4.2 正　切 课件 - 2024—2025学年湘教版 数学九年级上册

4.2 正　切 知识点 正切 1 1. 正切的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α 在Rt△ABC 中， tan α＝ 课堂新授 2. 特殊角的正切值： α 30° 45° 60° tan α 1 课堂新授 3. 利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角： 所求值 计算器的按键顺序 求tan x°的值 求tan x°y′z′′的值 已知tan x°＝a， 求x 的值 课堂新授 4. 拓展： (1)互余两角的正切值之间的关系： tan α·tan(90°－α)＝1. (2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系： tan α ＝. 课堂新授 特别提醒 1. tan α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成tan · α. 2. tan α中的∠α的符号“ ∠”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或数字表示的角，角的符号不能省略. 3. tan α的值只与∠α的大小有关，与所在直角三角形的边的长短无关. 4. 正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度数. 课堂新授 [中考·桂林] 如图4.2-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为点D，则 tan ∠BCD＝________. 例1 课堂新授 解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边，求出正切值，或求出与之相等的锐角的正切值. 解：根据题意得∠BCD＝∠CAB， 所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝＝＝. 课堂新授 感悟新知 1-1.已知∠ A+ ∠ B=90° ，且 cosA ＝ ，则tanB 的值为(     ) A． B． C． D． C (1)已知α＝45°，求2sin2α－2sinα·tanα＋tan2α的值； 解：原式＝( sinα－tanα)2＝ (sin 45°－tan 45°)2＝2 ＝0. 解题秘方：用“代入法”求值. 例2 课堂新授 (2)计算tan2 45°＋ －3cos2 30°－的值. 解题秘方：用“代入法”求值. 解：原式＝×12＋－3×2－＝＋4－－1＝1. 课堂新授 感悟新知 2-1. [ 模拟·株洲二中]计算： sin230° +cos245° + ·sin60°·tan45° . 感悟新知 [ 期末·嘉峪关 ] 在 △ ABC 中， | 2cos A － 1 | +( － tan B)2=0，则△ ABC 的形状是__________． 例3 等边三角形 感悟新知 解：由题意得 2cos A － 1 ＝ 0， － tan B ＝ 0， 解得 cos A= ， tanB= ， ∴∠ A ＝ 60° ， ∠ B ＝ 60° ． ∴∠ C ＝ 60° ， ∴△ ABC 是等边三角形． 解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状 . 感悟新知 教你一招： 已知特殊角的三角函数值求特殊角的度数时，要注意两点： 一是要求的角是锐角； 二是看准三角函数的类别，同样的函数值，不同的类别，角的度数一般不一样. 感悟新知 3-1. [ 月考·北京海淀区] 在△ ABC 中，若∠ A，∠ B 均为锐角， 且｜ sin A－｜ +( 1－tanB) 2 ＝ 0，则∠ C 的度数是(     ) A． 45° B． 60° C． 75° D． 105° C 感悟新知 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代 数问题 是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算 tan15 °时，可构造如图 4.2-2 所示的图形．在Rt △ ACB 中，∠ C ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30°， AC ＝ x( x ＞ 0)，延长 CB 至点 D，使得 BD ＝ AB，连接 AD，易知∠ D ＝ 15°， CD ＝ BD+BC ＝ AB+BC ＝ 2x+ x， 所以 tan15°＝ tanD ＝… 例4 感悟新知 任务： (1)请根据上面的步骤，完成 tan15°的计算． (2)类比这种方法，画出图形，并计算 tan22.5°的值． 感悟新知 解题秘方：类比材料中的构造办法利用 45 ° 角构造出22.5° 角，再根据正切的定义求解 . 感悟新知 (1)请根据上面的步骤，完成 tan15°的计算． 解：由题意可得 ∠ D=15° ， AC ＝ x， CD ＝ 2x+ x ， ∴ tan15° =tan ∠ D= = =2 － ， 即 tan15° 的值是 2 － . 感悟新知 (2)类比这种方法，画出图形，并计算 tan22.5°的值． 解：如图 4.2-3 所示， 在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90 ° ， ∠ ABC ＝ 45 ° ，延长CB 到点 D， 使得 BD ＝ AB，连接 AD，易知∠ D ＝ 22.5 ° . 感悟新知 设 AC ＝ BC ＝ x( x>0) ，则 AB ＝ BD= x， 故 CD ＝BC+BD ＝ x+ x， ∴ tan22.5° =tan ∠ D= = = － 1， 即 tan22.5° 的值是 － 1． 感悟新知 4-1.如图，在 △ ABC中， ∠ C=150 ° ， AC=4， tanB= ． (1)求 BC 的长； 感悟新知 感悟新知 (2)利用此图形求tan15° 的值(精确到 0.1，参考数据： ≈ 1.4， ≈ 1.7， ≈ 2.2) 例 5 [母题 教材 P119 练习 T2 ]用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，sin 72°38′25″的值. 解题秘方：按计算器的使用说明求值. 例5 课堂新授 解：如下表： 按键顺序 显示结果 sin 16° 0.275 637 355 cos 42° 0.743 144 825 tan 85° 11. 430 052 3 sin 72°38′25″ 0.954 450 312 课堂新授 感悟新知 5-1.用计算器求下列各式的值：(精确到 0.000 1) (1) sin23° 5′ ＋ cos66° 55′； (2) cos14° 28′ － tan42° 57′； (3) sin27.8° － cos65° 37′ ＋ tan49° 56′； 解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2×0.392 07≈0.784 1. 