4.4 解直角三角形的应用 课件 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

4.4 解直角三角形的应用 知识点 解直角三角形在实际中的应用 1 1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 课堂新授 2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示： 图形 关系式 图形 关系式 AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ ) 课堂新授 续表 图形 关系式 图形 关系式 AB＝DE＝AE·tanβ， CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋ tanβ) BD＝BC－DC＝ AC·，AG＝AC＋CG＝ AC＋BE 课堂新授 续表 图形 关系式 图形 关系式 BC＝BD＋DC＝AD· BC＝BE＋EF＋CF＝BE＋AD＋CF＝AD＋h· 课堂新授 特别提醒 1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解. 2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解. 3. 问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解. 课堂新授 如图4.4-1 所示，某居民楼Ⅰ高20 m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2 m，窗户CD高1.8 m. 现计划在居民楼Ⅰ的正南方30 m处新建一居民楼Ⅱ . 当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使居民楼Ⅱ的影子不影响居民楼Ⅰ所有 住户的采光，新建居民楼Ⅱ最高只 能建多少米？ 例1 课堂新授 解题秘方：解本题的关键是将实际中的相关数据， 通过建立数学模型，归结到直角三角形中，再用三角函数(正切)求解 . 解：设正午时，太阳光线正好照在居民楼Ⅰ一楼住户的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高x m，如图4.4-1 所示， 过点C作CF⊥l于F， 则∠ EFC=90° . 课堂新授 在Rt△ECF中，由题意知EF＝(x－2)m ，FC＝30 m， ∠ECF＝30°， ∵ tan ∠ECF＝＝， ∴ ＝.∴ x＝10＋2. 答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(10＋2)m. 课堂新授 感悟新知 1-1.如图，某居民小区有一栋朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该 楼 前面 20 米处要盖一栋高 25 米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹 角为 29 ° (参考数据： sin29° ≈ 0.48；cos 29 ° ≈ 0.87； tan29° ≈ 0.55) . 感悟新知 (1)冬至正午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ 解：冬至正午时，超市以上的居民住房采光有影响． 理由：如图，延长光线交CD于点F， 过点F作FG⊥AB，垂足为点G. 则∠AGF＝90°，∠AFG＝29°. 由题意得，GF＝BC＝20米， GB＝FC. 感悟新知 感悟新知 (2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？(结果保留整数) 某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经过某一隧道，如图 4.4-2 所示，已知隧道口分别为D，E. 为了如期完工，需测量出DE的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C，测得BC＝ 200 m，∠ABC＝105°，∠C＝45°，AD＝18 m，BE＝32 m，且A，D，E，B 在同一条直线上，已知该工程限定时间为10 天，该工程 队每天至少需要施工多少米？(结果保留小数 点后一位，参考数据：≈ 1.414） 例2 课堂新授 解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形. 课堂新授 解：如图4.4-2，过点B作BF⊥AC于点F， 则∠ AFB=∠ CFB=90° . ∵∠ABC＝105°，∠C＝45°， ∴∠A＝30°. 在Rt△BFC 中， BC=200m， ∠ C=45° .∵ sinC＝， ∴ BF＝BC·sin C＝200×＝100 (m). 课堂新授 在Rt△AFB中，∵∠A＝30°， ∴ AB＝2BF＝200 m. 又∵ AD＝18 m，BE＝32 m， ∴ DE＝AB－AD－BE＝200－18－32＝150(m)， ∵ 150÷10=15≈ 21.3(m)， ∴该工程队每天至少需要施工21.3 m. 计算结果必须根据题目要求进行保留. 课堂新授 方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解. 课堂新授 感悟新知 2-1. [二模·滁州]如图，在修建公路 AD 时，需要挖掘一段隧道 BC，已知点 A， B， C， D 在同一条直线上， CE ⊥ AD，∠ ABE =143° ， BE =1 500 米 . 感悟新知 (1)求隧道两端 B， C之间的距离 .(精确到个位，参考数据： sin37° ≈ 0.60， cos 37° ≈0.80， tan 37° ≈ 0.75) 感悟新知 (2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从 B，C 两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前 2 天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？ 课堂新授 知识点 解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用 2 1. 