24.2.2 .3切线长定理和三角形的内切圆课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十四章 圆 　24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．（重点） 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．（难点） 情境导入 某学校建设过程中，计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 辅助线作法： ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点. 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在 上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， 所以PA＝PB， 因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C， 所以EA＝EC，CF＝BF， 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在 上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 所以△PEF的周长＝PE＋EF＋PF ＝PE＋EC＋CF＋PF ＝(PE＋EC)＋(CF＋PF) ＝PA＋PB＝2＋2＝4. 4 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________． 解析：如图所示，连接OA、OB. ∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. 又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°， 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________． ∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°. 又易证△POA≌△POB， ∴∠OPA＝ ∠APB＝20°. 20° 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解析：过O作OQ⊥AB于Q， 设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线， 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∵∠BAC＝60°， ∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°， 知识讲解 知识点1　切线长及切线长定理 【例 3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5 cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． ∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， ∴OP＝5 cm，即铁环的半径为5 cm. 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 三角形内切圆与内心的定义： 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等. 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD. ∵等边三角形的内心为三条角平分线的交点，∴∠OCD＝30°，OD⊥BC， ∴CD＝ BC，OC＝2OD. 又由BC＝2，则CD＝1. 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 在Rt△OCD中， 根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2， 所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝ . 即⊙O的半径为 . 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 (　　) A．r   B. r   C．2r   D. r 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 (　　) 解析：连接OD，OE， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴四边形OEBD为正方形， 又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点， 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 (　　) ∴MD＝MP，同理可得NP＝NE， ∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM ＝MB＋BN＋NP＋PM ＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r. 知识讲解 知识点2　三角形的内切圆与内心 【例 6】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为 (　　) A．r   B. r   C．2r   D. r C 随堂练习 1. 如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________. 11 解析：由切线长定理易求得 CD+CE+DE=BC+AC-AB=9+10-8=11. 随堂练习 2. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， ∴AB+CD=AD+BC. 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 方法一  证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB， ∴OC⊥BD， ∵BE为⊙O的直径， ∴DE⊥BD．∴DE∥OC． 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 方法二   证明：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°， 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB，OC＝OC，    ∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL）， 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. ∴∠DOC=∠BOC， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC． 随堂练习 4. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID． 课后小结 切线长定理和三角形的内切圆 三角形的内切圆与内心 切线长及切线长定理 切线长的定义 切线长定理 辅助线的作法 相关概念 三角形的内心的性质 谢谢！同学们再见！ $$