1.2 矩形的性质与判定 (第一课时) 教学设计 - 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 1.2 矩形的性质与判定 (第一课时) 教科书 书 名：数学 出版社：北京师范大学出版社 教学背景分析 教材分析 本节是北师大版数学九年级上册第一章《特殊平行四边形》 中第二节《矩形的性质与判定》 第 1 课时，属于义务教育阶段数学课程中的“图形与几何”范围，是在学生学习了三角形、平行 四边形、菱形的性质与判定的基础上对特殊平行四边形的再认识.矩形是一种特殊的平行四边 形，在生活中有着广泛的应用.通过矩形性质的探索与推导过程，突出“一般化到特殊化”的 研究方法，进一步发展学生的合情推理能力与演绎推理能力，对培养学生转化、类比的数学思 想以及分析、归纳等能力起着重要的作用，同时也为后面正方形的学习提供知识、方法的支 持，为进一步研究其他图形奠定基础. 学情分析 学生在小学阶段接触过矩形 (长方形) ，对这个图形有直观感和基本认知，但将平行四边 形与矩形关联起来的学习意识不明显.在前面学生学习了平行四边形、菱形的性质与判定等相 关内容，积累了一定的几何图形的学习经验，具备一定的独立思考和探究的能力.在利用矩形 性质解决问题时的表述是否清楚仍需要关注和加强. 教学目标 课标要求： 理解矩形的概念以及它与平行四边形的关系；探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个 角都是直角，矩形的对角线相等. 根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： (1) 理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. (2) 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决相关问题. (3) 探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 学科网（北京）股份有限公司 教学重难点 教学重点 (1) 经历观察、猜测、证明的过程，理解并掌握矩形的概念和性质. (2) 在探究矩形性质的过程中渗透研究几何图形的方法和研究几何问题的全过程. 教学难点 灵活运用矩形的性质解决问题. 教法与学法 教法：针对本节课的特点，通过图片引导学生得到矩形概念，初步猜想矩形的性质，再 利用学生活动，经历探索、推理得到矩形的性质.同步设计矩形性质的应用题块，以达到巩固 和运用矩形性质解决问题的目的.最后布置能力提升题单，反馈学生对本节知识的掌握情况. 学法：采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，培养学生的“动手”、“动脑”、 “动口”的学习习惯和能力. 教学评价 评价 1 ：用自己的语言描述矩形的特点，说出矩形与平行四边形的关系. 评价 2 ：准确说出矩形的性质并进行推导证明. 评价 3 ：独立思考，完成练习题训练. 教学过程 一、新课引入 1.下面图片中都含有一些特殊的平行四边形，请同学们观察这些特殊的平行四边形，你 能发现它们有什么样的共同特征？ ( 定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ) 2.复习平行四边形的性质内容，类比平行四边形的研究办法探究矩形的性质. 平行四边形 边 角 对角线 对称性 对边相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称 图形 矩形 ？ [设计意图] 展示学生熟悉的矩形图片，让学生感受到矩形在我们的生活中无处不在. 再通过复习平行四边形性质的探究过程，引导学生思考研究矩形性质的步骤有哪些？从而激 发学生探究学习矩形知识的欲望，同时为后面探究矩形的性质做好铺垫. 二、探索矩形的性质 环节 1 (探索矩形的对称性) 活动：请同学们选择一张矩形纸片对折，类比平行四边形的对 称性，看看矩形还可以具备哪些对称性呢？ 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形. [设计意图] 引导学生利用对折矩形纸片的活动，发现矩形具有轴对称图形的性质，再 结合平行四边形的中心对称性归纳出矩形具有的对称性. 环节 2 (观察与猜想) 矩形具有平行四边形的所有性质外，你能看出矩形还有哪些特 殊性质吗？ 1.学生列举出在矩形 ABCD 中边、角、对角线、对称性的性质. 2.猜想特殊性质：矩形的四个角是直角，矩形的对角线相等. [设计意图] 学生能通过任意矩形描述矩形的边、角、对角线、对称性具有的性质，同 时引导学生继续观察矩形，猜想矩形还有哪些特殊性质？为后面探索矩形的性质作铺垫. 环节 3 (推理证明) 命题 1：矩形的四个角都是直角. 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形, ∠B=90°. 求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明： (1) ∵四边形 ABCD 是矩形, ∠B=90°, ∴ ∠B=∠D=90°, ∠A=∠C (矩形的对角相等) . ( 定理：矩形的四个角都是直角 ． ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ A= ∠ B= ∠ C =∠ D= 90 °. )AB∥DC (矩形的对边平行) . ∴ ∠B+∠C=180°. