2.2 基本不等式（第1课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式 第一课时 基本不等式 2.2 基本不等式 1.基本不等式的概念 重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立. 特别地，如果a>0,b>0，我们用分别代替上式中的a,b，可得 当且仅当a=b时，等号成立. 通常把上式称为基本不等式. 其中，叫做正数的算术平均数. 叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 概念归纳 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 例1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 课本例题 5 口诀简记 一正、 二定、 三相等 1.利用基本不等式求最值的步骤 概念归纳 1.A、B必须为正数 2.（1）在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值 2.（2）在A·B为定值时，便可以知道A+B的最大值 3.当且仅当A、B相等时，等式成立.即 解： 练一练 解： 练一练 例2.已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积xy有最大值. 证明：因为x，y都是正数，所以. （1）当积xy等于定值P时，，所以. 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值. 课本例题 9 上题的内容称为最值定理，即 （1）当时，，， 当且仅当时等号成立. （2）当时，，， 当且仅当时等号成立. 2. 基本不等式的使用条件 和定积最大，积定和最小. 10 【例1】 若0<a<1,0<b<1,且a≠b.试比较出a+b,a2+b2, , 2ab中的最大者. 解:∵0<a<1,0<b<1,a≠b, ∴a+b> ,a2+b2>2ab, ∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0, ∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大. 典例剖析 探究一 利用基本不等式比较代数式的大小 1.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥ 成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b; a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b. 2.本题在比较a+b与a2+b2的大小时使用了作差法. 概念归纳 1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　) ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0, ∴b>a2+b2,∴b最大. 练一练 B 典例剖析 探究二 用基本不等式求简单的最值 练一练 练一练 典例剖析 探究三 利用基本不等式证明不等式 练一练 练一练 1.此题多次使用 ,要注意等号能否成立,最后利用不等式性质累加的应用,此时也要注意等号成立的条件. 2.在解决不能直接利用基本不等式证明的问题时,要重新组合,构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为1,要注意“1”的代换. 3.培养逻辑推理素养与数学运算素养. 概念归纳 随堂练 D 2.设a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是(　　) A.ab≤1 B.ab≥1 C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4 随堂练 A 3.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为　　　　　.  20 随堂练 4.已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为　　　　　; 如果a+b=1,那么ab的最大值为　　　　　.  随堂练 2 随堂练 课本练习 课本练习 课本练习 课本练习 5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小? 最小值是多少? 课本练习 忽视基本不等式成立的条件致错 提示:上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误. 错因分析 ∴函数值的取值范围为y≥2. 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 错因分析 1.由于 中x的取值范围为x>0或x<0, 故要对x的符号加以讨论,否则不能用基本不等式. 2.培养逻辑推理素养和数学运算素养. 错因分析 下列各式能用基本不等式直接求得最值的是(　　) 解析:选项A,B,D都不一定满足是正数, 只有C满足基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”. C 错因分析 分层练习-基础 AB 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 ABD 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 B B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 C 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 5 10 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.基本不等式的应用 新知探究 例1.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （1）由已知得. 由，可得， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时， 所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ （2）由已知得，矩形菜园的面积为. 由，可得， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时， 菜园的面积最大，最大面积是. 44 例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m， 水池的总造价为z元. 根据题意，有 . 由容积为，可得， 因此. 课本例题 45 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 所以，当时，上式等号成立， 此时. 所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低， 最低总造价是297600元. 课本例题 46 典例剖析 探究一 利用基本不等式求最值 典例剖析 概念归纳 1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行, 若具备这些条件,则可直接运用基本不等式, 若不具备这些条件,则应进行适当的变形. 2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 具体可归纳为三句话: 一不正,用其相反数,改变不等号方向; 二不定,应凑出定和或定积; 三不等,一般用函数的图象或性质. 练一练 典例剖析 探究二 两个变量的最值问题 分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,也可使用“1”的代换尝试解决. 练一练 练一练 概念归纳 1.本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形. 2.常见的变形技巧有: (1)配凑系数; (2)变符号; (3)拆补项. 常见形式有 型和y=ax(b-ax)型. 典例剖析 探究三 基本不等式的实际应用 【例3】 围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (1)将y表示为x的函数; (2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 典例剖析 概念归纳 应用基本不等式解决实际问题的方法一般分四步: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2)构造相应的函数解析式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 练一练 因此,当x=15时,y取最小值2 000,即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层. 