24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十四章 圆 　24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．理解圆周角的概念． 2．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．（重点） 3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．（难点） 情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 知识讲解 知识点1　圆周角及圆周角定理 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 知识讲解 知识点1　圆周角及圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 知识讲解 知识点1　圆周角及圆周角定理 【例 1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(　　) A．25° B．30° C．35° D．50° 知识讲解 知识点1　圆周角及圆周角定理 【例 1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(　　) 解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°. 知识讲解 知识点1　圆周角及圆周角定理 【例 1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(　　) A．25° B．30° C．35° D．50° A 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 （2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 2】如图，在⊙O中， ，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°  B．75° C．60°  D．15° 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 2】如图，在⊙O中， ，∠A＝30°，则∠B＝(　　) 解析：因为 ，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C， 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠A＋2∠B＝180°， 又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°， 解得∠B＝75°. 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 2】如图，在⊙O中， ，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°  B．75° C．60°  D．15° B 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 3】如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10 cm，∠A＝30°，则BC的长为________． 解析：由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°. 在Rt△ABC中，因为∠A＝30°， 所以BC＝ AB＝ ×10＝5 cm. 5 cm 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD. 点拨：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得△ACD为直角三角形，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C都是AB所对的圆周角． 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD. 证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°， ∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°. 知识讲解 知识点2　圆周角定理的推论 【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD. ∵ ，∴∠E＝∠C， ∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD. 随堂练习 1. 已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则 ∠AOB=  ．     166° 随堂练习 2. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________. 30° 随堂练习 3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30°  B．45° C．60°  D．75° 解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°. ∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角， ∴∠A＝∠BDC＝60°. C 随堂练习 4. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数. 解析：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°， ∵∠BAD与∠DCB是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 随堂练习 5. 如图，分别求出图中∠x的大小.  解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. 图（1） 图（2） 随堂练习 5. 如图，分别求出图中∠x的大小.  (2)连接BF，∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°， ∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 图（2） 随堂练习 6. 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． 解析：连接OD．∵AB是直径， ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中， BC= ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD， ∴ ∠AOD=∠BOD，∴AD=BD. 随堂练习 6. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长． ∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2， ∴ 随堂练习 7. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC． 证明：∵∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC. 随堂练习 8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解析：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外(即⊙O外) ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”. 随堂练习 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E. (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： . （1）解析:BD=CD．理由是：连接AD， ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC，∴BD=CD. 随堂练习 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E. (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： . （2）证明：由（1）可知AD平分顶角∠BAC， 即∠BAD=∠CAD， ∴ (同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等). 课后小结 圆周角定理及其推论 圆周角定理的推论 圆周角及圆周角定理 圆周角的定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系 谢谢！同学们再见！ $$