仰角和俯角的定义： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角. 课堂新授 特别提醒 ◆仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”. ◆实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线. 课堂新授 解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用 2. 示图(如图4.4-3)： 课堂新授 感悟新知 [ 中考·长沙 ] 2023 年 5 月 30 日 9 点 31 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图 4.4-4 所示，在发射 的过程中，飞船从地面 O 处发射， 当飞船到达 A 点时，从位于地面 C 处的雷达站测得 AC 的距离是 例3 感悟新知 8 km，仰角为 30 °；10 s 后飞船到达 B 处，此时测得仰角为 45°． (1)求点 A 离地面的高度 AO； (2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 0.1 km/s，参考数据： 3 ≈ 1.73) 感悟新知 解题秘方：结合题目中的“仰角”将实际问题转化为解直角三角形求解 . 感悟新知 (1)求点 A 离地面的高度 AO； 解：在 Rt △ AOC 中， ∵∠ AOC=90° ， ∠ ACO=30° ，AC=8 km， ∴ AO= AC= ×8=4( km) . ∴ 点 A 离地面的高度 AO 为4km. 感悟新知 (2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 0.1 km/s，参考数据： ≈ 1.73) 解：在 Rt △ AOC 中， ∵ ∠ AOC=90 ° ， AO= 4km，AC=8 km， ∴ 由勾股定理得 OC= = =4 ( km). 感悟新知 在 Rt △ BOC 中， ∵∠ BOC=90° ， ∠BCO=45° ， ∴∠ BCO= ∠ OBC=45° . ∴ OB=OC=4 km. ∴ AB=OB－OA=(4 －4) km. ∴飞船从 A 处到 B 处的平均速度为 ≈ 0.3( km /s). ∴飞船从 A 处到 B 处的平均速度约为 0.3km /s. 感悟新知 3-1. [中考·张家界]“游张家界山水，逛七十二奇 楼 ”成 为 今 年 旅 游新 特 色．某 数 学 兴 趣小组用无人机 测量奇楼 AB 的高度，测量方案如图：先 将 无 人 机垂直 上升至 距 水平 地面 225m 的 P 点， 测得 奇 楼顶端 A 的 俯 角为 15° ，再将无人机沿 感悟新知 水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97，tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m， 感悟新知 知识点 解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用 3 1. 坡角与坡度(坡比)的定义： (1)坡角：坡面与水平面的夹角，如图4.4-5 中的α . 课堂新授 解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用 (2)坡度(坡比)：如图4.4-5，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即i＝(坡度通常写成1∶m的形式). 课堂新授 解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用 2. 坡度与坡角的关系： i＝＝tan α ，即坡度等于坡角的正切，坡角越大，坡度也就越大. 课堂新授 特别提醒 1. 坡度是两条线段长的比值，不是度数. 2. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数. 3. 物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓. 课堂新授 感悟新知 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山． 需要登顶 600 m 高的山峰，如图 4.4-6 所示，由山底A 处先步行 300 m 到达 B 处，再由 B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处 . 已知点 A， B， D， E， F 在同一平面内，山坡 AB 的坡角为30°，缆车行驶路线 BD 与水平面的夹角为 53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)． 例4 感悟新知 (1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33) 感悟新知 解题秘方：将分散的条件集中到△ BDE，通过解直角三角形求解 . 感悟新知 (1) 求登山缆车上升的高度 DE； 解：如图 4.4-6，过 点 B 作 BM ⊥ AF 于 点 M，则∠ AMB ＝ 90° . 由题意可知， ∠ A ＝ 30° ， ∠ DBE ＝ 53° ， DF ＝ 600 m， AB ＝ 300 m. 感悟新知 在 Rt △ ABM 中， ∠ A ＝ 30° ， AB ＝ 300 m， ∴ BM ＝ AB ＝ × 300 ＝ 150( m) . ∵易得四边形 BMFE 为矩形， ∴ EF ＝ BM ＝ 150 m. ∴ DE ＝ DF－EF ＝ 600－150 ＝ 450(m) . ∴登山缆车上升的高度 DE 为 450 m. 感悟新知 (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33) 感悟新知 解：在 Rt △ BDE 中， ∠ DBE ＝ 53° ， ∠ DEB ＝ 90° ，DE ＝ 450 m. ∵ sin ∠ DBE ＝ ， ∴ BD ＝ ≈ ＝ 562.5( m) . ∴ 需要的时间 t ＝ t 步行 +t 缆车≈ + ≈ 19.4( min). ∴ 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要 19.4min． 