练一练 随堂练 A C 随堂练 随堂练 大 -1 随堂练 随堂练 故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时， 菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2． 当且仅当a＝2b＝15时取等号． 则由题意得a＋2b＝30，所以 ， 1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m． 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 课本练习 则由题意得2ab＝32，即ab＝16． 当且仅当a＝b＝4时取等号． 即当底面的长和宽均为4时，用纸最少． 所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋ ＝64 ， 2.做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 解：设底面的长为a，宽为b， 课本练习 则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18． 所以要求侧面积最大，即求ab的最大值， 因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ， 故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 由基本不等式得： ，当且仅当a＝b＝9时取等号． 3.已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 解：设矩形的长为a，宽为b， 课本练习 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正? 你如何防范? 错因分析 忽视基本不等式求最值的条件致错 错因分析 1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成错误. 2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值. 3.培养逻辑推理素养和数学运算素养. 错因分析 练一练 C 分层练习-基础 A C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 A B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 B B 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 ABC 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4 分层练习-基础 2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 56 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2 2 2 A. B.b C.2ab D.a2+b2 解析:∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>0,∴,∴a2+b2>. 【例2】 (1)已知x>0,求x+的最小值; (2)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值. 解:(1)∵x>0, ∴由基本不等式可得x+≥2=6, 当且仅当x=,即x=3时,等号成立,因此所求的最小值为6. (2)∵m,n>0,且m+n=16, ∴由基本不等式可得mn≤=64, 当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64. ∴mn的最大值为32. 1.本例(1)条件不变,求+3x的最小值. 解:∵x>0,∴+3x≥2=12, 当且仅当3x=,即x=2时,“=”成立. ∴所求的最小值为12. 2.本例(2)把“m+n=16”改为“mn=16”,其他条件不变,求m+n的 最小值. 解:∵m,n>0,且mn=16, ∴由基本不等式可得m+n≥2=8, 当且仅当m=n=4时,m+n取到最小值8. ∴m+n的最小值为8. 证明:∵a,b,c,均大于0, ∴+b≥2=2a,当且仅当=b时,等号成立; +c≥2=2b,当且仅当=c时,等号成立; +a≥2=2c,当且仅当=a时,等号成立. 相加得+b++c++a≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时,取等号. ∴≥a+b+c. 【例3】 已知a,b,c>0,求证:≥a+b+c. 1.本例条件不变,求证:≥a+b+c. 证明:∵a,b,c均大于0,∴也都大于0. ∴≥2c,≥2a,≥2b, 三式相加得2≥2(a+b+c), 即≥a+b+c, 当且仅当a=b=c时,取等号. 2.本例添加条件“a+b+c=1”,其他条件不变,求证:≥8. 证明:因为a+b+c=1,a>0,b>0,c>0, 所以-1=-1=>0, -1=-1=>0, -1=-1=>0, 将以上三式相乘得 ≥=8, 当且仅当a=b=c时,取等号, 即≥8. a+b≥2 1.下列不等式中,正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C. D.x2+≥2 解析:当a<0时,a+≥4不成立,故A错; 当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B错; 当a=1,b=4时,,故C错; 由基本不等式可知D项正确. 解析:由已知得ab≤=1, 而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2, 故只有A正确. 解析:x+y≥2=20,当且仅当x=y=10时,取“=”. 解析:∵a>0,b>0,∴, ∴a+b≥2=2. 故当ab=1时,a+b的最小值为2, 此时a=b=1. 又当a+b=1时,,∴ab≤. 故当a=b=时,ab的最大值为. 5.已知a,b,c为互不相等的正实数,且abc=1. 求证:. 证明:∵≥2=2≥2=2≥2=2, ∴2≥2(), 即. ∵a,b,c互不相等, ∴. 错解:∵x+≥2=2, 1.求函数y=x+的函数值的取值范围. 正解:当x>0时,x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=1时,“=”成立,故y≥2. 当x<0时,x+=-≤ -2=-2, 当且仅当-x=,即x=-1时,“=”成立. 这时y≤-2. 故函数值的取值范围为y≥2或y≤-2. y=x+ A.x+ B.x2-1+ C. D.x(1-x) 一、选择题(每小题5分，共35分)　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　 1．【多选题】下面四个结论中，正确的是(　　) A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2|ab| B．n∈N*时，n＋eq \f(2,n)>2eq \r(2) C．x≠0时，x＋eq \f(1,x)≥2 D．若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值为2eq \r(a) 2．【多选题】下面四个推导过程中正确的是(　　) A．∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2 B．∵x，y为负实数，∴x＋y≤－2eq \r(xy) C．∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4 D．∵x，y∈R，xy<0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))]≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2 3．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>b B．b>eq \r(ab)>eq \f(a＋b,2)>a C．b>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab)>a D．b>a>eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab) 4．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋eq \f(4,x) B．