精品解析：四川省乐山市2024届第三次调查研究考试文科数学试题

而学科网组卷网 机密★启用前 乐山市高中2024届第三次调查研究考试 文科数学 (本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟) [考试时间：2024年5月7日下午3：00一5：00 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知集合A={-1,0,1,B={1,2,C={xx0a+b,a∈A,b∈B,则集合C的元素个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可 【详解】由题意知，a∈{-1,0,1}，b∈{L,2}, 当a∈{-1,0,1}，b=1时，a+b∈{0,1,2}， 当a∈{-1,0,1}，b=2时，a+b∈{1,2,3}， 所以C={0,1,2,3}, 所以集合C中的元素个数为4. 故选：C 2.若复数z满足(1-i)z=(1+),z是z的共轭复数，则z的虚部为() A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 第1页/共22页 耐学科网 可组卷网 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可 【详解】依题意z 1+i1+01+i1_21=i. 1-i(1-i)1+i)2 所以z=-i, z的虚部为-1. 故选：B 3.为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查， 己知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满 意的人数分别为( 满意率% 90- 年级 二年级 600人 70- 400人 60- 三年级 1000人 一年级二年级三年级年级 图1 图2 A.800,360 B.600,108 C.800,108 D.600,360 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合 二年级学生的满意率求解 【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为400+600+1000=2000人， 所以样本容量为2000×30%=600人， 因为抽取的二年级学生人数为600×30%=180人， 所以抽取的二年级学生中满意的人数为180×60%=108人. 故选：B 4.已知tana=- 4,且a为第二象限角，则cosa=() A、4 3 D. 5 5 c.一5 3-5 第2页/共22页 可学科网 丽组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解 【相们因为aa=},所以sna。 -cosa, 4 3 又sin2a+cos2a=1,所以(-cosa)2+cos2a=1, 成以cosa,又a为第二象限角，所以cosa三 5 故选：A 3设双曲线C: 看a>0:服C+的心率分别为e,9,若g=2e,90 A② B.V2 8 4 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值 .x2 【详解】由椭圆C:4+广=1，可得a,=2,6=1 3 所以c2=V4-1=V5,所以椭圆的离心率e,= 2 又e,=2V3e,所以双曲线的离心率为e=3, 又双曲线C:兰-少=1a>0,所以c=后+， 所以V0+1-3,解得a=2 a 4 故选：B 6.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为() 第3页/共22页 可学科网可组卷网 1 A.20 B.24 C.28 D.32 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，再求出表面积即可得解 【详解】原三视图对应的几何体是棱长为2的正方体，挖去角上一个棱长为1的正方体，如图， 该多面体的表面积为6×22=24 故选：B 7.在区间-5,10上任取一个整数m,则使函数f(x)=x2-2mx-2m存在两个不同零点的概率为() 16 1 3 15 B. D. 16 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用△=(-2m)2-4×1×(-2m)>0,可求有两个零点的m的范围，进而可求概率， 【详解】因为函数f(x)=x2-2mx-2m存在两个不同零点， 所以f(x=x2-2mx-2m=0有两个不同的根， 所以△=(-2m)2-4×1×(-2m)>0,解得m<-2或m>0, 第4项/共22页 命学科网组卷网 在区间-5,10上任取一个整数m,共有16种取法， 能使使函数f(x)=x2-2mx-2m存在两个不同零点的取法有13种， 所以使函数f(x)=x2-2mx-2m存在两个不同零点的概率为16 13 故选：C 8.已知f(x)=(x-3)coswx,若存在常数a∈R,使得f(x+a)为奇函数，则o的可能值为() A君 B. cπ D.π 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得 【详解】函数f(x)=(x-3)coS@X的定义域为R,由f(x+a)为奇函数， 得f(x+a)=(x+a-3)cos(ox+oa)是奇函数， 则必有函数y=(x+a-3)是偶函数，函数y=c0s(ox+oa)是奇函数， 此时a=3,0a=T+k,k∈Z, 2 因此0=+红，k∈Z,当k=0时，0= 63 6 不存在整数k,使得O值为BCD, 当a=3,0=无时，f(x+3)=xcos(x+)=x2sinx是奇函数 6 6 6 故选：A 9.