第十一章 三角形 习题课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章　三角形 课时分层提优 11.1　与三角形有关的线段　11.1.1　三角形的边 1 知识点一　三角形的概念 1. (教材 P 4练习 T 1改编)如图所示： (1)图中以点 A 为顶点的三角形共有 个，分别是 ⁠； (2)以 BC 为边的三角形有 个，以∠ D 为内角的三角形有 ⁠个； (3)在△ ABC 中，∠ A 的对边是 ， AC 边的对角是 ⁠. 2　 △ ABE ，△ ABC 　 3　 2　 BC 　 ∠ ABC 　 建议用时：30分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识点二　三角形的分类 2. 若如图表示三角形的分类，则下列说法正确的是(　C　) A. M 表示等边三角形 B. M 表示锐角三角形 C. P 表示等腰三角形 D. N 表示三边都不相等的三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. 　开放性设问 如图是三角形演进关系图，请在括号内填上一个适当的条 件： ⁠. 4. 如果一个三角形的三边之比为2∶3∶2，那么这个三角形的形状为 ⁠. AB ＝ BC (答案不唯一)　 等腰三角形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识点三　三角形的三边关系 5. (2023衡阳中考)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(　D　) A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，8 cm，5 cm C. 4 cm，5 cm，10 cm D. 4 cm，5 cm，6 cm 6. (2023福建中考)若某三角形的三边长分别为3，4， m ，则 m 的值可以是(　B　) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. 三角形三边长分别为3，2 a ，5，则 a 的取值范围是 ⁠. 1＜ a ＜4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 一个三角形的一边长为9 cm，另一边长为2 cm，若第三边长为 x cm. (1)求 x 的范围； 解：(1)∵三角形的一边长为9 cm，另一边长为2 cm，第三边长为 x cm， ∴9－2＜ x ＜9＋2，即7＜ x ＜11. (2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长. 解：(2)∵第三边的长为奇数，且7＜ x ＜11， ∴第三边的长为9 cm， ∴三角形的周长为9＋2＋9＝20(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. 八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那 么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是(　A　) A. 1 km B. 2 km C. 3 km D. 8 km A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断，且全部用完)，能摆 出不同形状的三角形个数是(　B　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：把三角形的周长看作13.∵三角形两边之和大于第三边，∴只能有5种答案，即 ①1，6，6；②2，5，6；③3，5，5；④4，4，5；⑤3，4，6. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. 将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能(　A　) A. 都是锐角三角形 B. 都是直角三角形 C. 都是钝角三角形 D. 是一个锐角三角形和一个钝角三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边 的“共边三角形”有(　B　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 满足( a － b )2＋｜ b － c ｜＝0，则△ ABC 的形状是 (　C　) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. 三个数3，1－ a ，1－2 a 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构 成三角形，则 a 的取值范围为 ⁠. －3＜ a ＜－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15. 若 a ， b ， c 分别为三角形的三边长，化简：｜ a － b － c ｜＋｜ b － c － a ｜ ＋｜ c － a ＋ b ｜. 解：∵ a ， b ， c 分别为三角形的三边长， ∴ b ＋ c ＞ a ， a ＋ c ＞ b . ∴原式＝｜ a －( b ＋ c )｜＋｜ b －( c ＋ a )｜＋｜( c ＋ b )－ a ｜ ＝ b ＋ c － a ＋ a ＋ c － b ＋ c ＋ b － a ＝－ a ＋ b ＋3 c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 课时微专题　与等腰三角形有关的分类讨论 　　对于等腰三角形，一般需对其边是腰还是底进行分类讨论，并用三角形三边关 系进行验证. 16. 等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 ⁠. 22　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. (2024松原宁江区期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三 角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形 ABC 是“倍长三角形”，底边 BC 长为5， 则等腰三角形 ABC 的周长为 ⁠. 18. 若等腰三角形的周长是28 cm，一条边长为6 cm，则它的腰长为 ⁠cm. 25　 11　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. 若实数 m ， n 满足等式｜ m －2｜＋｜ n －4｜＝0，且 m ， n 恰好是等腰△ ABC 两条边的边长，求△ ABC 的周长. 解：∵｜ m －2｜＋｜ n －4｜＝0，且｜ m －2｜≥0，｜ n －4｜≥0，∴ m ＝ 2， n ＝4. 当2是等腰三角形的底边长时，4，4，2能构成三角形，△ ABC 的周长为10； 当4是等腰三角形的底边长时，2，2，4不能构成三角形，舍去. 综上所述，△ ABC 的周长为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. 如图， P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC ， BP 的延长线交 AC 于点 D . (1)填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 AB ＋ AD ＞ ； PD ＋ CD ＞ ⁠. 将不等式左边、右边分别相加， 得 AB ＋ AD ＋ PD ＋ CD ＞ ⁠， 得 AB ＋ AC ＞ ⁠. BD 　 PC 　 BD ＋ PC 　 PC ＋ PB 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)连接 PA ，试说明： PA ＋ PB ＋ PC ＜ AB ＋ BC ＋ AC . 