感悟新知 4-1. [ 模拟·泰州靖江 ] 如图，斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为1∶ 2， AC ＝ 3 米，坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连，若 AB ＝ 10米，则旗杆 BC 的高度为 ______． 5米 感悟新知 知4－讲 知识点 解直角三角形在解方向角问题中的应用 4 名称 定义 举例 方向角 方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南方向为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角 . 目标方向线 OA， OB ， OC 的方向角可以分别 表示为北偏东 30° ， 南偏东 45° ，北偏西 45° ， 其中南偏东 45° 习惯上 又叫作东南方向，北偏西 45°习惯上又叫作西北方向 . 知4－讲 感悟新知 特别提醒 1. 方向角通常以南北方向线为主，分南偏东(或西)和北偏东(或西)，观察点不同，所得的方向角也不同，但各个观察点的南北方向线是分别互相平行的. 2. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形来求解. 感悟新知 如图 4.4-7 所 示，灯 塔 A 周 围 9 海 里内有暗礁． 一渔船由东向西航行至 B 处，测得灯塔 A 在北偏西58°方向上，继续航行 6 海里后到达 C 处，测得灯塔 A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据： sin 32° ≈ 0.530， cos 32° ≈ 0.848， tan 32° ≈0.625， sin 58° ≈ 0.848， cos 58° ≈ 0.530， tan 58° ≈ 1.600) 例5 感悟新知 解题秘方：根据题意作 AD ⊥ BC，构造直角 三角形，设AD=x 海里，根据等腰直角三角形的性质用 x 表示出 CD，根据正切的定义用 x 表示出 BD，结合图形列方程求解． 感悟新知 解：如图 4.4-8，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D，则∠ ADB ＝90° . 设 AD ＝ x 海里 . 由题意得， ∠ ABD ＝ 32° ， ∠ ACD ＝ 45° ， BC ＝ 6 海里， ∴ 在 Rt △ ACD 中， ∠ ACD ＝∠ CAD ＝ 45° . ∴ AD ＝ CD ＝ x 海里 . ∴ BD ＝ BC+CD ＝(6+x)海里 . 感悟新知 在 Rt △ ABD 中， tan ∠ ABD ＝ ， ∴ AD ＝ BD· tan ∠ ABD，即 x ≈ 0.625( x+6) . 解得 x ≈ 10. ∵ 10 ＞ 9， ∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险． 感悟新知 方法总结：求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一般都是求出暗礁中心到航线的距离，或城市中心(目标中心)到台风移动路径的距离，或学校到噪声源移动路径的距离，将这些距离与暗礁半径或台风影响半径或噪声影响半径比较大小，距离小于或等于半径有影响，距离大于半径没有影响 . 感悟新知 5-1.[ 中考·郴州] 某次军事演习中，一艘船以40 km/h 的速度向正东航行，在出发地 A 测得小岛 C 在它的北偏东60° 方向， 2 h 后到达 B处，测得小岛 C 在它的北偏西 45° 方向，求该船在航行过程中与小岛C 的最近距离(参考数据： ≈1.41， ≈1.73．结果精确到 0.1km)． 感悟新知 感悟新知 解直角三角形的应用 解直角 三角形 的应用 类型 一般步骤 一般测量问题 仰角和俯角问题 坡角和坡度问题 方向角问题 归纳总结 在Rt△AGF中，tan∠AFG＝， ∴AG＝GF·tan 29°≈20×0.55＝11(米)． ∵AB＝25米，∴GB＝AB－AG≈25－11＝14(米)． ∴FC＝GB≈14米． ∵14＞6， ∴冬至正午时，超市以上的居民住房采光有影响． 解：如图，延长光线交直线BC于点E. 则∠AEB＝29°， 在Rt△ABE中，AB＝25米， tan∠AEB＝， ∴BE＝≈≈46(米)． ∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距46米． 解：∵∠ABE＝143°，∴∠EBC＝180°－143°＝37°. ∵CE⊥AD，∴∠BCE＝90°. 在Rt△BCE中，BE＝1 500米，cos∠EBC＝， ∴BC＝BE·cos 37°≈1 200米． ∴隧道两端B，C之间的距离约为1 200米． 解：设原计划单向开挖每天挖x米，则实际相向开挖每天挖(1＋20%)x米．由题意，得 －＝2， 解得x＝100. 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意． ∴原计划单向开挖每天挖100米． 在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°， ∴∠QBC＝45°＝∠BQC，∴CQ＝BC＝225 m. ∴PC＝PQ＋CQ＝425 m. 在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝＝≈0.27， ∴AC≈114.75 m. ∴AB＝BC－AC≈225－114.75＝110.25(m)≈110 m. ∴奇楼AB的高度约为110 m. 解：由题意得AB＝40×2＝80(km)， ∠CAB＝30°，∠ABC＝45°. 如图，过C作CD⊥AB于D， 则∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△ADC中，tan∠CAD＝， ∴AD＝＝＝CD. 在Rt△BCD中，易得∠BCD＝∠DBC＝45°， ∴BD＝CD. ∵AB＝80 km，∴CD＋CD＝80 km. 解得CD＝40－40≈29.2(km)． ∴该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.2 km. $$