3.4.1 相似三角形的判定 课件 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

3.4 相似三角形的判定与性质 第1课时 相似三角形的判定 知识点 平行线截三角形相似的定理 1 1. 定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 深度理解 “与其他两边相交”是指与其他两边所在直线相交. 课堂新授 数学表达式：如图3.4-1， ∵ DE∥BC，∴△ABC ∽△ADE. 课堂新授 2. 作用： 本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例. 课堂新授 特别提醒 ◆书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. ◆根据定理得到的相 似三角形的三个基本 图形中都有BC∥DE， 图3.4-1①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图3.4-1③很像大写字母X，故我们称之为“X” 型相似(也像阿拉伯数字“8”). 课堂新授 [母题 教材 P78 例 2]如图3.4-2 所示，已知在▱ ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似的两种基本图形：‘A’型和‘X’型”进行查找. 例1 课堂新授 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF， △BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED. ∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝＝； △BEF ∽△AED，相似比k2＝＝； △CDF ∽△AED，相似比k3＝＝. 课堂新授 感悟新知 1-1. [ 期末·娄底]如图，在 平行四边形 ABCD中， E 是 AB 边延长线上一点，连接 DE，交AC 于点 G，交 BC 于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(     ) A． 6 对 B． 5 对 C． 4 对 D． 3 对 B [中考·雅安] 如图3.4-3，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝(　　) A. B. C. D. 例2 课堂新授 答案：D 解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形的对应边成比例是解题的关键. 解：∵ ＝，∴＝. ∵ DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴ ＝＝. 课堂新授 感悟新知 2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E 在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若 AB=3，BC=4，则 = ______. 知识点 角的关系判定三角形相似定理 2 1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式： 如图3.4-4 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC ∽△DEF. 课堂新授 特别提醒 由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角(以后会学到)都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 课堂新授 3. 常见的相似三角形的类型： (1)“平行线”型：如图3.4-5 ①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. (2)“相交线”型：如图3.4-5 ②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. 课堂新授 (3)“子母”型：如图3.4-5 ③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. (4)“K”型：如图3.4-5 ④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC. 整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似. 课堂新授 如图3.4-6，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，连接AF. 求证：△ABF∽△CAF. 例3 课堂新授 感悟新知 解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似”证明. 由于∠BFA是公共角，因此只需说明∠B＝∠4即可. 证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3. ∵ AD平分∠BAC，∴∠ 1 ＝∠ 2. ∵∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， ∴∠B ＝∠ 4. ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF. 课堂新授 感悟新知 3-1. 【二模·广州越秀区】 如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 为 BC边上的点(不与点 B，点C 重合)，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F. 求证： △ CDE ∽△ AFD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AF，∠C＝∠A. ∴∠CDE＝∠F. ∴△CDE∽△AFD. 知识点 边角关系判定三角形相似定理 3 1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法. 课堂新授 2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵＝，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF. 课堂新授 如图3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP. 解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可. 例4 课堂新授 证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵ Q是CD的中点，BP＝3PC， ∴ DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴＝＝2. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP. 课堂新授 感悟新知 4-1. [ 期末·岳阳]如图，在△ ABC 中， AB=6，AC=9，点 D， E 分别在AB， AC 上， D 为 AB 的中点， CE ＝ 7. 求证： △ AED ∽△ ABC. 课堂新授 知4－讲 知识点 三边关系判定三角形相似定理 4 1. 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课堂新授 知4－讲 2. 数学表达式： 如图3.4-9 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 课堂新授 图3.4-10、图3.4-11 中小正方形的边长均为1，则图 3.4-11 中的哪一个三角形(阴影部分)与图3.4-10 中的△ABC相似？ 例 5 课堂新授 解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形三边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断. 课堂新授 解：易知AC＝，BC＝2，AB＝ . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1，，2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1，，； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为，，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2，， . ∵＝＝＝， ∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似. 课堂新授 感悟新知 5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F． 求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 感悟新知 (2)EF ⊥ AB． 证明：∵△ACB∽△DCE， ∴∠A＝∠EDC. 又∵∠E＋∠EDC＝90°， ∴∠E＋∠A＝90°. ∴∠EFA＝90°，即EF⊥AB. 相似三角形的判定 相似三角形 的判定 边、角 角角 边角边 边边边 平行线 截三角 形相似 归纳总结 证明：∵AB＝6，D为AB的中点， ∴AD＝AB＝3. ∵AC＝9，CE＝7，∴AE＝AC－CE＝9－7＝2. ∴＝＝，＝＝.∴＝. 又∵∠EAD＝∠BAC，∴△AED∽△ABC. 证明：∵＝，＝＝， ＝＝，∴＝＝. ∴△ACB∽△DCE. $$