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 命题 2：矩形的对角线相等. 已知：如图,四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证： AC=BD. 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD(矩形的对边相等) . 在△ABC 和△DCB 中,AB=CD, ∠ABC=∠DCB,BC=CB, ( 定 理：矩形的对角线相等. ∵ 四边形 ABCD 是 矩形， )∴ △ABC≌△DCB (SAS). ∴ AC=BD. ∴AC = BD. [设计意图] 类比平行四边形、菱形性质的探究过程，从边、角、对角线的角度进行思 考、探索并归纳得出矩形特有的性质.培养发展学生的合情推理意识，训练学生规范写出推 理过程，发展演绎推理能力，突出本节课的学习重点. 环节 4 (探究矩形中的三角形) 思考：请同学们继续观察矩形图片，找一找矩形中还出现了哪些特殊三角形呢？ 结论：矩形中还可以找到等腰三角形、全等三角形、直角三角形. [设计意图] 利用矩形的性质，引导学生学会将矩形知识与三角形知识联系起来，可以 将矩形的问题转化成三角形来解决，渗透化归的数学思想，为灵活运用所学知识解决问题做 好数学思想和方法上的准备. 三、探索其他性质 环节 1 (观察、猜想) 在前面学习中,利用平行四边形的知识证明得到了三角形的中位线定理.类似地，利用矩 形我们还能发现直角三角形的其他性质. 活动：矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E ，那么BE 是 Rt△ABC 的一条怎样的特殊线段？它与 AC 有什么大小关系？ 猜想结论：BE 是Rt△ABC 的中线， BE = AC . [设计意图] 在理解矩形性质的基础上,引导学生继续探索其他图形的性质,潜移默化的 培养学生观察、实验、猜想等合情推理的能力.这是一个“猜想——验证”的数学认知过程， 这样得到的结论自然而不是强加给学生的,也为学生以后分析问题，解决问题提供了一种方 法，能潜移默化的培养学生分析问题,解决问题的能力，是数学育人的体现，也渗透了“整 体——局部”的研究几何图形的方法,促进后续学习方法的迁移. 环节 2(推理证明) 已知：如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ，BE 是斜边 AC 边上的中线 . 求证： BE = AC . 证明：延长 BE 至点 D ，使得 ED=BE. 连接 AD ，CD . ∵BE 是 Rt△ABC 中 AC 边上的中线， ∴ EA = EC . 在四边形 ABCD 中，EA=EC，EB=ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 在平行四边形 ABCD 中， ∠ABC=90° ， ∴平行四边形 ABCD 是矩形，AC=BD. ∴ BE = BD = AC . (直角三角形)性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ，BE 是 AC 边上的中线. 则 BE = AC [设计意图] 引导学生思考如何运用四边形知识来解决三角形问题，培养学生用数学的 意识.尝试先让学生完成，教师从旁辅助. 环节 3 (例题详解) 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O， ∠AOD＝120° ，AB＝2.5 ，求这个矩形对角线的长． 解： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD ，OA＝ AC，OB＝ BD． ∴OA＝OB ， △AOB 是等腰三角形.又∠AOD＝120°， ∴ ∠AOB＝180°－∠AOD＝60°. ∴△AOB 是等边三角形. ∴OA＝AB＝2.5， ∴AC＝BD＝2AB=5 ，即矩形对角线长为 5． [设计意图] 利用矩形的对角线互相平分且相等可将矩形分割出等腰三角形，特殊情况 下还可以分割成等边三角形.通过将四边形问题转化成三角形问题，帮助学生更加灵活地解 决矩形相关的问题，提供更简明和直观的解决方案. 四、课堂小结 1.谈谈这节课的收获？梳理探索矩形性质的过程经历了哪些阶段？ 矩形 边 角 对角线 对称性 观察 猜想 推理证明 2.利用矩形找到直角三角形的性质过程中，你学会了那种数学思想？ 转化、分类讨论、一般到特殊 [设计意图] 通过提出有针对性的问题梳理本节所学内容，让零散的知识形成知识体系， 对本课重点知识进行回顾，帮助学生掌握获得矩形性质的探索步骤和证明方法，引导学生利 用“观察——猜想——推理证明”的步骤去探索其他的几何图形性质. 五、家庭作业 1.必做题 教材 P13-14 习题 1.4 第 1 、 2 、 3 题； 2.提升训练练习单 [设计意图]通过布置作业了解学生对本节课知识以及解题方法的掌握情况，以便及时优 化教师教学策略，针对学生完成情况安排好查缺补漏内容. 板书设计 §1.2 矩形的性质与判定 (1) 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2. 性质: 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.研究几何图形的步骤：观察——猜想——推理证明. 4. 四边形问题 三角形问题 (转化、分类… … ) 知识应用：...... $$