解：由(1)同理可得， AB ＋ BC ＞ PA ＋ PC ， BC ＋ AC ＞ PB ＋ PA ， AB ＋ AC ＞ PB ＋ PC ， ∴2( AB ＋ BC ＋ AC )＞2( PA ＋ PB ＋ PC )， ∴ AB ＋ BC ＋ AC ＞ PA ＋ PB ＋ PC ， 即 PA ＋ PB ＋ PC ＜ AB ＋ BC ＋ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.1　与三角形有关的线段　11.1.2　三角形的高、中线与角平分线 1 知识点一　三角形的高 1. 用三角板作△ ABC 的边 BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建议用时：30分钟 2. 如图， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，则 AD 与 BC 的位置关系是 ⁠， ∠ ADB ＝ ＝ ， S△ ABC ＝ ⁠. 第2题图 AD ⊥ BC 　 ∠ ADC 　 90°　 BC · AD 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ，图中线段可以作为△ ABC 的 高的有 条. 第3题图 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点二　三角形的中线 4. 如图，若 CD 是△ ABC 的中线， AB ＝20，则 BD 的长为(　B　) A. 12 B. 10 C. 16 D. 8 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图，△ ABC 中， AB ＝10， BC ＝8，点 D 是 AC 边上的中点，连接 BD ，若△ ABD 的周长为22，则△ BDC 的周长是 ⁠. 第5题图 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课时微专题　与三角形中线有关的面积问题 如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，则有 S△ ABD ＝ S△ ACD ＝ S△ ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图， AD 是△ ABC 的中线， CE 是△ ACD 的中线，若△ ACE 的面积是1，则△ ABC 的面积是 ⁠. 第6题图 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别为 BC ， AD ， CE 的中点，且 S△ ABC ＝4 cm2，则阴影部分的面积为 cm2. 第7题图 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图，△ ABC 的中线 AD ， CE 相交于点 F ，若四边形 BDFE 的面积是2，则△ ACF 的面积是 ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点三　三角形的角平分线 9. (教材P8习题T4改编)如图，在△ ABC 中，∠ BAD ＝∠ DAE ＝∠ EAF ＝∠ FAC ， 则△ ABC 的角平分线是(　B　) A. AD B. AE C. AF D. AC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. (教材P9习题T9改编)如图， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ AC ， DE 交 AB 于点 E ，∠1＝∠2，则 DF 与 AB 有什么位置关系？请说明理由. 解： DF ∥ AB . 理由如下： ∵ DE ∥ AC ，∴∠1＝∠ DAF . ∵ AD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ EAD ＝∠ DAF ， ∴∠1＝∠ EAD . 又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ EAD ，∴ DF ∥ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，在△ ABC 中， AD 交边 BC 于点 D ，设点 G 是△ ABC 的重心，若点 G 在线 段 AD 上，则下列结论中正确的是(　A　) A. BD ＝ CD B. AD ⊥ BC C. AD 平分∠ BAC D. AD ⊥ BC 且 AD 平分∠ BAC 第11题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝5， BC ＝6， AD ⊥ BC 于点 D ，且 AD ＝ 4，若点 P 在边 AC 上移动， BP 的最小值为(　B　) A. 4.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2 第12题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 创新意识 下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图(折叠后点 C 落到点C' 处). (1)折出的 AD 是 BC 边上的中线的是 ⁠； (2)折出的 AD 是 BC 边上的高的是 ⁠； (3)折出的 AD 是∠ BAC 的平分线的是 ⁠. 丙　 甲　 乙　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图所示，已知 AD ， AE 分别是△ ABC 的高和中线， AB ＝6 cm， AC ＝8 cm， BC ＝10 cm，∠ BAC ＝90°. (1)求 AD 的长； 解：∵∠ BAC ＝90°， AD 是边 BC 上的高， ∴ S△ ABC ＝ AB · AC ＝ BC · AD ， ∴ AD ＝ ＝ ＝4.8(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求△ ABE 的面积； 解：∵ AE 是△ ABC 的中线，∴ BE ＝ BC ＝5 cm， ∴ S△ ABE ＝ BE · AD ＝ ×5×4.8＝12(cm2). (3)求△ ACE 和△ ABE 的周长的差. 解：∵ AE 为 BC 边上的中线，∴ BE ＝ CE ， ∴△ ACE 的周长－△ ABE 的周长＝ AC ＋ AE ＋ CE －( AB ＋ AE ＋ BE )＝ AC － AB ＝8－6＝2(cm)， 即△ ACE 和△ ABE 的周长的差是2 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图，在△ ABC 中，∠ BCA ＝90°， BC ＝6 cm， AC ＝8 cm， AB ＝10 cm， CD 为△ ABC 的高. (1)求△ ABC 的面积和 CD 的长； 解：(1) S△ ABC ＝ AC · BC ＝ ×8×6＝24(cm2). 又∵ S△ ABC ＝ AB · CD ， ∴ CD ＝ ＝4.8(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若点 P 从 A 点出发，以每秒1 cm的速度沿 A → B → C 运动，点 P 运动到点 C 时停 止.设运动时间为 t s，问 t 为何值时，△ PAC 的面积为6 cm2？ 解：(2)①当点 P 在 AB 边上时， S△ PAC ＝ AP · CD ，∴ AP ＝ ＝ 2.5(cm)，∴ t ＝ ＝2.5(s)； ②当点 P 在 BC 边上时， S△ PAC ＝ AC · CP ， ∴ CP ＝ ＝1.5(cm)， ∴ t ＝ ＝14.5(s). 综上所述，当 t ＝2.5或14.5时，△ PAC 的面积为6 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.1　与三角形有关的线段　11.1.3　三角形的稳定性 1 知识点　三角形的稳定性 1. (2022永州中考)下列多边形具有稳定性的是(　D　) D 1 2 3 4 5 6 7 建议用时：20分钟 2. (2024驻马店期末)人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是(　D　) A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 D 1 2 3 4 5 6 7 3. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是(　C　) A. 屋顶支撑架 B. 自行车脚架 C. 伸缩门 D. 旧木门钉木条 C 1 2 3 4 5 6 7 4. 如图，六边形钢架 ABCDEF 由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳 固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请画出三种方法.(只需画图，不 必写出作法) 注：答案不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 5. (2024无锡期末)如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这 个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条(图中灰色木条).下列四种情况中不能成功 是(　D　) 第5题图 A B C D D 1 2 3 4 5 6 7 6. 结合生产应用 如图所示，建筑工人吊钢材时，为防止钢材坠落，通常会在钢材 的两个不同位置拴上吊绳，然后再起吊，其中蕴含的数学道理是 ⁠ ⁠. 第6题图 三角形具有稳定 性　 1 2 3 4 5 6 7 7. 如图， ABCD 是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在 AC 或 BD 上 钉上一根木条，现量得 BC ＝8 cm， CD ＝6 cm， AB ＝4 cm， AD ＝5 cm，试问一 根3 cm长的木条，能否满足要求，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 解：能满足要求.理由如下： 如图，连接 AC ， BD . ∵ BC ＝8 cm， CD ＝6 cm， AB ＝4 cm， AD ＝5 cm， ∴ BC － AB ＜ AC ＜ AB ＋ BC ， CD － AD ＜ AC ＜ AD ＋ CD ， ∴4 cm＜ AC ＜12 cm，1 cm＜ AC ＜11 cm， ∴4 cm＜ AC ＜11 cm. ∵ AD － AB ＜ BD ＜ AB ＋ AD ， BC － CD ＜ BD ＜ BC ＋ CD ， ∴1 cm＜ BD ＜9 cm，2 cm＜ BD ＜14 cm， ∴2 cm＜ BD ＜9 cm. ∴一根3 cm长的木条能满足要求. 1 2 3 4 5 6 7 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.2　与三角形有关的角　11.2.1　三角形的内角　 第1课时三角形的内角和定理 1 知识点一　三角形内角和定理 1. ∠ A ，∠ C 是△ ABC 的内角，如果∠ A ＝30°，∠ C ＝70°，则△ ABC 是(　C　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 2. 在△ ABC 中，∠ A ＝20°，∠ B ＝4∠ C ，则∠ C 等于(　A　) A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° C A 建议用时：30分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. (2024成都期末)如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ，∠ A ＝50°，∠ C ＝70°，则∠ ADE 的度数是 ⁠. 4. 在△ ABC 中，若∠ A ∶∠ B ＝5∶7，且∠ C 比∠ A 大10°，则∠ A 的度数为 ⁠. 60°　 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图， AD 平分∠ BAC ，其中∠ B ＝35°，∠ ADC ＝82°，求∠ BAC ，∠ C 的度数. 解：∵∠ ADC ＝82°， ∴∠ ADB ＝180°－82°＝98°， ∴∠ BAD ＝180°－∠ B －∠ ADB ＝47°. ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAC ＝2∠ BAD ＝94°， ∴∠ C ＝180°－∠ B －∠ BAC ＝51°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P11图11.2－1改编) (2022北京中考)下面是证明三角形内角和定理的两种添 加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 已知：如图，△ ABC ， 求证：∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°. 方法一 证明：如图，过点 A 作 DE ∥ BC . 方法二 证明：如图，过点 C 作 CD ∥ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明：方法一：∵ DE ∥ BC ， ∴∠ B ＝∠ BAD ，∠ C ＝∠ CAE . ∵∠ BAD ＋∠ BAC ＋∠ CAE ＝180°， ∴∠ B ＋∠ BAC ＋∠ C ＝180°. 或方法二：∵ CD ∥ AB ， ∴∠ A ＝∠ ACD ，∠ B ＋∠ BCD ＝180°. ∵∠ BCD ＝∠ ACB ＋∠ ACD ， ∴∠ B ＋∠ ACB ＋∠ A ＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 知识点二　三角形内角和定理的应用 7. (教材P13练习T2改编)如图，将△ ABC 沿直线 DE 折叠，点 B 落到B'处，若 ∠BDB'＝132°，∠BEB'＝146°，则∠ B ＝ ⁠. 第7题图 41° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东75°，又继续航行7海里 后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东60°，则∠ APB ＝ ⁠. 第8题图 15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，墙上钉着三根木条 a ， b ， c ，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条 a ， b 所在直线所夹的锐角是(　B　) A. 5° B. 10° C. 30° D. 70° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课时微专题　高线与角平分线的夹角 10. (教材P29复习题T8改编)如图，在△ ABC 中， AE 平分∠ BAC ， AD ⊥ BC 于点 D ，∠ ABC ＝40°，∠ ACB ＝60°，则∠ EAD 的度数为 ⁠. 第10题图 10°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.1如图，在△ ABC 中， AE 平分∠ BAC ，在线段 AE 上任取一点 P (不与 A ， E 重 合)，过点 P 作 PD ⊥ BC 于点 D ，若∠ B ＝α，∠ C ＝β，则∠ EPD 的度数为 ⁠ ⁠. 第10.1题图 (β －α)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝70°，∠ C ＝40°， AD 平分∠ BAC ，点 E 在 AD 的延 长线上， EF ⊥ BC 于点 F ，则∠ DEF 的度数为 ⁠. 