基本不等式应用专项训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式应用专项训练 考向一 基本不等式应用专项训练 1．（23-24高一上·广州市育才中学·期中）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完． (1)求该企业投资生产这批新型机器的年收入万元 (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（注意单位的统一） (3)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润． 2．（23-24高一上·广州市番禺南村一中·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 3．（23-24高一上·广州市南沙一中·期中）某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． (1)求k的值； (2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； (3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 4．（23-24高一上·广州市执信中学·期中）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍. (1)若，问学校该怎样选择； (2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值. 5．（23-24高一上·广州市九十七中·期中）年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 (2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 6．（23-24高一上·广州市八十六中·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 7．（23-24高一上·广州市真光中学·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 8．（23-24高一上·广州市广雅中学·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 9．（23-24高一上·广州市八十九中·期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点到点的距离； (2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 10．（23-24高一上·广州市培英中学·期中）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=） (2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$基本不等式应用专项训练 考向一 基本不等式应用专项训练 1．（23-24高一上·广州市育才中学·期中）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完． (1)求该企业投资生产这批新型机器的年收入万元 (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（注意单位的统一） (3)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)； (3)年产量为40百台时利润最大，最大利润为2800万元． 【详解】（1）由题意； （2）， 时，， 时，， ∴； （3）时，， 时，， 时， ， 当且仅当，即时等号成立， ，所以时利润最大，最大利润为2800万元． 2．（23-24高一上·广州市番禺南村一中·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 3．（23-24高一上·广州市南沙一中·期中）某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． (1)求k的值； (2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； (3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】(1) (2) (3)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【详解】（1）由已知，当时，， ∴，解得：， （2）由（1）知， 故 ， 化简得：． （3）， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 4．（23-24高一上·广州市执信中学·期中）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍. (1)若，问学校该怎样选择； (2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值. 【答案】(1)选择乙工程队进行建造. (2) 【详解】（1）解：设甲工程队的总造价为元， 因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米， 可得底面长方形的另一边长为米， 则甲工程队的总造价为：， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以（元）， 当时，设乙工程队的总造价为元， 则， 因为函数在上为单调递减函数，所以（元）， 由，所以学校选择乙工程队进行建造. （2）解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元）， 若乙工程队确保自己被选中，则满足， 又由乙工程队的造价为， 由（1）知，当时，， 由，解得，因为，所以， 所以实数的最大值为. 5．（23-24高一上·广州市九十七中·期中）年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式 (2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【详解】（1）当时， ， 当时，， ； （2）若，， 当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 6．（23-24高一上·广州市八十六中·期中）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)长度为4米时，报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 7．（23-24高一上·广州市真光中学·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)900cm (2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少 【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm， 所以阴影部分的面积，所以， 又，故， 由图可知cm，cm. 海报纸的周长为cm. 故海报纸的周长为900 cm. （2）由（1）知，，， ， 当且仅当，即cm，cm时等号成立， 此时，cm，cm. 故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少. 8．（23-24高一上·广州市广雅中学·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 9．（23-24高一上·广州市八十九中·期中）由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点到点的距离； (2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】(1)； (2)当时，面积取最小值. 【详解】（1）连接，在中，因为，，， 所以，由余弦定理得，， 所以，即点到点的距离为. （2）由， ， ， 化简得，当且仅当， 即时取等号，， 故当时，三角形面积最小，最小值为. 10．（23-24高一上·广州市培英中学·期中）某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=） (2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？. 【答案】(1)80吨，该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态 (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为 当且仅当，即时， 每吨厨余垃圾的平均加工成本最低， 因为， 所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. （2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为， 因为， 所以当吨时，企业获得最大利润，为850元. 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为， 因为， 所以当吨时，企业获得最大利润，为1800元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元； 选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1800元； 所以选择方案二进行补贴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$