在ABC中，点D是AC边上靠近点C的三等分点，若∠ABD=90°，AB=L,BC=V7,则SABC= () A.5 3 B. c35 D 9 4 4 4 【答案】C 【解析】 所设CD=a,由勾股定理求出BD,由余弦定理求出a可符SD'再由SAc)SA0可名 案 第5页/共22页 可学科网可组卷网 【详解】设CD=a,则AD=2a, BD=AD2-AB2=4a2-1, 由余弦定理得BD、 BD2+CD2-BC2 AD 2BD.CD V4a2-14a2-1+a2-7 ,解得a=1,BD=V3, 2a 2aV4a2-1 所以AD=2CD,SD-)AB×BD=5 2 3 3V3 S△ABC= 4 故选：C B D 10.若a=log32,b=log43,c=e2,则a,b,c的大小关系是() A.b<c<a B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【答案】D 【解析】 【分析】利用放缩法可得a>),b> 八号，c<,利用作商比铰法可得ag2g4)g2+1g4汀， 2 1g23 而可得a<b,可得结论 【m】a-e,2>g,5-号6ag3>-号ce< 所以则a>c,b>c, 又4-log,2_lg2lg4 [)g2+1g4_1g28,lg29_41g =1 b l0g43 1g23 1g23 41g2341g2341g23 所以a<b,所以c<a<b. 故选：D. 第6页/共22页 学科网丽组卷网 11.在三棱柱ABC-AB,C中，点D在棱BB,上，且BB=3BD,点M在棱A,C,上，且M为A,C,的中 点，点N在直线BB,上，若MN∥平面ADC,,则 NB=() NB A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的 性质即可求解 【详解】依题意，作出图形如图所示 M B 设P为AA的中点， 因为M为A,C,的中点， 所以MP/AC 又MP平面ADC,AC,C平面ADC, 所以MP//平面ADC1, 过点P作PN/AD,交BB,于N,则易知PN/平面ADC, 又因为MP∩PN=P,MPc平面PMW,PNc平面PMN, 所以平面PMN//平面ADC, 又MNc平面PMN, 所以MN//平面ADC, 因为AP/IDN, 所以四边形APND为平行四边形， 第7页/共22页 可学科网 丽组卷网 所以AP=DN=2AM= BB, 因为BB=3BD, 所以NB=DB+DN=BB,+)BB=BB, 1 1 3 2 6 5 1 NB BB-BB =-BB, 6 6 所以NB-68 =5 NB BB 6 故选：D 【点睛】关键点点晴：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形APD为 平行四边形即可 12.已知圆0：x2+y2=16,点E是1：2x-y+16=0上的动点，过E作圆0的切线，切点分别为A,B, 直线AB与EO交于点M,则OM的最大值为() A.2 B.√5 C.6 D.√万 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值 即可求解 【详解】由题意作出图形如图所示 VA 设M(x,y),E(x',y,由△AOE∽△M0A,可得 OAOM IOE OA' 所以10E1=1043.16 16 OMIIOME+,即0E2+/OM1,聊oE=/ 0M, x2+y2 第8页/共22页 学科网组卷网 所以=，川 16 16x16y x+yx+ x'= 16x x2+y2 所以 16y y'= x2+y2 所以点E 16x16y） x+yx+y 将点E的坐标代入直线1：2x-y+16=0中， 5-4 (x,y不同时为0)， 所以点M的轨迹是以 为圆心， 5为半径的圆， 2 所以OM的最大值为 故选：B 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分 13.已知向量a=(1,1),b=（-2,入)，c=(-1,-2),若a+b1c,则实数元的值是 【答案】-号#-05 3 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及两向量垂直的条件即可求解。 【详解】因为a=(1,1),b=-2,2), 所以a+b=-1,1+2) 又因为a+b⊥c,c=(-l,-2), 所以(-刂×-刂+1+元)×-2)=0，解得元=- 所以实数入的值是- 故答案为：一2 第9页/共22页 可学科网 命组卷网 x≥0 14.若关于x,y的不等式组{x-y≤0表示的平面区域是等腰直角三角形，则k的值为 kx-y+1≥0 【答案】0或-1 【解析】 【分析】如图，分类讨论，当直线-y+1=0与y轴垂直时符合题意，解得k=0;当直线c-y+1=0与 直线y=x垂直时符合题意，解得k=-1 【详解】作出直线y=x,且直线x-y+1=0经过定点A(0,1), 若直线kc-y+1=0与y轴垂直，则B(1,1), 不等式组表示的平面区域为△OAB,为等腰直角三角形，此时k=0; 若直线c-y+1=0与直线y=x垂直，则C 11 2’2 不等式组表示的平面区域为△OAC,为等腰直角三角形，此时k=-1, -x+ 故答案为：0或-1 15.己知函数f(x=V3sin2x+cos2x在区间0，ml上有且仅有3个零点，则m的取值范围是 17π23π 【答案】 12 ’12 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式把函数化成f(x)=2sin 2x+ 可求出f(x)=0的系列正根， 6 根据函数在0，m上根的个数，可确定m的取值范围. 【详解】因为f(x)=2sin2x+ 6 第10页/共22页 学科网可组卷网 由f(x)=0→sin 2+ =0→2x+2=km（keZ) 6 5π11π17π23π 令k=1,2,3,4可得x= 1212’12’12 元≤m< 23π 因为f(x)=0在[0，m上有且仅有3个零点，所以 12 12 17π23π 故m的取值范围是： 12’12 17π23元 故答案为： 1212 16.峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名其中“九十九道拐”景点 约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为a,,给出下列四个结论： ①a4=5；②a1=an+a1:③∑a,=52;④a2+a4+a6++an=4n1-1 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意可以得到an+2=an+an+1,41=1,a2=2,再对每一个进行判断即可 【详解】由于到第+2级阶梯有两种方法：从第n+1级阶梯上一级台阶或者从第n级阶梯上两级台阶， 因此由题意有an+2=an+an+1, 可得an+2=an+an+1,41=1,a2=2, 当n≥2时，an=an+an-1,所以②正确； 所以a3=3,a4=5,a5=8,a。=13,a7=21,所以①正确， 所以a+42+…a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠52，③错误： a2+a4+a6+…+a2m=a1+a2+a4+a6+.+a2m-1=a3+a4+a6+.+a2m-1 =a5+a6+.+a2m-1=a,+ag+.+a2m-1=a2m+1-1,所以④正确 故答案为：①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共0分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 第11页/共22页 学科网 命组卷网 17.己知S,是等差数列{an}的前n项和 (1)证明： 是等差数列： n (2)设Tn为数列 的前n项和，若S1=2,S4=14,求Tn 【答案】(1)证明见解析： 1 7 (2)二n2+n 4 4 【解析】 【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,然后由等差数列的定义证明即可； (2)由(1)可知数列 S n 是等差数列，由S=2,S4=14求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等 差数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 证明：设等差数列{an}的公差为d, .S.=(ata.n,S.(ata,) 2 n 2 Snl-S=（a+a+_a+a_d n+l n 2 2 2 是等差数列. 【小问2详解】 .S1=2,S4=14, 数列 n 的首项为2，第四项为了 数列 的公差 12 1 n -2 -三 32 六Z,=2m+nm-1)=2n2+7. 7 4 4 18.某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生 第12页/共22页 学科网丽组卷网 各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组： [60,70),[70,80),[80,90),[90,100](单位：分)，得到频率分布直方图 ←频率/组距 0.035 0.030 0.020 0.015 060708090100成绩/分 (1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛学生成绩的众数及平均数；（同一组数据用该组数据 的区间中点值作代表) (2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人” 把随机抽取的参赛学生数据统计如下，请将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否 获得“科技知识达人”称号与性别有关 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 附：K2= n(ad-be)2 (其中n=a+b+c+d) (a+b(c+d(a+c(b+d) PK2≥k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)85,81； 第13页/共22页 耐学科网 命组卷网 (2)有 【解析】 【分析】(1)利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的众数的平均数 (2)完善2×2列联表，计算K2的观测值并回答问题. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，这次竞赛中参赛学生成绩的众数为85； 成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.15,0.3,0.35,0.2， 这次竞赛中参赛学生成绩的平均数x=65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.2=81 【小问2详解】 竞赛成绩不低于90分的学生数为0.2×100=20，完善2×2列联表，如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设H。为能否获得“科技知识达人”称号与性别独立， K2=10015×45-5×35)2 =6.25>3.841, 20×80×50×50 所以有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关 19.