15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是边 AB ， AC 上一点，将△ ABC 沿 DE 折叠，使 点 A 落在边 BC 上.若∠ A ＝55°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数. 解：∵∠ A ＝55°， ∴∠ B ＋∠ C ＝125°. 又∵∠1＋∠2＋∠ B ＝180°， ∠3＋∠4＋∠ C ＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－(∠ B ＋∠ C )＝360°－125°＝235°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 新定义型阅读理解题　阅读材料： 如图1所示，线段 AB 与 CD 相交于点 O ，称△ AOC 与△ DOB 为“对顶三角形”.根据 三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)如图2所示，线段 AB 与 CD 相交于点 O ，∠ CAO 与∠ BDO 的平分线 AP 和 DP 相 交于点 P ， AP 交 CD 于点 M ， DP 交 AB 于点 N ，已知∠ B ＝96°，∠ C ＝98°，则 ∠ P 的度数是 ⁠； 97°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)如图3所示，求∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F 的度数. 解：如图3，连接 AD . 由对顶三角形的性质，得∠ E ＋∠ F ＝∠ ADE ＋∠ DAF . ∵四边形 ABCD 中，∠ BAF ＋∠ DAF ＋∠ ADE ＋∠ CDE ＋∠ C ＋∠ B ＝360°， ∴∠ BAF ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ E ＋∠ F ＝360°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.2　与三角形有关的角　11.2.1　三角形的内角　 第2课时　直角三角形的性质与判定 1 知识点一　直角三角形的两个锐角互余 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝65°，则∠ B 的度数为(　B　) A. 5° B. 25° C. 35° D. 45° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 建议用时：20分钟 2. 如图，有一个与地面成30°角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地 面垂直时，它与斜坡所成的角α＝ °. 3. (2024石家庄期末)在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝4∠ B ，则∠ B ＝ °. 60　 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，在△ ABC 中， BE ⊥ AC 交 AC 于点 E ， AF 是∠ CAB 的平分线，交 BE 于点 F ，且∠ C ＝78°，∠ CBA ＝38°，求∠ AFB 的度数. 解：∵∠ C ＝78°，∠ CBA ＝38°， ∴∠ CAB ＝64°. ∵ AF 是∠ CAB 的平分线， ∴∠ EAF ＝ ∠ CAB ＝32°. ∵ BE ⊥ AC ，∴∠ AEB ＝90°， ∴∠ AFE ＝90°－∠ EAF ＝58°， ∴∠ AFB ＝180°－∠ AFE ＝122°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点二　两锐角互余的三角形是直角三角形 5. 下列条件：①∠ A ＋∠ B ＝∠ C ；②∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶2∶3；③∠ A ＝90°－∠ B ； ④∠ A ＝∠ B ＝∠C . 其中能确定△ ABC 是直角三角形的是 .(填序号) ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 上一点，且∠ ACD ＝∠B . 求证：△ ACD 是直角三角形. 证明：∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ A ＋∠ B ＝90°. ∵∠ ACD ＝∠ B ， ∴∠ A ＋∠ ACD ＝90°， ∴△ ACD 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 根据图中给定的条件，下列各图中可以判断∠1与∠2一定相等的是(　A　) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为(　B　) A. 150° B. 135° C. 120° D. 120°或135° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2024商丘期末)如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 边上，将△ CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处.若∠ A ＝25°，则∠ CDE ＝ ⁠. 解析：∵将△ CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处，∠ ACB ＝90°， ∴∠ BCD ＝∠ ECD ＝45°，∠ B ＝∠ CED . ∵∠ A ＝25°，∴∠ B ＝90°－25°＝65°， ∴∠ CED ＝65°，∴∠ CDE ＝180°－45°－65°＝70°. 70°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝60°， CE 平分∠ ACB . (1)求∠ ACE 的度数； 解：(1)∵在△ ABC 中，∠ A ＝30°，∠ B ＝60°， ∴∠ ACB ＝90°. 又∵ CE 平分∠ ACB ， ∴∠ ACE ＝∠ BCE ＝ ∠ ACB ＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若 CD ⊥ AB 于点 D ，∠ CDF ＝75°，求证：△ CFD 是直角三角形. 解：(2)证明：∵ CD ⊥ AB ，∠ B ＝60°，∴∠ BCD ＝30°， ∴∠ DCF ＝∠ BCE －∠ BCD ＝15°， ∴∠ CFD ＝180°－∠ DCF －∠ CDF ＝90°， ∴△ CFD 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.2　与三角形有关的角　11.2.2　三角形的外角 1 知识点　三角形内角和定理的推论 1. 如图，∠ ACD 是△ ABC 的一个外角，若∠ ACD ＝108°，∠ B ＝45°，则∠ A 的度 数为(　C　) A. 45° B. 53° C. 63° D. 65° 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建议用时：30分钟 2. 如图， CE 平分∠ ACD ，若∠ A ＝70°，∠ B ＝40°，则∠ ECD 等于(　D　) A. 40° B. 50° C. 45° D. 55° 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为(　C　) A. 60° B. 65° C. 75° D. 85° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. (教材P15例4改编)若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是(　C　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 解析：∵三角形的外角和为360°，其中两个外角之和为280°，∴第三个外角的度数为 360°－280°＝80°，∴其相邻内角为180°－80°＝100°，∴该三角形是钝角三角形. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知∠ MAC ＝50°，∠ ACB ＝20°，则图2中∠ CBA 的度数为 ⁠. 第5题图 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. (2024北京朝阳区期末)如图，图中 x 的值为 ⁠. 第6题图 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图，△ ABC 的边 AC 的延长线上有一点 D ，点 F 为 AB 边上一点，连接 DF 交 BC 于点 E ，若∠ A ＝30°，∠ D ＝40°，∠ BED ＝80°，求∠ B 的度数. 解：∵∠ A ＝30°，∠ D ＝40°， ∴∠ BFD ＝∠ A ＋∠ D ＝70°. 又∵∠ BED ＝80°， ∴∠ B ＝∠ BED －∠ BFD ＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°，△ ABC 的外角∠ CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E . (1)求∠ CBE 的度数； 解：(1)∵∠ ACB ＝90°，∠ A ＝40°， ∴∠ CBD ＝∠ ACB ＋∠ A ＝130°. ∵ BE 是∠ CBD 的平分线， ∴∠ CBE ＝ ∠ CBD ＝65°. (2)过点 D 作 DF ∥ BE ，交 AC 的延长线于点 F ，求∠ F 的度数. 解：(2)∵∠ ACB ＝90°，∠ CBE ＝65°， ∴∠ CEB ＝90°－65°＝25°. 又∵ DF ∥ BE ，∴∠ F ＝∠ CEB ＝25°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图，已知 l ∥ AB ， CD ⊥ l 于点 D ，若∠ C ＝40°，则∠1的度数是(　A　) A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. (2024兰州期末)如图， BP 是△ ABC 中∠ ABC 的平分线， CP 是△ ABC 的 外角的平分线，如果∠ ABP ＝20°，∠ ACP ＝50°，则∠ A 等于(　D　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 第10题图 解析：∵ BP 是△ ABC 中∠ ABC 的平分线， CP 是∠ ACB 的外角的平分线，∴∠ ABC ＝2∠ ABP ＝2×20°＝40°，∠ ACM ＝2∠ ACP ＝2×50°＝100°，∴∠ A ＝∠ ACM －∠ ABC ＝60°. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.1如图，若点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，∠ OAB 的平分线交△ OAB 的外角∠ OBD 的平分线于点 C ，则∠ C 的度数是(　B　) 第10.1题图 A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝60°， P 为 BC 上一点，且∠1＝∠2，则∠ APD 的度 数为 ⁠. 第11题图 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 一副三角板如图所示叠放在一起，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板 的斜边 AB 上， BC 与 DE 交于点 M ，如果∠ ADF ＝100°，那么∠ BME 为 度. 第12题图 95　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图， 已知 AB ∥ CD ，∠ BAE ＝93°，∠ DCE ＝116°，则∠ E 的度数是 °. 23　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图，一个零件按规定∠ A ＝90°，∠ B ＝32°，∠ C ＝23°.检验工人量得∠ BDC ＝143°，就断定这个零件不合格.请你运用三角形的有关知识说明不合格的理由.如 果测得∠ BDC ＝145°，能说明这个零件一定合格吗？ 解：如图，延长 CD 交 AB 于点 E . ∵∠ A ＝90°，∠ C ＝23°， ∴∠ BEC ＝∠ A ＋∠ C ＝113°. ∵∠ B ＝32°， ∴∠ BDC ＝∠ B ＋∠ BEC ＝145°， ∴当∠ BDC ＝143°时，这个零件不合格， 当∠ BDC ＝145°时，这个零件不一定合格.如∠ A ＝90°，∠ B ＝33°，∠ C ＝22°， 此时∠ BDC ＝145°，但显然这个零件不合格. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (2023唐山期末)一张三角形纸片 ABC 中，∠ C ＝30°，点 D ， E 分别在边 AC ， BC 上，将∠ C 沿 DE 折叠，点 C 落在点C'的位置. (1)如图1，点C'在边 BC 上，∠ADC'＝ ，可以发现∠ADC'与∠ C 的数量关系 是 ⁠； 60°　 ∠ADC'＝2∠ C 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)如图2，点C'在△ ABC 外部，C'E与 AC 交于点 F ，若∠ DEC ＝55°，求∠ AFE 的 度数； 解：(2)∵∠ C 沿 DE 折叠，点 C 落在点C'的位置，∠ C ＝30°，∠ DEC ＝55°， ∴∠DEC'＝∠ DEC ＝55°，∠ ADE ＝∠ DEC ＋∠ C ＝85°， ∴∠ AFE ＝∠ ADE ＋∠DEC'＝85°＋55°＝140°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)如图3，点C'在△ ABC 内部，请直接写出∠ADC'，∠BEC'与∠ C 之间的数量关系. 解：(3)∠ ADC '＋∠ BEC '＝2∠ C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.3　多边形及其内角和　11.3.1　多边形 1 知识点一　多边形的相关概念 1. 下列选项中的图形，不是凸多边形的是(　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 建议用时：20分钟 2. 下列说法中，正确的有(　C　) ①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形； ②三角形是边数最少的多边形； ③ n 边形有 n 条边、 n 个顶点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. (教材P21练习T2改编)从六边形的一个顶点出发，可以画 ⁠条对角线，它们将 六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线. 4. 如图，画出下列多边形的对角线. 3　 4　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点二　正多边形 5. 下列说法正确的是(　C　) A. 正三角形不是正多边形 B. 平行四边形是正多边形 C. 正方形是正多边形 D. 各角相等的多边形是正多边形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 一个正五边形的边长为5，周长为 ⁠. 25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 若经过 n 边形的一个顶点的所有对角线可以将该 n 边形分成6个三角形，则 n 边形 的对角线条数为(　A　) A. 20 B. 19 C. 18 D. 