的基本方法为今后研究其它函数给出了思维方向.通过填表及对问题 的思考感受两个变量之间的变化与对应关系，函数的概念突出的是变化与对应，即明确两点:1 明确两变量间的相互联系，一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化;2 函数定义的核心 是“对应”，即函数与自变量之间是单值对应关系，给定一个自变量的值就有唯一确定的函数 值与它对应，表格可以很好地反映这两点，也有利于学生对反比例函数本质特征的认识，为 下面归纳抽象反比例函数概念做好铺垫 环节二：合作交流，抽象概念 问题 6:在上述问题中得到的三个表达式 y = ，b = ,I = ,它们有什么共同的特 点？ (学生先独立思考，再合作交流，此环节让学生思维充分展开，观察、比较、抽象出本质 特征.) 1.引导学生归纳总结共同特点. (1)每个表达式中都有 2 个变量，1 个常数; (2)表达式右边是分式形式，其中分子是常数. 想一想 这个常数可以为负数吗？ 例如 y = 3 ，给定一个 x 的值，都有唯一的y 与之对应，所以这是一个函数，其次 x，y 的成绩为−3 ，是常数，所以常数可以为负数. 2.由特例抽象概括定义. 一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 y = (k为常数，且k ≠ 0)的形式， 那么称y是x 的反比例函数. 强调：一是x，k均不能为零;二是可以写成xy = k(k ≠ 0)和y = kx− 1 (k ≠ 0)的等价形式. 设计意图：此环节关注了概念的形成过程.学生运用从具体到抽象，特殊到一般的思维方 式，通过观察、分析、讨论、归纳三个表达式的共同特点，经历抽象得出反比例函数概念的 过程，理解反比例函数的概念. 环节三：即时训练，层层深入 下面让我们根据反比例函数的概念来慧眼识真. 例 1 下列关系式中，y是x 的反比例函数吗？如果是，k是多少？ (1) y = ; (2)y = ; (3)y = 3x− 1 ; (4)y = 3 − x ; (5)xy = 2 ; (6)y = − . 练习 1 若 y = 1 㠰 是反比例函数，则㠰应满足的条件是 . 例 2 某村有耕地 346.2 hm2，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m (hm2/人)是全村人口数 n 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 练习 2 写出题中的函数关系式，并指出函数的类别. 设三角形的底边、对应高、面积分别为 a , h , S. ( − 2 ) ( − 1 )当 a = 10 时，S 与 h 之间的关系式为 ，是 函数； 当 S = 18 时，a 与 h 之间的关系式为 ，是 函数. 例 3 y是x 的反比例函数，下表给出了x与y的一些值. x − 1 y 2 3 2 ( − 4 ) (1)求这个反比例函数的表达式; (2)根据函数表达式完成上表. 练习 3 已知变量y与x成反比例，且当x = 2 时，y = − 6. (1)求y关于X 的函数表达式; (2)当y = 2 时，求X 的值. 设计意图：数学概念形成之后，通过具体例子说明概念的内涵认识概念的“原型”，引导 学生利用概念解决数学问题.本环节设计了两道例题和两道练习:例 1 和练习 1 巩固反比例函 数概念，区分反比例函数与其它函数的不同之处;例 2 和练习 2 让学生进一步感受反比例函数 是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型，巩固反比例函数的意义，渗透函数建模的数 学思想;例 3 和练习 3 让学生初步体会函数三种表示方法中表格法和函数表达式的转化过程， 初步感知用待定系数法确定反比例函数关系式. 环节五：感悟收获，布置作业 小结:同学们能用数学的眼光看待世界，非常棒.本节课的研究思路是什么呢？ 1.反比例函数的概念; 2.本节课用到的思想方法有:特殊到一般、类比、归纳. 作业: (从 ABC 三个作业内容里任选至少 2 个完成) A. 完成教材 P150 习题 6. 1 中的 1—4 题; B. 举出两个反比例函数的实例，并写出函数表达式; C.在 AB 作业中选取一个反比例函数的表达式，尝试用描点法画出图像，猜想性质. 设计意图：引导学生梳理本节课在知识和思想方法方面的收获，提升对数学思想方法的 理性认识，培养学生课堂小结能力和表达能力.通过作业布置巩固反比例函数的概念，让学生 查询生活中反比例函数的问题，有利于学生进一步体会数学来源于生活，应用于生活. $$