如图，平行六面体ABCD-ABCD,中，底面ABCD是边长为2的菱形，且 ∠BAD=60°，AA=V6,∠AAB=∠AAD,AC与BD交于O,∠AAO=45 第14页/共22页 学科网丽组卷网 (1)证明：AO⊥平面ABCD; (2)求四棱锥A,-BB,D,D的体积 【答案】(1) 因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以AB=AD 因为∠AAB=∠AAD,AA=AA,所以△AAB兰△AAD, 所以BA=DA 因为点O为线段BD中点，所以A,O⊥BD 在△AA0中，AA=V6,A0=√5，∠AA0=45°， 所以cos∠440=2_44+04-A0 2×44x04,解得40=V5 所以(V6)=(V3+(V3,即A4P=0AP+A0,所以A0⊥0A 又OA∩BD=O,OAC平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以AO⊥平面ABCD. (2)2 【解析】 【分析】(1)根据菱形的性质及全等三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一和余弦定理的推理，结合 勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可求证； (2)根据(1)的结论及线面垂直的判定定理和性质定理，利用矩形的性质及勾股定理，结合棱锥的体积 公式即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，A,O⊥BD,又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 又AO∩AC=O,AOc平面AOA,ACC平面AOA,所以BD⊥平面AOA, 又AAc平面AOA,所以BD⊥AA, 又ABCD-AB,CD是平行六面体，所以AA11BB, 第15页/共22页 学科网组卷网 所以四边形BBDD为矩形， 由(1)知，A,O=V3,OB=1,A,O⊥OB,所以AB=AD=2, 从而AB=AD=AB=AD=2, 连接B,D,BD交于O,连接AO,如图所示 在DAB,中，AD=AB,O为B,D的中点，所以AO⊥BD,同理AO⊥BD, 又BD∩BD=O,BDC平面BB,D,D,BDC平面BB,D,D, 所以AO⊥平面BB,D,D,线段A,O的长为A到平面BB,D,D的距离 由BD=2,BB,=V6,可得DB=2DO=√0， 02 10 在直角三角形AD0中40=V40-D0-2-2 √6 .VA-BBDD=3 40-54An-x6x26=2 X 32 20.己知函数f(x=ax+lnx-ax1 (1)当a=1时，讨论fx的单调性； (2)若存在x。∈(1，+oo),使得f(x)>0,求a的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2)a<1 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数判断函数的单调性； (2)根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解 【小问1详解】 第16页/共22页 西学科网丽组卷网 当a=1时，f(x)=x+lnx-x2,x>0, 则f(x)=1+1-2x==2x2+x+1_(2x+(x-1 令f()=0,解得x=1或x=3(舍， 当0<x<1时，/女=-2x+x->0,单调递塔， 当x>1时，=-(2x+x-<0,f单调递减， 综上所述，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减： 【小问2详解】 由题可知f'=1+ar-2ar,令h0=1+a-2ar2=a0-2x+1 当a≤0时，由x>1可知h(x)>0,即f'(x)>0,所以f(x)在(1，+o)为增函数. .∴.对任意x∈(1，+0)都有f(x)>f(I)=0,符合题意. 由2ax2-ax-1=0解得 或 X1= :x,<0,下面讨论x2与1的大小 ②当0<a<1时，x2>1,则f(x)在(1，x2)上单调递增. .存在x∈(1，x2),使得f(x)>f(I)=0. ③当a≥1时，x<x2≤1，对任意x∈(1，+o)都有h(x)<0,即f'(x)<0 ∴.f(x)在(1，+o)上为减函数，f(x)<f(1)=0恒成立，不符合题意 综上所述，a∈(-0,1)时，存在x。∈(1，+o),使得f(x)>0 【点睛】关键点点腊：本题第二问的关键是引入f=1+a心-2a心的分子作为新函数，再对口进行合理 地分类讨论 第17页/共22页 可学科网 可组卷网 21.已知椭圆E:行+片 =1(a>b>O)的左、右焦点分别为F,F,A、C分别是椭圆E的上下顶点，B、D分 3 别是椭圆E的左右顶点， 上，且△PFE的面冠 (1)求椭圆E的方程； (2)点Q是椭圆E上的动点（不与A,B,C,D重合），I是E在点A处的切线，直线AB交DQ于点M, 直线CQ交I于点N,求证：直线MN的斜率为定值 【答案】(1)+y2=1 4 (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据条件求a,b,c的值，确定椭圆的标准方程 (2)因为直线DQ的斜率不为0，可设直线DQ方程为：X=ty+2,与直线AB方程联立可得M点坐 标，与椭圆方程联立，可得Q点坐标，进一步写出直线CQ的方程，令y=1得N点坐标，列出直线MN的 斜率，化简即可 【小问1详解】 1 33 5am5-2×2cx 在椭圆E上， a21 ，-1解得a2=4或a2=3（舍) 4 a2-3 :a2-=3,:=1.∴椭圆E的方程为 +y2=1. 【小问2详解】 如图： 第18页/共22页 可学科网列组卷网 易知直线DQ斜率不为0，设直线DQ方程为x=y+2,Q(x,y) :AB直线方程为：x-2y+2=0, 联立 0，得M2+4,4)） ∫x-2y+2=0 x=y+2 (2-t’2-i 年+少=1，得产+4y+4=0. 由4 x=y+2 D2,0%2+46=%+22+8 -4t t2+4 -1、4t ·直线C0的斜率为：ke=+4 2-t -2t2+82(t+2) 0- t2+4 “直线C0方程为：y= 2-t x-1. 2(t+2) 令y=1,得N 4+2. 