九年级上册 1.2 矩形的性质与判定(3)-【宝典训练】2023-2024学年九年级上下册数学高效课堂(北师大版)

莹典训练 数学·九年级·全册(北师大版) 1.2 矩形的性质与判定(3) 知识导引 矩形的性质和判定的综合应用 运用矩形的性质可以证明线段相等或线段之间的倍分关系,以及直线的位置关系、角的等量关 系,常常与直角三角形的有关知识综合运用 自主学习反馈 5.已知下列命题中:(1)矩形是轴对称图形,且有 两条对称轴:(2)两条对角线相等的四边形是 一、选择题 矩形;(3)有两个角相等的平行四边形是矩形; 1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 () (4)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩 形,其中正确的有 A.两组对边分别相等 ) C.2个 A.4个 B.3个 D.1个 B.两条对角线互相平分 二、填空题 C.两条对角线互相垂直 6.如图,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折 D.两条对角线相等 叠,若AB-4cm,AE-3cm,则重叠部分(即 2.下列说法错误的是 _ A.有一个角是直角的四边形是矩形 △BDE)的面积是 B.矩形的对角线相等 C.矩形的对角线互相平分 D.有一个角是直角的平行四边形是矩形 3.已知矩形的两条对角线所夹锐角为44{*,那么 (第6题图) (第7题图) 对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( ) 7.如图所示将矩形ABCD沿直线AE折叠(点E在 A.22*,68{ 边CD上),折叠后顶点D恰好落在边BC上的点 B.440,66* F处,若AD-5.AB-4.则EC的长是_. C.24^{,66” 8.在矩形纸片ABCD中,AD三4cm:AB D.40{*,50 10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合; 4.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一 折痕为EF,则DE一 cm. 点,过点P作EF/BC,分别交AB,CD于点 __....__:B E.F,连接PB,PD.若AE-2,PF-8.则图中 阴影部分的面积为 A.10 B.12 C (第8题围) (第9题图) C.16 D.18 9.如图,在矩形ABCD中,BC一20cm,点P和 点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向 第一章 特殊平行四边形 沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度 13.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,CE s后,四 分别为3cm/s和2cm/s,则最快 /BD,EB//AC,连接OE,交BC于点F. 边形ABPQ成为矩形. (1)求证:OE-CB: 10.如图,在△ABC中. (2)如果OC:0B=1:2,0E=25,求萎形 BC-8,AC-6,AB= ABCD的面积. 10.它们的中点分别 。 是点D,E,F,则CF 的长为__. 三、解答题 11.(2022春·雨花区校级期末)如图,菱形 ABCD中的对角线AC,BD相交于点O,BE //AC,CE//BD.求证:四边形OBEC是 矩形. 12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别 是BAC和 BAC的外角的平分线,BE _AE. 求证:(1)DA AE 课堂能力提升 (2)AC-DE 14.如图,在直角三角形ABC中,/ACB=90^{ AC=3,BC=4,点M是边AB上一点(不与 点A,B重合),作ME1AC于点E,MF 1BC 于点F,若点P是EF的中点,则CP的最小 值是 () A.1.2 _# B.1.5 C.2.4 D.2.5高效爆堂宝典训练数学九年城全册（北师大版） .AE=CE=AF=CF.∴四边形AECF是菱形： :AD=2,.AB=3AD=6. (2)解：如答图，连接EF交AC于点O, 课堂能力提升 在R△ABC中，∠BAC= 13.A14.60 90°. 1.2矩形的性质与判定(2) ∠B=30°，BC=10, 知识导引 ÷AC=BC=5. 