原式≈0.968 29－0.930 88≈0.037 4. 原式≈0.018 42－0.412 84＋1.188 94≈0.794 5. [母题 教材 P119 练习 T3 ]已知下列锐角的三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数. (1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)； (3)tan α=3.549 2(精确到 0.01°)． 解题秘方：按计算器的使用说明依次按键. 例6 课堂新授 (1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； 解：依次按键： ，显示结果为31.117 845 56，即∠ A ≈ 31.12° . 课堂新授 (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″). 解：依次按键： ， 显示结果为47°31′21.18″，即∠A ≈ 47°31′21″. (3)tan α=3.549 2(精确到 0.01°)． 解：依次按键： ， 显示结果为74.264 624 79° ，即 α ≈ 74.26° . 课堂新授 感悟新知 6-1. [ 期中·烟台芝罘区] 已知 tanA ＝ 0.85，用计算器求∠ A 的大小，下列按键顺序正确的是(     ) A 知识点 锐角三角函数 2 1. 定义: 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α ，都有唯一确定的比值sin α (或cos α ，tan α)与它对应. 当锐角α变化时，它的比值sin α(cos α ，tan α)也随之变化. 因此，我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数. 课堂新授 2. 特殊角的三角函数值: α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 课堂新授 特别提醒 ◆并非只有在直角三角形中才有三角函数值，而是只要有角就有三角函数值. ◆锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系，它是一个比值，无单位，这些比值只与锐角的大小有关. 在锐角三角函数中，自变量是∠α . 课堂新授 如图4.2-4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 求出∠A的三个三角函数值. 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解. 例7 课堂新授 感悟新知 解法提醒 已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值. 解：如图4.2-4，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，c＝10， ∴ b＝＝＝8. ∴ sin A＝＝＝，cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. 课堂新授 感悟新知 7-1.在锐角三角形ABC 中， AB=15， BC=14， S△ABC=84，求： (1)tan C 的值； 感悟新知 (2)sin A 的值． 在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝( ) A. B. C. D. 解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示三角形三边，再用定义求解. 例8 课堂新授 答案：B 解：由sin A＝＝，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k， 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝＝＝. 课堂新授 感悟新知 8-1. [ 期中·上海杨浦区 ] 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ° ， AB=26，tan A= ， 那么BC= _________． 10 如图4.2-5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B的三个三角函数值. 解题秘方：紧扣“三角函数的前提是直角三角形”这一特征，用“构造直角三角形法”求解. 例9 课堂新授 解：过点A作AD⊥BC于点D，如图4.2-5， ∵ AB＝AC，∴ BD＝DC. ∵ 2AB＝3BC，∴＝. 设AB＝AC＝3k(k>0)，则BC＝2k. ∴ BD＝CD＝k， ∴ AD＝ ＝＝＝2k. ∴ sin B＝＝＝，cos B＝＝＝， tan B＝＝＝2. 课堂新授 感悟新知 9-1.如图所示， 在△ ABC 中， D 是 AB的中点， DC ⊥ AC，且 tan ∠ BCD= ，求sinA， cosA， tanA 的值 . 课堂新授 正 切 锐角 三角 函数 正弦 正切 余弦 定义 特殊角的正切值 一般锐角的正切值 归纳总结 解：原式＝2＋2＋××1＝ ＋＋＝＋. 解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 如图所示． ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°. 在Rt△ADC中，AC＝4，∴AD＝AC＝2， CD＝AC·cos30°＝4×＝2. 在Rt△ABD中，tanB＝＝＝， ∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2. 解：在BC边上取一点M，使得CM＝AC， 连接AM，如图所示． ∵∠ACB＝150°， ∴∠AMC＝∠MAC＝15°， 由(1)得CD＝2，∴MD＝MC＋CD＝AC＋CD＝4＋2， ∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3. 解：如图，过A作AD⊥BC于点D. ∵S△ABC＝BC·AD＝84， ∴×14×AD＝84，∴AD＝12. 又∵AB＝15，∴BD＝＝9. ∴CD＝CB－BD＝14－9＝5.∴tanC＝＝. 解：过B作BE⊥AC于点E. 在Rt△ADC中，AC＝＝13. ∵S△ABC＝AC·EB＝84，∴BE＝， ∴sin∠BAC＝＝＝. 解：如图，过点D作ED∥AC，交BC于E， ∴∠ACD＝∠CDE＝90°.∵tan∠BCD＝＝， ∴设DE＝x，则CD＝3x. ∵ED∥AC，D是AB的中点，∴DE＝AC. ∴AC＝2DE＝2x. 在Rt△ACD中，AC＝2x，CD＝3x， ∴AD＝＝＝x， ∴sinA＝，cosA＝，tanA＝. $$