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 截角问题中因漏解而致错　若一个多边形截去一个角后，变成十四边形， 则原来的多边形的边数可能为(　C　) A. 14或15 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 规律探究　夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加 入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n 从一个顶点出发的对角 线的条数 1 2 3 4 5 … ① 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 … ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含 n 的代数式将上面的表格填写 完整，其中① ；② ⁠； (2)拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话(且只通1 次电话)，他们一共通了多少次电话？ 解： ×76×(76－1)＝2 850(次) 答：他们一共通了2 850次电话. n －3　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$第十一章　三角形 课时分层提优 11.3　多边形及其内角和　11.3.2　多边形的内角和 1 知识点一　多边形的内角和 1. 正六边形的每个内角的度数为(　C　) A. 60° B. 108° C. 120° D. 150° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 建议用时：30分钟 2. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是(　A　) A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3. 如图，从五边形的顶点 A 出发，可以引 ⁠条对角线，这些对角线将六边形分 成 个三角形，每个三角形内角和为180°，所以五边形的内角和为 ⁠. 2　 3　 540°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4. (2024长沙期末)如图，已知五边形 ABCDE 中， AB ∥ CD ，求 x 的值. 解：∵ AB ∥ CD ， ∴∠ B ＋∠ C ＝180°. ∵五边形 ABCDE 的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴在五边形 ABCDE 中，∠ E ＝540°－∠ A －∠ B －∠ C －∠ D ＝540°－140°－180° －140°＝80°， 即 x 的值为80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝45°，直线 l 与边 AB ， AD 分别相交于点 M ， N ，则∠1＋∠2的度数是多少？ 解：∵∠ A ＝45°， ∴∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝360°－∠ A ＝315°. ∵∠1＋∠2＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＝(5－2)×180°＝540°， ∴∠1＋∠2＝540°－315°＝225°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 知识点二　多边形的外角和 6. 建筑美学　图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚 冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂 纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数 为(　C　) A. 270° B. 300° C. 360° D. 400° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. 正十边形的每一个外角的度数为(　A　) A. 36° B. 30° C. 144° D. 150° 7.1一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的边数是 ⁠. 8. 如果正 n 边形的一个内角与一个外角的比是3∶2，则 n ＝ ⁠. A 8　 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和. 解：设这个多边形的边数为 n . 根据题意，得( n －2)×180°＝3×360°－180°， 解得 n ＝7， ∴(7－2)×180°＝900°. 故这个多边形的边数为7，内角和为900°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10. (2024广州期末)如图，在五边形 ABCDE 中， AB ∥ ED ，∠1，∠2，∠3是五边形 ABCDE 的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(　A　) A. 180° B. 210° C. 240° D. 270° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. 如图，小明从点 A 出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向 左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点 A 时所走的路程为(　C　) A. 80米 B. 96米 C. 64米 D. 48米 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. 一个正方形水池的四周恰好被4个完全相同的正 n 边形地砖铺满，其部分示意图 如图所示，则 n 的值为(　B　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13. 一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线 l 上，且有一个公共顶点 O ，其摆 放方式如图所示，则∠1＋∠2＝ °. 132　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. (2022株洲中考)如图所示，已知∠ MON ＝60°，正五边形 ABCDE 的顶点 A ， B 在射线 OM 上，顶点 E 在射线 ON 上，则∠ AEO ＝ 度. 48　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC ， BD 交于点 F ，则∠ AFB 的度数 为 ⁠. 72°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. (2024泰安期末)把正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1 ＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ⁠. 解析：等边三角形每个内角的度数是60°，正方形每个内角的度数是90°，正五边形 每个内角的度数是 ＝108°，则∠3＝360°－60°－90°－108°－∠1－∠2＝ 32°. 32°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. 小明在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1 520°，当发现错 了之后，重新检查，发现少加了一个内角，问：这个内角的度数是多少？小明求的 是几边形的内角和？ 解：方法一：设多边形的边数为 n ， 则有0°＜( n －2)×180°－1 520°＜180°， ∴10 ＜ n ＜11 . 又∵ n 为整数，∴ n ＝11， ∴(11－2)×180°－1 520°＝100°， 即这个内角的度数是100°，小明求的是十一边形的内角和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：设少加的内角度数为 x ，边数为 n . 则( n －2)×180°＝1 520°＋ x ， 即( n －2)×180°＝8×180°＋80°＋ x ， ∴180°＝80°＋ x ，∴ x ＝100°， n ＝11， 即这个内角的度数为100°，小明求的是十一边形的内角和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第十一章　三角形 专题一　求“A字型”“飞镖型”中角的度数“8字型” 1 类型一　求“A字型”中角的度数 如图所示称为“A字型”，数量关系：∠ ADE ＋∠ AED ＝∠ ABC ＋∠ C . 建议用时：30分钟 1. 如图， D 是 AB 上一点， E 是 AC 上一点， BE ， CD 相交于点 F ，∠ A ＝60°，∠ BFD ＝55°，∠ C ＝30°，求∠ B 的度数. 解：∵∠ A ＝60°，∠ C ＝30°， ∴∠ BDF ＝∠ A ＋∠ C ＝90°. ∵∠ BFD ＝55°， ∴∠ B ＝180°－∠ BDF －∠ BFD ＝35°. 1 2 3 4 5 6 2. 在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，且∠ CDA ＝∠ CAB . (1)求证：∠ CAD ＝∠ B ； 解：(1)证明：在△ ABC 和△ ADC 中，∠ CAD ＋∠ CDA ＝∠ CAB ＋ ∠ B . ∵∠ CDA ＝∠ CAB ， ∴∠ CAD ＝∠ B . 1 2 3 4 5 6 (2) MN 是经过点 D 的一条直线，且 MN ⊥ AC ，垂足为点 E ，在图中画出直线 MN . 若∠ CAB ＝70°，∠ DAB ＝20°，求∠ CAD ，∠ CDE 的度数. 解：(2)如图.∵∠ CAB ＝70°，∠ DAB ＝20°， ∴∠ CAD ＝∠ CAB －∠ DAB ＝50°. ∵ DE ⊥ AC ，∴∠ AED ＝90°， ∴∠ ADE ＝90°－∠ EAD ＝40°. ∵∠ CDA ＝∠ CAB ＝70°， ∴∠ CDE ＝∠ CDA －∠ ADE ＝30°. 1 2 3 4 5 6 类型二　求“飞镖型”中角的度数 如图所示称为“飞镖型”，数量关系：∠ D ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 3. 阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后 发现，它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？探究知其性质有：凹四边 形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和(即如图1，∠ ADB ＝∠ A ＋∠ B ＋ ∠ C ).理由如下： 1 2 3 4 5 6 方法一：如图2，连接 AB ，则在△ ABC 中，∠ C ＋∠ CAB ＋∠ CBA ＝180°，即∠1 ＋∠2＋∠3＋∠4＋∠ C ＝180°. 又∵在△ ABD 中，∠1＋∠2＋∠ ADB ＝180°， ∴∠ ADB ＝∠3＋∠4＋∠ C ， 即∠ ADB ＝∠ CAD ＋∠ CBD ＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 方法二：如图3，连接 CD 并延长至点 F . ∵∠1和∠3分别是△ ACD 和△ BCD 的一个外角…… 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 1 2 3 4 5 6 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ⁠； 三角形的内角和定理　 (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； 解：(2)证明：∵∠1和∠3分别是△ ACD 和△ BCD 的一个外角， ∴∠1＝∠ A ＋∠2，∠3＝∠ B ＋∠4， ∴∠ ADB ＝∠1＋∠3＝∠ A ＋∠2＋∠ B ＋∠4. ∵∠ ACB ＝∠2＋∠4， ∴∠ ADB ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB . 1 2 3 4 5 6 (3)应用：如图4， AE 是∠ CAD 的平分线， BF 是∠ CBD 的平分线， AE 与 BF 交于 点 G ，若∠ ADB ＝150°，∠ AGB ＝110°，求∠ C 的大小. 解：(3)设∠ CAE ＝ x ，∠ CBF ＝ y . ∵ AE 是∠ CAD 的平分线， BF 是∠ CBD 的平分线， ∴∠ CAD ＝2∠ CAE ＝2 x ，∠ CBD ＝2∠ CBF ＝2 y . 由材料知，∠ ADB ＝∠ CAD ＋∠ CBD ＋∠ C . 又∵∠ ADB ＝150°， ∴2 x ＋2 y ＋∠ C ＝150°.① ∵∠ AEB 是△ ACE 的外角， ∴∠ AEB ＝∠ CAE ＋∠ C ＝ x ＋∠ C . ∵∠ AGB 是△ BEG 的外角， 1 2 3 4 5 6 ∴∠ AGB ＝∠ CBF ＋∠ AEB ＝ y ＋ x ＋∠ C . ∵∠ AGB ＝∠ CBF ＋∠ CAE ＋∠ C ＝110°， ∴ y ＋ x ＋∠ C ＝110°.② 联立①②，解得∠ C ＝70°. 1 2 3 4 5 6 类型三　求“8字型”中角的度数 如图所示称为“8字型”，数量关系：∠ A ＋∠ D ＝∠ B ＋∠ C . 1 2 3 4 5 6 4. 如图，在△ ABC 和△ BDC 中，∠ A ＝80°，∠ ABD ＝55°，∠ ACD ＝20°，则∠ D ＝ °. 第4题图 115　 1 2 3 4 5 6 5. (2023烟台期末)如图，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数是 ⁠. 第5题图 提示：连接 BC ，构造“8字型”三角形. 180°　 1 2 3 4 5 6 6. 如图， AD ， BC 交于点 O ， BE ， DE 分别是∠ ABC ，∠ ADC 的平分线. (1)求证：∠ A ＋∠ ABO ＝∠ C ＋∠ CDO ； 解：(1)证明：在△ AOB 中，∠ A ＋∠ ABO ＋∠ AOB ＝180°， 在△ COD 中，∠ C ＋∠ CDO ＋∠ COD ＝180°. 又∵∠ AOB ＝∠ COD ， ∴∠ A ＋∠ ABO ＝∠ C ＋∠ CDO . 1 2 3 4 5 6 (2)若∠ A ＝40°，∠ C ＝50°，求∠ E 的度数. 解：(2)∵∠ ABC 和∠ ADC 的平分线相交于点 E ， ∴设∠ ABE ＝∠ EBC ＝ x ，∠ ADE ＝∠ EDC ＝ y ， 则∠ A ＋ x ＝∠ E ＋ y ，∠ C ＋ y ＝∠ E ＋ x ， ∴∠ A ＋ x ＋∠ C ＋ y ＝∠ E ＋ y ＋∠ E ＋ x ， 即2∠ E ＝∠ A ＋∠ C . ∵∠ A ＝40°，∠ C ＝50°， ∴2∠ E ＝90°， ∴∠ E ＝45°. 1 2 3 4 5 6 $$第十一章　三角形 专题二　活用数学思想求角的度数 1 在多边形中求解与角相关的问题时，选用恰当的方法与思想，能起到事半 功倍的效果，尤其在一些综合性较强的题目中.整体思想立足于多重条件并于一个 整体解决，以免钻“牛角尖”；分类讨论使问题的解答全面周到；转化使不规则或 抽象的问题化为规则或具体的问题，便于思考解决；方程思想往往是把几何问题转 化成代数问题进行解决. 建议用时：30分钟 (1)若∠ B ＝38°，∠ C ＝78°， AD ⊥ BC 于点 D ，求∠ EAD 的度数； 解：(1)在△ ABC 中，∠ B ＝38°，∠ C ＝78°，∴∠ BAC ＝180°－ (∠ B ＋∠ C )＝64°. ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ CAE ＝ ∠ BAC ＝32°. ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°. ∵∠ C ＝78°，∴∠ CAD ＝90°－∠ C ＝12°， ∴∠ EAD ＝∠ CAE －∠ CAD ＝20°. 类型一　运用整体思想求角的度数 【例1】如图，在△ ABC 中， AE 平分∠ BAC . (2)在(1)题中，“∠ B ＝38°，∠ C ＝78°”改为“∠ C ＞∠ B ”，其他条件不变，你 能找出∠ EAD 与∠ B ，∠ C 之间的数量关系吗？并说明理由. 解：(2)∠ EAD ＝ (∠ C －∠ B ).理由如下： 在△ ABC 中，∠ BAC ＝180°－(∠ B ＋∠ C ). ∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ CAE ＝ ∠ BAC ＝ [180°－(∠ B ＋∠ C )]. ∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°，∴∠ CAD ＝90°－∠ C ， ∴∠ EAD ＝∠ CAE －∠ CAD ＝ [180°－(∠ B ＋∠ C )]－(90°－∠ C )＝ (∠ C －∠ B ). 变式1.1如图，把一个三角尺的直角顶点 D 放置在△ ABC 内，使它的两条直角边 DE ， DF 分别经过点 B ， C ，如果∠ A ＝30°，则∠ ABD ＋∠ ACD ＝ ⁠. 变式1.1图 60°　 变式1.2一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α＋∠β＝ ⁠. 变式1.2图 解析：根据光线反射定律，可知入射光线和反射光线与平面镜的夹角相等.如图， 在四边形 ABCD 中，∠ ABC ＝180°－2∠1，∠ BCD ＝180°－2∠2，∴∠ ABC ＋ ∠ BCD ＝180°－2∠1＋180°－2∠2＝360°－2(∠1＋∠2).∵∠1＋∠2＝180°－117°＝ 63°，∴∠ ABC ＋∠ BCD ＝360°－2×63°＝234°.在四边形 ABCD 中，∵∠ ABC ＋ ∠ BCD ＋∠α＋∠β＝360°，∴234°＋∠α＋∠β＝360°，∴∠α＋∠β＝126°. 126°　 变式1.3如图，在△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线 BO ， CO 交于点 O ， CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线， BO 的延长线交 CE 于点 E ，∠1＝α，则∠2＝ ⁠ ，∠ BOC ＝ .(用含α的式子表示) α 90°＋ α　 类型二　运用分类讨论思想求角的度数 【例2】在△ ABC 中， BD 是 AC 边上的高，∠ ABD ＝30°，求∠ A 的度数. 解：当∠ BAC 为锐角时，如图1. ∵ BD 是 AC 边上的高，∴∠ ADB ＝90°， ∴∠ A ＝90°－∠ ABD ＝90°－30°＝60°； 当∠ BAC 为钝角时，如图2. ∵ BD 是 AC 边上的高，∴∠ ADB ＝90°， ∴∠ BAC ＝∠ ADB ＋∠ ABD ＝90°＋30°＝120°. 综上所述，∠ A ＝60°或120°. 变式2.1如果一个三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝90°，那么我们称这样的三角 形为“准互余三角形”.若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C ＞90°，∠ A ＝20°，则 ∠ C 的度数为 ⁠. 解析：∵△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C ＞90°，∴∠ A ＋2∠ B ＝90°或2∠ A ＋∠ B ＝90°.∵∠ A ＝20°，∴∠ B ＝35°或50°，∴∠ C ＝125°或110°. 125°或110°　 变式2.2一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 900°，那么原多边形的边数为 ⁠. 8或7或6　 类型三　运用转化思想求角的度数 【例3】在探究凸多边形的内角和时，我们通过构造三角形，从而将凸多边形问题 转化为三角形问题研究.同样，对于图中的非凸多边形 ABCDEF ，我们也可以通过 连接 AD ，求出∠ BAF ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ E ＋∠ F 的度数. (2)求出∠ BAF ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ E ＋∠ F 的度数. 解：如图， 设 DE ， AF 交于点 O . ∵∠ OAD ＋∠ ODA ＋∠ AOD ＝180°，∠ E ＋∠ F ＋∠ EOF ＝180°，∠ AOD ＝∠ EOF ， ∴∠ OAD ＋∠ ODA ＝∠ E ＋∠ F . 在四边形 ABCD 中，∠ BAF ＋∠ OAD ＋∠ ODA ＋∠ CDE ＋∠ B ＋∠ C ＝360°， ∴∠ BAF ＋∠ E ＋∠ F ＋∠ CDE ＋∠ B ＋∠ C ＝360°， 即∠ BAF ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ E ＋∠ F ＝360°. (1)请你连接 AD ，完成辅助线； 变式3.1如图，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠1的度数为 ⁠. 解析：如图，由三角形的外角性质，得∠2＝∠ A ＋∠ C ，∠ AED ＝∠ B ＋∠ D ， 所以∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠1＝∠2＋∠1＋∠ AED ＝180°. 180°　 变式3.2“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素. 如图是窗棂中的部分图案.若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝ °. 80　 类型四　运用方程思想求角的度数 【例4】如图， AD 平分∠ BAC ，∠ EAD ＝∠ EDA ，∠ B ＝54°. (1)求∠ EAC 的度数； 解：(1)∵∠ EAD ＝∠ EDA ， ∴∠ EAC ＋∠ CAD ＝∠ B ＋∠ BAD . ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ CAD ＝∠ BAD ， ∴∠ EAC ＝∠ B ＝54°. (2)若∠ CAD ∶∠ E ＝2∶5，求∠ E 的度数. 解：(2)设∠ CAD ＝2 x ，则∠ E ＝5 x ，∠ DAB ＝2 x . ∵∠ B ＝54°，∴∠ EDA ＝∠ EAD ＝2 x ＋54°. ∵∠ EDA ＋∠ EAD ＋∠ E ＝180°， ∴(2 x ＋54°)×2＋5 x ＝180°，解得 x ＝8°， ∴∠ E ＝5 x ＝40°. 变式4.1(2022眉山中考)一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数 为 ⁠. 11　 变式4.2小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于 是小马虎认真地检查了一遍.若小马虎检查后发现多算了一个内角，求这个多边形 的边数与多算的那个内角是多少度. 解：设多边形的边数是 n ，多算的内角的度数是 x ，则( n －2)×180°＝1 840°－ x . ( n －2)×180°＝10×180°＋40°－ x . ∵1 840°－ x 必为180°的倍数，0°＜ x ＜180°， ∴ x ＝40°， n ＝12. 故这个多边形边数为12，多算的那个内角是40°. $$