答图 1,矩形2.相等直角 自主学习反馈 AB3AC-5/3. 一、选择题 四边形AECF是菱形，∴.AC⊥EF,OA=OC 1.D2.B3.B4.C5.C6.A OE是△ABC的中位线 二、填空题 0E=AB=号点，EF=20E=5瓦 7,∠ABC=90或AD⊥AB(答案不唯一)8.12 三、解答题 9.证明：，平行四边形ABCD, 13.1)证明：四边形ABCD为平行四边形， .BC=AD=8.AB=6,AC=10. .AB=DC,AB∥CD ∴AC=AB+BC.∴.∠ABC■90 .∠OEB=∠ODC .平行四边形ABCD是矩形. O为BC的中点， 10.证明：：四边形ABDE是平行四边形，.BD∥AE .B0=C0. (即AE∥CD),BD=AE.又BD=CD,.AE=CD 在△BOE和△COD中， ∴.四边形ADCE是平行四边形. ∠OEB=∠ODC, 在△ABC中，AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC ∠BOE=∠C(D, ∴.∠ADC=90.∴.☐ADCE是矩形. BO=CO. 11.证明：在△ABC中，∠ACB=90, .△BOE2△COD(AAS)..OE=OD. D是边AB的中点，AD=CD-A6. .四边形BECD是平行四边形. :DE是∠ADC的平分线，DE⊥AC (2)90 又：BC⊥AC,∴.DE∥FC. 课堂能力提升 同理DF∥EC,,四边形FDEC是平行四边形 14.4815.7.8 :∠ACB=90',∴平行四边形DECF是矩形. 1.2矩形的性质与判定(1) 课堂能力提升 知识导引 12.213.25 1.一个直角2.相等两条3.一半 1.2矩形的性质与判定(3) 自主学习反馈 自主学习反馈 一、选择题 一、选择题 1.C2.B3.A4.C5.A6.D 1.D2.A3.A4.C5.C 二、填空题 二、填空题 7.5或18.29.26 6.10cm7.1.58.5.89.410.5 三、解答题 三、解答题 10.证明：，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O, 11,证明：：菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .OA=OC=OB=OD. .AC⊥BD.BE∥AC,CE∥BD, :AE1BD,DF⊥AC,∴∠AEO=∠DFO=90. .∠BOC-∠OCE-∠OBE-90,.四边形(OBEC是矩形. I∠AEO=∠DF, 12.证明：I):AD平分∠BAC,∠BAD号∠BAC 在△AOE和△OF中.∠AOE=∠DOF, LAO-DO. 又：AE平分∠BAF,.∠BAE=号∠BAR ,△AOE≌△DOF(AAS),.AE=DF. :∠BAC+∠BAF=180°， 11.证明：，AF⊥DE,∠AFD=90° 在矩形ABCD中，AD∥BC,∠C=90. ·∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)=90 ∴.∠ADF=∠DEC. 即∠DAE=90,放DA⊥AE: .∠AFD=∠C=90.AD=DE,∴△ADF≌△DEC (2),AB=AC,AD平分∠BMC,.AD⊥BC,故∠ADB=90. .AF=DC.DC=AB...AB=AF. 'BE⊥AE,DA⊥AE,∴.∠AEB=90',∠DAE=90', 12.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O, 故四边形AEBD是矩形.，AB=DE. .OA-OB-OC=OD."AE-CF..OE=OF. 又，AB=AC,∴AC=DE .四边形BEDF是平行四边形 13.(1)证明：CE∥BD.EB∥AC (2)解：由(1)可知：OA=OB, ,四边形(OBEC为平行四边形 ∠A0B=120..∠DBA=30 :四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD..∠BOC=90. 2 参考普宋 四边形OBEC为矩形.∴.OE=CB. 1.A2.B3.C4.C5.D6.D (2)解：设OC=r,则OB-2x,.BC=√OC+OB-√5x 二、填空题 :BC=OE=25,.x=2. 7.AB=BC(答案不唯一)8.∠BAD=90(答案不唯一) 六0=2.0B=4.∴Sm=号AC.BD=20C0B=16 9.AC=BD或AB⊥BC(答案不难一) 10.