2-t 41 2-t 2+t 1 kw=21+44u+2-20+2)2 2-t2-t 所以直线MW的斜率为定值， 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系x0y中，曲线C的方程为x+y=2,C,的方程为x2+(y-1)2=1,C3是一条经过原点且斜 率为正的直线， (1)以坐标原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，求C、C2的极坐标方程； 第19页/共22页 可学科网可组卷网 (2)若C与C、C2分别相交于异于原点的M、N两点，当 2+ON=V0时，求G的直角坐标方程 OM 【答案】(1)C:pcos0+psin0=2,C,:p=2sin0; (2)y=3x 【解析】 【分析】(1)根据x=pcos0,y=psin0即可求解； (2)设曲线C的极坐标方程为0=a,分别联立C与C,和C,的极坐标方程，求出OM,ON|,再根据 2 +ON=V10即可得解 IOMI 【小问1详解】 由题意，x=pcos0,y=psin0, 因为C的直角坐标方程x+y=2, 所以C的极坐标方程为pcos0+psin0=2. 因为C,的直角坐标方程x2+(y-1)2=1化简得：x2+y2-2y=0, 所以C,的极坐标方程为p=2sin0. 【小问2详解】 由曲线C是经过原点且斜率为正的直线： 故其极坐标方程可设为0=a0<α< 2 pcos0+psin0=2 2 由题可得 ,得引OM= 0=u cosa +sina P=2sin0 由 0=0 ，得10N=2sina. 2+ON3sina+cosa=10sin(a+)=10 tan=3 因为OM 第20页/共22页 可学科网可组卷网 所以a+p=2km+号，tana=ta 2m+号 =3. tan 故C的直角坐标方程为y=3x, 23.设不等式0<x-2-x+1<2的解集为M,a,b∈M (1)证明：3a+5b<4: (2)比较2a+b与1+4ab的大小 【答案】(1)证明见解析 (2)2|a+b<1+4ab 【解析】 【分析】(1)令f(x)=x-2|-|x+1|,化简后，由0<f(x)<2,可求出M,然后利用绝对值三角不等 式可求证得结论； (②)结合a水分b水3利用作差法比较即可 【小问1详解】 证明：记f(x)=x-2|-|x+1 3,x≤-1 则f(x)={-2x+L,-1<x<2 -3,x≥2 0<0)2.据路x<分甲M-(引 abeM,a水2b 则3a+5bs3引a+51bK3× 1 2+5× 2 =4. 当且仅当ab≥0时取等号： 【小问2详解】 由0)知<6<子所以4a2-1<01-45>0 则4|a+b2-|1+4abP=4(a2+2ab+b2)-(1+8ab+16a2b2) =4a2+8ab+4b2-1-8ab-16a2b2 第21页/共22页 学科网丽组卷网 =4a2+4b2-1-16a2b2 =(4a2-1)+4b2(1-4a2) =(4a2-1)1-4b2)<0, .4a+b2<1+4ab12, .2|a+b<1+4ab 第22页/共22页 机密★启用前 乐山市高中2024届第三次调查研究考试 文科数学 （本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟） [考试时间：2024年5月7日下午3：00—5：00] 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若复数满足是的共轭复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ） A. 800，360 B. 600，108 C. 800，108 D. 600，360 4. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 7. 在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则实数的值是__________. 14. 若关于的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为__________. 15. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是__________. 16. 峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤. 17. 已知是等差数列的前项和. （1）证明：是等差数列； （2）设为数列的前项和，若，求. 18. 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男､女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到频率分布直方图. （1）试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛学生成绩的众数及平均数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表） （2）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下，请将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关. 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 附：（其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且与交于. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 20. 已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）若存在，使得，求的取值范围. 21. 已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线. （1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）若与分别相交于异于原点的两点，当时，求的直角坐标方程. 23. 设不等式的解集为. （1）证明：； （2）比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $