3.1 比例线段 课件 2024-2025学年湘教版 数学九年级上册

3.1 比例线段 知识点 比例的基本性质 1 1. 比例：四个实数，如果写成式子a∶b＝c∶d 或＝，那么称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项. 课堂新授 2. 比例的基本性质: 如果＝，那么ad＝bc(b，d ≠ 0). (1)比例的基本性质中的等积式是依据等式的性质得出的. (2)比例的基本性质可以逆用，即由等积式可以直接得出比例式. 提示：已知比例式中的三个量，可以根据比例的基本性质求出第四个量. 课堂新授 特别提醒 如果ad＝bc，那么＝ (b，d ≠ 0)或＝(c，d ≠ 0)或＝(a，b ≠ 0)或＝ (a，c ≠ 0). 课堂新授 3. 合比性质： 如果＝ ，那么＝ (b，d ≠ 0). 推导： 如果＝(b，d ≠ 0)， 那么等式两边同时加上或减去1，得＝ . 课堂新授 4. 等比性质： 如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn ≠ 0， 那么＝ . 这是等比性质成立的前提 课堂新授 证明：设＝＝…＝＝k， 则a1＝b1k，a2＝b2k，…，an＝bnk， ∴ ＝ ＝k＝. 课堂新授 拓展: (1)如果＝＝…＝(b1＋b2 ≠ 0， …，b1＋b2＋…＋bn ≠ 0)，＝…＝＝ ＝＝…＝. (2)利用分式的基本性质，将连等式中一个比的前项与后项同时乘一个非零数后，仍可利用等比性质. 课堂新授 如：＝＝→ ＝＝→＝(b1－2b2＋3b3 ≠ 0). 课堂新授 [母题 教材 P63 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于( ) A. 1 B. 10 C. D. 解题秘方：紧扣“比例的定义”列比例式求解. 例1 课堂新授 解：由题意得＝ . ∵a＝2，b＝4，c＝5，∴＝. ∴d＝10. 答案：B 课堂新授 1-1. [母题 教材 P63T1 ]已知 3， 4， 5， x 成比例，则 x 的值为(     ) A． B． C． D． 6 C 已知＝＝，则 ＝_______. 解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或参数法求解. 例2 课堂新授 解：方法一 由＝，得y＝. 由＝，得z＝2x. 易知x ≠ 0，∴原式＝＝＝. 方法二 设＝＝＝k，∴ x＝2k，y＝3k，z＝4k. 易知k ≠ 0，∴原式＝＝＝. 课堂新授 教你一招 利用比例的基本性质求代数式的值的方法： 1. 消元法，即用含有同一个字母的代数式表示其他的字母，然后代入求值； 2. 参数法，即当条件中出现多个比值相等时，根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入代数式求值. 课堂新授 2-1.若 = = ( a b c ≠ 0)， 则= __________． 知识点 成比例线段 2 1. 两条线段的比： 一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作＝，或AB∶A′B′＝m∶n. 课堂新授 2. 成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 课堂新授 特别提醒 判断四条线段是否成比例，首先统一单位， 然后将这四条线段按长度的大小顺序排列，最后计算前两条线段的比值和后两条线段的比值是否相等即可. 课堂新授 [母题 教材 P65 例 3 ]下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( ) A. 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B. 2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C. 3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 解题秘方：紧扣“成比例线段的定义”进行判断. 例3 课堂新授 答案：C 解：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析. A. ≠ ，故不是成比例线段；B. 0.6 dm＝6 cm， ≠ ，故不是成比例线段；C. 1.8 dm＝18 cm， ＝，故是成比例线段；D. ≠ ，故不是成比例线段. 课堂新授 3-1. 已知a， b， c， d 是成比例线段，即 ＝，其中 a=8 cm， b=4 cm， c=12 cm，则 d= _______cm． 6 [母题 教材 P66 练习 T2 ]某市的两个旅游景区之间的距离为105 km，在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于( ) A. 一根火柴的长度 B. 一支钢笔的长度 C. 一支铅笔的长度 D. 一根筷子的长度 例4 课堂新授 答案：A 解题秘方：根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列方程求解. 解：105 km=10 500 000 cm.设图上距离为x cm， 则x∶10 500 000＝1∶2 000 000， 解得x＝5.25. ∴它们之间的图上距离为5.25 cm，约为一根火柴的长度. 课堂新授 4-1.已知在比例尺为1∶ 4 000 000的地图上，量得上海市到杭州市两地的距离是 3.5 cm，那么上海到杭州的实际距离是 ________km. 140 知3－讲 知识点 黄金分割 3 1. 把一条线段AB分成不相等的两部分，使其中较短线段CB与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比，那么称线段AB被点C黄金分割. 点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比. 课堂新授 知3－讲 2. 二级结论：黄金分割比为，它约等于0.618. 3. 拓展：顶角为36°的等腰三角形底角的平分线把对边黄金分割. 课堂新授 知3－讲 易错警示 一条线段有两个黄金分割点，在实际问题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段. 课堂新授 如图 3.1-1，乐器上的一根弦 AB=80 cm，两个端点 A， B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点C，D 之间的距离为 ___________ cm．(结果保留根号) 例5 (80 －160) 解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割比进行计算 . 解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm， ∴ AC= AB ＝(40 － 40) cm. ∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm， ∴ DB= AB ＝(40 － 40) cm. ∴ CD ＝ AC+BD － AB ＝(80 － 160) cm. 5-1. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割” . 如图 5-1，点 P 为线段 AB 的黄金分割点( AP ＞ PB)，则下列结 论中正确的是 (     ) A. AB2 ＝ AP2+BP2 B. BP2 ＝ AP· BA C. = D. = D 如图3.1-2，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC. 若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积， 则S1与S2的大小关系为( ) A. S1>S2 B. S1＝S2 C. S1<S2 D. 不能确定 例6 课堂新授 解题秘方：紧扣黄金分割的定义，比较两个图形的面积大小. 答案：B 解：根据黄金分割的定义得到BC2＝AC·AB. ∵ S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，∴ S1＝BC2，S2＝AC·AB，∴ S1＝S2 . 故选B． 课堂新授 6-1.如图，点 R 是正方形 ABCD 的 AB 边 上的黄金分割点，且 AR>RB， S1 表示以 AR 为边长的正方形的面积；S2 表示以 BC 为长， BR为宽的矩形的面积， S3表 示 正方形 ABCD 除去 S1， S2 剩 余 部 分 的面 积，则 S1 ∶ S2 的 值为______ ． 1 比例线段 比例线段 成比例线段 特例 黄金分割 变形 比例的 基本性质 归纳总结 $$