24.3 正多边形和圆课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十四章 圆 　24.3 正多边形和圆 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．了解正多边形和圆的有关概念． 2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．（重点） 3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．（难点） 情境导入 如图，要拧开一个边长为6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？ 知识讲解 知识点1　正多边形及有关概念 正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： (1)各边相等；(2)各角相等. 两个缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识讲解 知识点1　正多边形及有关概念 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形定义： 　　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 知识讲解 知识点1　正多边形及有关概念 正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识讲解 知识点1　正多边形及有关概念 【例1】矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 解析：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等. 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 正多边形的有关计算： (1)正n边形每一个内角的度数是 ； (2)正n边形每个中心角的度数是 ； (3)正n边形每个外角的度数是 . 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 【例 2】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 解析：每个内角为108°，则每个外角为72°， 根据多边形的外角和等于360°， ∴正多边形的边数为5， 则其中心角为360°÷5＝72°. 72 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 【例 3】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. 解析：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB， 则∠AOH＝ ＝30°， ∴AH＝ R，∴a＝2AH＝R，设边心距OH为r， 由勾股定理可得：r2＝R2－( R)2， 知识讲解 知识点2　正多边形的有关计算 【例 3】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. ∴r＝ R， ∴S＝ ·a·r×6＝ ·R· R·6＝ R2. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 1.用量角器等分圆周 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 2.用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 ①正四、八边形. 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 ②正六、三、十二边形的作法. 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 ②正六、三、十二边形的作法. 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O  12等分……. 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 点拨：【度量法】用量角器量出圆心角是120度的角；【尺规作图法】先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分． 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 解析：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取 ； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 知识讲解 知识点3　正多边形的画法 【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 随堂练习 1. 已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（　　） A．30°      B．30°或150°    C．60°    D．60°或120° B 随堂练习 2. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，求∠BAO的度数． 解：连接OB，则OB=OA， ∴∠BAO=∠ABO， ∵点O是正五边形ABCDE的中心， ∴∠AOB=360°÷5=72°， ∴∠BAO= （180°﹣72°）=54°. 随堂练习 3. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD = 5 cm，求⊙O的半径R． 解：连接OB，OC，OD， ∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边， ∴∠BOC= ×360°=120°， ∠BOD= ×360°=30°， ∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°， 随堂练习 3. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD = 5 cm，求⊙O的半径R． ∵OC=OD， ∴∠OCD=45°， ∴OC=5 × = 5（cm）． 即⊙O的半径R = 5cm． 随堂练习 4. 如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　 (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 随堂练习 4. 如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； 解析：图①中，连接OB，OC. ∵正三角形ABC内接于⊙O， ∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∠OCN＝30°，∠BOC＝120°， 随堂练习 4. 如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)求图①中∠MON的度数； 而BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN， ∴∠BOM＝∠CON， ∴∠MON＝∠BOC＝120°. 随堂练习 4. 如图所示，图①，②，③，…， ，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；　　 (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) 90° 72° (3)∠MON＝ . 课后小结 正多边形和圆 正多边形的有关计算 正多边形及有关概念 正多边形的概念 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形及有关概念 内角、外角、中心角 正多边形的性质 用量角器等分圆周，用尺规等分圆周 正多边形的画法 谢谢！同学们再见！ $$