y＝2t＋eq \f(1,t) C．y＝4t＋eq \f(1,t)(t>0) D．y＝t＋eq \f(1,t) 6．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 5．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．1≤ab≤eq \f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq \f(a2＋b2,2) C．ab<eq \f(a2＋b2,2) D.eq \f(a2＋b2,2)<ab<1 7．不等式eq \f(9,x－2)＋x≥8(其中x>2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 10．【双空题】若x≠0，则y＝2－3x2－eq \f(12,x2)的最大值是________；取得最值时x的值是________． 二、填空题(每小题5分，共15分) 8．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,y)的最小值为________． 9．已知x，y均为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 解:(1)∵x<,∴5-4x>0, ∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. 【例1】 (1)已知x<,求y=4x-2+的最大值; (2)已知0<x<,求y=x(1-2x)的最大值; (3)已知x>0,求y=的最大值. (2)∵0<x<,∴1-2x>0, ∴y=×2x(1-2x)≤ =. 当且仅当2x=1-2x,即x=时,ymax=. (3)y=. ∵x>0,∴x+≥2=2, ∴y≤=1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,ymax=1. (1)已知x>3,求y=x+的最小值; (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值. 解:(1)∵x>3,∴x-3>0,>0, ∴y=x+=x-3++3≥2+3=7, 当且仅当x-3=,即x=5时,y取到最小值7. (2)∵x>0,y>0,2x+3y=6, ∴xy=(2x·3y)≤=, 当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足=1,求x+2y的最小值. 解:∵x>0,y>0,=1, ∴x+2y=(x+2y)=10+ ≥10+2=18, 当且仅当时,等号成立, ∴当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足x+2y,求=1的最小值. 解:∵x>0,y>0,x+2y=1, ∴=(x+2y) =8++2 =10+≥10+2=18, 当且仅当时,取等号. 结合x+2y=1,得x=,y=. ∴当x=,y=时,取到最小值18. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足=1,求2x+3y的最小值. 解:2x+3y=1·(2x+3y) =(2x+3y)=2++18 ≥2+2+18=2+12+18=32, 当且仅当y=2x,且=1时,取等号, 即x=4,y=8时取等号,故2x+3y的最小值为32. y=ax+ 解:(1)设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 由已知得xa=360,得a=, 故y=225x+-360(x>0). (2)∵x>0, ∴225x+≥2=10 800. ∴y=225x+-360≥10 440. 当且仅当225x=时,等号成立. 即当x=24时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元. = 解:设楼房每平方米的平均综合费用为y元, 则y=(560+48x)+ =560+48x+(x≥10,x∈N*). 所以y=560+48x+≥560+2=2 000, 当且仅当48x=,即x=15时,等号成立. 1.若x>0,则函数y=-x-(　　) A.有最大值-2 B.有最小值-2 C.有最大值2 D.有最小值2 解析:∵x>0,∴x+≥2.∴-x-≤-2. 当且仅当x=1时,等号成立,故函数y=-x-有最大值-2. 2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是(　　) A. B.4 C. D.5 解析:∵a+b=2, ∴y=+2≥+2, 当且仅当,且a+b=2时,取“=”. 3.若0<x<,则函数y=2x(1-3x)的最大值为　　　　　.  解析:∵0<x<,∴1-3x>0, ∴y=2x(1-3x)=·3x(1-3x)≤, 当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立. ∴当x=时,函数取最大值. 4.若a<1,则a+有最　　　　　值,为　　　　　.  解析:∵a<1,∴a-1<0, ∴-=(1-a)+≥2, ∴a-1+≤-2,∴a+≤-1. 5.一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B 市.已知两地路线长为400 km,为了安全,两列货车的间距不得 小于 km(货车长度忽略不计),那么这批货物全部运到B 市最快需要多少小时? 解:这批货物从A市全部运到B市的时间至少为 t=≥2=8(h), 等号成立的条件是, 即v=100. 故这批货物全部运到B市最快需要8 h. 【典例】 设x,y为正数,求(x+y)的最小值. 错解:因为x,y为正数, 所以x+y≥2≥2, 即, 从而(x+y)≥2=8. 提示:在x+y≥2中等号成立的条件为x=y, 在中等号成立的条件为, 即y=4x,要使两个等号同时成立,必有x=y=0,这与题设矛盾. 正解:(x+y)=1+4·+4=5+≥5+2=9, 当且仅当4·,即y=2x时等号成立. 所以(x+y)的最小值为9. 已知x,y>0,且x+y=1,则p=x++y+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:x++y+=3+≥3+2=5.故选C. 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是(　　) A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5 一、选择题(每小题5分，共35分)　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　 1．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 4．已知eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．2 C．3 D．4 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<eq \r(ab) B．v＝eq \r(ab) C.eq \r(ab)<v<eq \f(a＋b,2) D．v＝eq \f(a＋b,2) 5．已知x，y是正数，且xy＝4，则eq \f(y,\r(x))＋eq \f(x,\r(y))取得最小值时，x的值是(　　) A．1 B．2 C．2eq \r(2) D.eq \r(2) 6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝eq \f(a＋b,2) B．x≤eq \f(a＋b,2) C．x>eq \f(a＋b,2) D．x≥eq \f(a＋b,2) 7．【多选题】已知a>0，b>0，则下列四个不等式中正确的是(　　) A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．a＋eq \f(1,a＋4)≥－2 9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药品后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大． 二、填空题(每小题5分，共15分) 8．已知正数a，b满足eq \f(9,a)＋eq \f(1,b)＝3，则ab的最小值为________． 10.如右图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2. 三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 11．(10分)(1)已知a，b，c∈R，求证： a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8. $$