1.3 集合的基本运算（第一课时 补集）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算（补集） 人教A版2019必修第一册 情景导入 一日在庙里静坐,老和尚问小和尚:“如果你前进是死,后退是亡,那你怎么办?”小和尚说:“我从旁边绕过去.” 问题:若将老和尚设定的运动方向作为元素,构成一个集合C={前进,后退},则怎样描述集合A={前进}与B={后退}的关系? 集合A={前进}与B={后退}互补.没有公共元素. 温故知新 并集和交集的概念及其表示 类别概念 自然语言 符号语言 图形语言 并集 由组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”) A∪B＝ {x | x∈A或x∈B} 交集 由组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“A交B”) A ∩ B= {x | x∈A且x∈B} A B A B 概念讲解 思考：观察下列三个集合:集合S与集合A、B之间有什么关系？S={x|x是高一年级的同学},A={x|x是高一年级参加军训的同学},B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}. 通过观察可以发现，集合A,B与集合S之间具有一种关系： S=A∪B 由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B. 概念讲解 全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素， 那么就称这个集合为全集，通常记作U. 定义 思考：全集一定包含任何元素吗? 提示:不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可. 概念讲解 补集 对于一个集合A ，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集．记作：СUA 定义 文字语言 符号语言 图形语言 性 质 СUA＝{x|x∈U 且 xA} A СUA U A∪=U;A=∅;=A;=∅; ∅=U. 概念讲解 例1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB. 解：U={1，2，3，4，5，6，7，8} CUA={4，5，6，7，8} CUB={1，2，7，8} 概念讲解 例2．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}. 求A∩B，СU（A∪B） 解：根据三角形的分类可知A∩B＝⌀， A∪B＝ {x|x是锐角三角形或钝角三角形}， СU（A∪B）＝{x|x是直角三角形} 概念讲解 方法总结 补集的求解步骤及方法(1) 步骤:①确定全集,在进行补集的简单运算时,应首先明确全集; ②紧扣定义求解补集.(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集的性质求解. 概念讲解 练习1：已知全集U, A={1, 3, 5, 7} , CUA={2, 4, 6} , CUB={1, 4, 6},求集合B 解：因为A={1, 3, 5, 7} , CUA={2, 4, 6} , 所以U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . 又因为CUB={1, 4, 6}, 所以B={2, 3, 5, 7} . 概念讲解 练习2.设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求，及 解：把集合A，B在数轴上表示如下： 由图知＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以＝{x|x≤2，或x≥10}．因为＝{x|x<3，或x≥7}，所以∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 概念讲解 1.已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是　　.  分析：先求出∁RB,再借助于数轴求实数a的取值范围. 解:∵B={x|1<x<2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}. 又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R, 利用如图所示的数轴 可得a≥2. 概念讲解 2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(∁RA)∪B≠R,求a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求a的取值范围. 分析：本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集. 概念讲解 解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x<0,或x>2}. 设(∁RA)∪B=R,如图所示. ∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1, ∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<-1,或a>0}. (2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀, ∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集, 即{a|a<-1,或a>0}. 概念讲解 方法总结 (1)运用补集思想求参数范围的方法: ①否定已知条件考虑反面问题; ②求解反面问题对应的参数范围; ③将反面问题对应的参数范围取补集. (2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想. 情景导入 已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”． 应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了． 概念讲解 思考1：观察以下几个例子，类比实数的加法运算，找出下面两个集合是否可以“相加”呢？ (1) A={1,3,5}，B={2,4,6}， C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数} 通过观察可以发现，集合A,B与集合C之间具有一种关系： 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. 概念讲解 并集 一般地，由所有属于集合A或B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”， 定义 文字语言 符号语言 图形语言 A B 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）． A∪B=B∪A;A∪A=　 　;A∪⌀=　 　;A⊆B⇔A∪B=B. A A 性 质 A∪B={x | x∈A,或x∈B} 概念讲解 例1.设集合A={4，5，6，8}，集合B={3，5，7，8},求A∪B。 解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8} 注意：因为集合中的元素具有“互异性”，因此相同元素在并集中只出现一次。 练习：设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}， 则M∪N＝(　　) A．{0}　　 B．{0,2}　　 C．{－2,0}　　 D．{－2,0,2} 概念讲解 例2.设A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3},求A∪B . 解： A∪B={x|-1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} ={x|-1＜x＜3} 。 -1 。 1 。 2 。 3 0 练习：已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5} ，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} 概念讲解 思考2：观察以下几个集合，集合A,B与集合C之间有什么关系？ （1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝ （2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝， B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝， C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝． 通过观察可以发现，集合A,B与集合C之间具有一种关系： 集合C是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的. 概念讲解 交集 一般地，由所有属于集合A且B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”， 定义 文字语言 符号语言 图形语言 A∩B=B∩A;A∩A=　 　;A∩⌀=　 　;A⊆B⇔A∩B=A A 性 质 A ∩ B={x | x∈A,且x∈B} A B ⌀ 概念讲解 例3.立德中学开运动会，设A={| 是本次参加百米赛跑的同学}，B={| 是 本次参加跳远的同学}，求A∩B. 解：由题意A∩B= {|是本次参加百米赛跑且参加跳远的同学} 练习：设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=(　　).A.{0,1}　 B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} B 概念讲解 例4.设平面内直线上的点的集合为A，直线上的点的集合为B，试用集合的 运算来表示直线和的关系。 解：平面内的两条直线有三种位置关系：①相交于一点；②平行；③重合 ①直线和 相交于一点P，则A∩B={点P} ②直线// ，则A∩B=⌀ ③直线和 重合，则A∩B= = 概念讲解 练习：已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=(　　).A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5} C 将集合A,B在数轴上标出,如图所示, 由图可知A∩B={x|2<x<3},故选C 概念讲解 1.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围. 分析:A∪B=A等价于B⊆A, 分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. 借助于数轴,列出关于m的不等式组,解不等式组得到m的取值范围. 概念讲解 解:∵A∪B=A,∴B⊆A.∵A={x|0≤x≤4}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀. 当B=⌀时,有m+1>1-m,解得m>0. 当B≠⌀时,用数轴表示集合A和B,如图所示, 综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1. 概念讲解 2.已知集合A={x|2a≤x≤a+3}，B={x | x<-2, 或 x>5 }. 若A∩B ＝，则a的取值范围是 . ①当A=时，由2a>a+3得a>3； ②当A≠时，有-2≤2a≤a+3≤5，得-1≤a≤2 综上，a>3，或-1≤a≤2 分析:因为B∩ ＝需要分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论. 借助于数轴,列出关于a的不等式组,解不等式组得到a的取值范围. 课堂小结 ∵B⊆A,∴解得-1≤m≤0. $$