∠BAD=90或AC=BD 课堂能力提升 三、解答题 14.A 11,证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(一-2,0)， 1.3正方形的性质与判定(1) B(0,-2),C(2,0),D(0,2).可知OA=OB=0C=0D=2, 知识导引 ∴四边形ABCD为矩形. 1,相等直角 又：AC⊥BD,.四边形ABCD是正方形 2.(1)直角相等(2)相等垂直平分 12.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ADE=90. (3)①四②两条对角线 ·∠ABF+∠AFB=90,AELBF, 自主学习反馈 .∠DAE+∠AFB=90°.∴∠ABF=∠DAE. 一、选择题 I∠ABF=∠DAE, 1.B2.B3.C4.A5.D6.B7.C 在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠ADE=90°， 二、填空题 BF=AE, 8.492.510.2d-a+2 '.△ABF≌△DAE(AAS)..AB=AD .矩形ABCD是正方形 三、解答题 课堂能力提升 11.证明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC= 13.(1)证明：，EG垂直平分BD,,EB ED,GB=GD,BF=DF. 90°， ∴∠EBD=∠EDB.'∠EBD=∠DBC, DQ=CP,∴.AD-DQ=CD-CP.∴.AQ=DP. .∠EDF=∠GBF .△ABQ2△DAP(SAS)..∠DAP=∠ABQ ∠EDF=∠GBF, ,∠DAP+∠BAP=90, 在△EFD和△GFB中，∠EFD=∠GFB. .∠ABQ+∠BAP=90..BQ⊥AP DF=BF. 12.解：(1)种草坪的面积是(2一4)m: .△EFD≌△GFB (2)当a=84,b=8时.种草坪的面积是42一46=(a十2b)(a (2)四边形EBGD是菱形 2b)=(84+2×8)(84-2×8)=100×68=6800(m), 理由：由(I)可知△EFD≌△GFB,.ED=BG. 所以种这块草坪共需投资5×6800=34000（元）. ,BE=ED■DG=GB.,四边形EBGD是菱形. 13.(1)证明：四边形ABCD是正方形 (3)∠ABC=90 .AB=CB.∠ABC=90°. 1.3正方形的性质与判定(3)】 ”△EBF是等腰直角三角形， 自主学习反馈 其中∠EBF=9O°，∴.BE=BF, 一、选择题 ∴.∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF, 1.D2.B3.A4.D5.B ∴.∠ABF=∠CBE. 二、填空题 AB=CB. 6.AB=BC(答案不唯一)7.88.5 在△ABF和△CBE中，∠ABF=∠CBE, 三、解答题 BF=BE. 9.证明：四边形ABCD是正方形，.∠FDC=∠DCF=45 .△ABF≌△CBE(SAS). :∠E=90°，ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=45. (2)解：△CEF是直角三角形.理由如下： .∠FCE=∠FDE=∠E=90..四边形DFCE是矩形. :△EBF是等腰直角三角形.∴∠BFE=∠FEB=45. ,DE=CE,∴四边形DFCE是正方形. ∴.∠AFB=180-∠BFE=135°. 10.证明：如答图，连接AC交BD于O, 又△ABF≌△CBE.∠CEB=∠AFB=135 :AB⊥BC, ∴.∠CEF=∠CEB-∠FEB=135-45=B0 .∠ABC=90°， ∴.△CEF是直角三角形. :四边形ABCD是平行四边形， 课堂能力提升 .四边形ABCD是矩形， 14.g :四边形AECF是一个菱形， 1.3正方形的性质与判定(2) AC⊥EF, 知识导引 .ACBD. 1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角 ,矩形ABCD是正方形， 2.(1)一组邻边相等(2)互相垂直 即平行四边形ABCD是正方形 (3)一个角是直角(4)菱形矩形(5)互相垂直平分且相等 11.证明：(1)四边形ABCD是正方形 自主学习反馈 .∠BAD=90,AC平分∠BAD. 一、选择题 'PM⊥AD.PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90 3