4.1 正弦和余弦 课件 - 2024—2025学年湘教版 数学九年级上册

4.1 正弦和余弦 知识点 正弦 1 1. 正弦的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 在Rt△ABC中， sin α＝ 课堂新授 2. 特殊角的正弦值： α 30° 45° 60° sin α 课堂新授 3. 利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角： 所求值 计算器的按键顺序 求sin x°的值 求sin x°y′z′′的值 已知sin x°＝a， 求x 的值 课堂新授 特别提醒 1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° . 课堂新授 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1，那么 sin B 的值是_________ ． 例1 解：∵ 在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AB ＝ 2， BC ＝ 1， ∴ AC= ， ∴ sin B= = ． 解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边，直接求得 sin B 的值 . 1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90 ° ， sin A=， BC ＝ 2，则 AC ＝_________． [母题 教材 P113 例 2 ]计算sin 30°＋sin2 45°－sin2 60°. 解题秘方：紧扣特殊角的正弦值，直接代入并计算. 解：原式＝＋2－×2＝＋ －×＝. 例2 课堂新授 2-1. 已知 α 为锐角，且sin(α－10 ° ) = ，则 α 等于(     ) A． 70° B． 60° C． 40° D． 30° A (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)： sin 67°38′24′′； (2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)： sinα＝0.516 8. 解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确按键得出结果. 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8. α ≈ 31.1°. 例3 课堂新授 3-1. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 (     ) C 知识点 余弦 2 1. 余弦的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cos α，即cos α ＝ 在Rt△ABC中， cos α＝ 课堂新授 2. 特殊角的余弦值： α 30° 45° 60° cos α 课堂新授 3. 利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角： 所求值 计算器的按键顺序 求cos x°的值 求cos x°y′z′′的值 已知cos x°＝a， 求x 的值 课堂新授 方法点拨 锐角的正弦值和余弦值都是直角三角形的边的比值，是一个常数，它们只有大小而没有单位，它们的大小仅与角的大小有关，与它们所在直角三角形的大小无关. 锐角的大小确定了，其正弦值、余弦值也就确定了. 课堂新授 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝. 例4 课堂新授 解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边角之间的数量关系，先利用勾股定理求出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的正弦、余弦值. 解：如图4.1-1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝＝＝10. ∴ sin A＝＝＝，cos A＝＝＝. (1)a＝6，b＝8； 课堂新授 解：如图4.1-2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c＝， ∴ a＝. ∴ sin A＝＝＝，cos A＝＝＝. (2)b＝2，c＝. 课堂新授 4-1. [ 月考· 晋江 ] 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，a， b， c 分别是 ∠ A，∠ B， ∠ C 所对的边，且 2b=a+c. (1)求∠ B 的余弦值； (2) 当 b=20 时， 求 c的值． 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，若＋ 2＝0，则∠C的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 例5 课堂新授 特别警示 已知特殊角的正 (余)弦值求特殊角的度数时，要注意两点：一是要求的角是锐角；二是不要混淆正弦值与余弦值 . 答案：D 解：根据绝对值及平方的非负性，得sin A－＝0，cos B－＝0，即sin A＝，cos B＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°－30°－60°＝90° 解题秘方：紧扣特殊角的正弦、余弦值，求出锐角的度数. 课堂新授 5-1. 在 △ ABC 中， ∠ A与 ∠ B 都 是 锐角，且 |sin A－ |+|cos B－ | =0，则 △ ABC 的形状是 ____________． 等腰三角形 知识点 互余两角正弦值和余弦值的关系 3 1. 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值 . 推导过程如下： 如图 4.1-3，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90° . ∵ sin A= ， cos A= ， sin B= ， cos B= ， ∴ sin A=cos B， cos A=sin B. ∵∠ A+ ∠ B=90° ， ∴∠ B=90° － ∠ A， ∴ sin A=cos B=cos( 90° － ∠ A)， 即一个锐角的正弦值，等于它的余角的余弦值； cos A=sin B=sin( 90° － ∠ A)， 即一个锐角的余弦值，等于它的余角的正弦值 . 一般表示为：sin A=cos(90° － ∠ A) cos A=sin(90° － ∠ A) 2. 拓展： 在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90° ， a， b， c 分别为∠ A， ∠ B， ∠ C的对边，由锐角的正、余弦的定义可知 sin A= ， cos A= ，∴ sin 2A+cos 2A= ( ) 2+() 2= . ∵ a 2+b 2=c 2， ∴ sin 2A+cos 2A=1. 由 此 得 到 同 一 锐 角 的 正、余 弦 的 关 系：对 于 锐 角 α，sin 2α+cos 2α=1. 特别警示 利用同角三角函数间的关系求三角函数值时，需注意各个锐角三角函数值的范围，即 0<sin α <1， 0< cosα<1，对于不在其范围内的函数值，应舍去. [母题 教材 P116 习题 T9]已知α为锐角且sinα＝，求cos α的值. 解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解. 解：∵ sin2α＋cos2α＝1， ∴ cos2α ＝1－sin2α ＝1－ ＝， 又∵ α为锐角，∴ 0 < cos α < 1，∴ cos α ＝. 例6 课堂新授 6-1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，若 cos A=， 则 sin A 的值为________ . 计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°. 解题秘方：紧扣sin A＝cos(90°－∠A)将原式变形，再根据sin2A＋cos2A＝1 求解. 例 7 课堂新授 解：原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝44＋2＝44＋＝44. 课堂新授 7-1. 在 △ ABC 中，已知 ∠ C=90 ° ， sin A+sin B= ，求 sin A－sin B 的值． 正弦和余弦 正弦和 余弦 同角 互余角 正弦和余 弦的关系 定义 特殊角的 正弦值和 余弦值 归纳总结 4 解：由题意得b＝(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋(a＋c)2＝0， (a＋c)(a－c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝c，∴cosB＝＝. 解：当b＝20时，a＋c＝2b＝40. ∵a＝c， ∴c＋c＝40，解得c＝25. 解：∵sinA＋sinB＝，∴(sinA＋sinB)2＝， ∴sin2A＋sin2B＋2sinAsinB＝. ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA， ∴sin2A＋cos2A＋2sinAsinB＝，∴2sinAsinB＝， ∴(sinA－sinB)2＝1－＝，∴sinA－sinB＝±. $$