3.3 相似图形 课件 2024-2025学年湘教版九年级数学上册

3.3 相似图形 知识点 相似图形 1 1. 定义：把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的. 课堂新授 2. 两个关系： (1)相似图形之间的关系 两个图形相似，其中一个图形可以看成由另一个图形放大或缩小得到. (2)相似与全等的关系 当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等. 课堂新授 特别解读 ◆“形状相同”是判定相似图形的唯一条件. ◆两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关. 课堂新授 [母题 教材 P75 练习 T2]下列图形不是相似图形的是( ) A. 同一底版打印出来的两张大小不同的照片 B. 将一个图案放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张同版本的中国地图 例1 课堂新授 解题秘方：紧扣“相似图形的定义”解答. 答案：C 解：用“排除法”：A，B，D 都符合相似图形的定义，因此A，B，D 都是相似图形. 故选C. 课堂新授 感悟新知 1-1. [ 期中·上海松江区 ] 下列说法中正确的有(     ) ①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 A 感悟新知 知识点 相似三角形 2 相似三角形 定义 三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形 图示 表示 “△ ABC 与△ A′ B′ C′相似”记作 “△ ABC ∽ △ A′ B′ C′” 感悟新知 相似三角形 读法 △ ABC 相似于△ A′ B′ C′ 性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似比 定义 相似三角形的对应边的比叫作相似比 特别警示： 用符号“ ∽” 表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC ∽△A′B′C′表示顶点A与A′，B与B′，C与C′分别对应.如果仅说“△ABC与△A′B′C′相似”，没有用“∽”连接，那么需要分类讨论它们之间的对应关系. 课堂新授 特别提醒 1. 相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质. 2. 相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC ∽△A″B″C″ . 3. 相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k， 那么△A′B′C′与△ABC的相似比为. 课堂新授 [母题 教材 P74 例]如图3.3-1，已知△ABC∽△ADE，∠ A＝70°，∠ B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3. (1)求△ABC与△ADE的相似比； (2)求∠AED的度数和DE的长. 例2 课堂新授 解：△ABC与△ADE的相似比为＝＝2. (1)求△ABC与△ADE的相似比； 解题秘方：紧扣“相似三角形定义中的对应角相等，对应边成比例”求解 . 课堂新授 解：∵∠A＝70°，∠B＝40°，∴∠C＝70°. ∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝ ∠C＝70°， ＝即＝，解得DE＝3. (2)求∠AED的度数和DE的长. 课堂新授 感悟新知 2-1. [ 期末·济南莱芜区 ] 如图，点 C， D 在线段 BE 上， △ ACD是 等边三角形， 且△ ACB ∽△ EDA． (1)若 BC=9， AD=6，求 BE 的长； 感悟新知 感悟新知 (2)求∠ BAE 的度数 . 解：∵△ACD 是等边三角形，∴∠ACD＝60°. ∵△ACB∽△EDA，∴∠BAC＝∠E. ∵∠B＋∠BAC＝∠ACD＝60°， ∴∠B＋∠E＝60°. ∴∠BAE＝180°－(∠B＋∠E)＝120°. 知识点 相似多边形 3 1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形. 2. 相似比的定义：相似多边形对应边的比叫作相似比. 课堂新授 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 特别解读：(1)相似多边形的定义可用来判断两个多边形是否相似. (2)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关. (3)相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数. 课堂新授 要点提醒 判定相似多边形的条件： 1. 边数相同； 2. 所有的角分别对应相等； 3. 所有的边对应成比例. 课堂新授 感悟新知 [母题 教材 P76 习题 T4 ]如图 3.3-2，把一个矩形 ABCD 划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形 ABCD 的长 AB ＝ 6， 宽 BC ＝ 4．问：每个小矩形与 原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长 AB ＝ a，宽 BC ＝ b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长 a 与宽 b 应满足的关系式． 例3 感悟新知 解题秘方：紧扣“相似多边形的定义”进行说明 . 感悟新知 解：不相似．理由如下： ∵原矩形 ABCD 的长 AB ＝ 6，宽 BC ＝ 4， ∴ 划分后小矩形的长 AD ＝ 4，宽 AE ＝ 6÷ 3 ＝ 2. 又∵ = ≠ = ，∴ 原矩形与每个小矩形的对应边不成比例 . ∴每个小矩形与原矩形不相似． (1)若原矩形 ABCD 的长 AB ＝ 6，宽 BC ＝ 4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． 感悟新知 (2)若原矩形的长 AB ＝ a，宽 BC ＝ b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长 a 与宽 b 应满足的关系式． 解：∵原矩形的长 AB ＝ a，宽 BC ＝ b， ∴ 划分后小矩形的长 AD ＝ b，宽 AE= . 又∵ 每个小矩形与原矩形相似， ∴ = . ∴=，即 a 2 ＝ 3b 2． 感悟新知 特别警示：判断两个多边形是不是相似多边形，不仅要看它们的对应角是否相等，还要看它们的对应边是否成比例，而仅靠眼睛去看容易出现错误，误认为这两个矩形相似 . 感悟新知 3-1.如图，有一块长3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板 ABCD，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm. 边框的内边 缘所围成的矩 形 ABCD 与边 框的外 边 缘所围成的矩形 EFGH 相似吗？为什么？ 感悟新知 如图3.3-3，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥ BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6， AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°. 例4 (1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k； (2)求A′B′和BC的长； (3)求∠D′的大小. 课堂新授 解题秘方：紧扣“相似多边形的性质及相似比的定义”进行计算. 课堂新授 解：k＝＝＝. (1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k； ∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知k＝， ∴＝，＝. ∵ AB＝6，B′C′＝12，∴ A′B′＝9，BC＝8. (2)求A′B′和BC的长； 课堂新授 解：由题意知，∠D′＝∠D. ∵ AD∥BC，∠C＝60°， ∴∠D＝180°－∠C＝120°. ∴∠D′＝120°. (3)求∠D′的大小. 课堂新授 感悟新知 4-1. [母题 教材 P76 习题 T2] 如图，四边形 ABCD ∽四边形 EFGH，求α ，β 的大小和 EH 的长度. 解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. ∴在四边形ABCD中，β＝360°－83°－78°－118°＝81°. ∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴EH∶AD＝EF∶AB. ∴x∶21＝24∶18，解得x＝28. ∴EH＝28 cm. 感悟新知 相似图形 相似图形 定义 相似 三角形 性质 记法 相似比 相似 多边形 定义 记法 性质 归纳总结 解：∵△ACB∽△EDA， ∴＝. ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝6. ∴＝. ∴DE＝4. ∴BE＝BC＋CD＋DE＝9＋6＋4＝19. 解：不相似．理由如下： ∵在矩形ABCD中，AB＝1.5 m，AD＝3 m，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm，即0.075 m， ∴EF＝1.5＋2×0.075＝1.65(m)， EH＝3＋2×0.075＝3.15(m)． ∴＝＝，＝＝. ∵≠，∴边框的内边缘所围成的矩形ABCD与边框的外边缘所围成的矩形EFGH不相似． $$