4.5.3 函数模型的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3 函数模型的应用 第四章 指数函数与对数函数 【学习目标】 1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画问题的变化规律. 2.能将具体的实际问题划归为函数问题,并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数等的变化差异,正确选择合适的函数模型解决实际问题,提升数学抽象、数学建模等素养. 学习目标 【重点难点】 重点：用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程． 难点：选择恰当的函数模型分析和解决实际问题． 新课引入 我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？我们将用两节课的时间继续学习函数模型的应用，这节课我们主要探究利用已知的函数模型解决实际问题． 常见基类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b (k,b为常数,k≠0); 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋ (a>0) 分段函数模型 这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛 预习自测 答案：2043 答案：B 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 【例1】 2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？（结果保留对数形式） 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址面积近630万平方米，包括古城，水坝和多处高等级建筑．良渚古城外围水利系统是迄今所知中国最早的大型水利工程，也是世界最早的水坝．它对研究中华五千年文明的起源具有重要参考价值. 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 思考1：什么是“碳14年代学检测”？ 碳14年代学检测是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常来测得古生物化石的年代．因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 建立函数模型． 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 思考2：什么是半衰期？ 我们在指数函数的概念一节的问题2中涉及过“半衰期”的问题．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 探究点一：已知函数模型解决实际问题——指数函数模型 归纳小结 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题． 变式训练 变式训练 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 【例2】 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？ 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 三种方案每天回报表 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 方案一的函数是常数函数 ， 方案二 、 方案三的函数都是增函数 ， 但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同 ． 可以看到 ， 尽管方案一 、 方案二在第 １ 天所得回报分别是方案三的100倍和25倍 ， 但它们的增长量固定不变 ， 而方案三是 “ 指数增长 ”， 其 “ 增长量 ” 是成倍增加的 ， 从第7天开始 ， 方案三比其他两个方案增长得快得多 ， 这种增长速度是方案一 、 方案二所无法企及的 ． 从每天所得回报看 ， 在第 １～３ 天 ， 方案一最多 ； 在第 ４ 天 ， 方案一和方案二一样多 ， 方案三最少 ； 在第５～８ 天 ， 方案二最多 ； 第9天开始 ， 方案三比其他两个方 案所得回报多得多 ， 到第30天 ， 所得回报已超过2亿元 ． 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 下面再看累计的回报数 ． 通过信息技术列表如下 投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，应选择方案三 探究点二：选择恰当函数模型解决实际问题 解 ： 设第x天所得回报是y元 ， 则 方案一可以用函数 y ＝40 ()进行描述 ； 方案二可以用函数 y ＝10()进行描述 ； 方案三可以用函数)进行描述 ． 三个模型中 ， 第一个是常数函数 ， 后两个都是增函数 ． 要对三个方案作出选择 ， 就要对它们的增长情况进行分析 ． 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况 变式训练 变式训练 　　 解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选 择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号 语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 总结归纳 课堂总结 利用分段函数解决实际问题的关注点 (1)分段函数的“段”一定要分的合理，做到不重不漏； (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； (3)分段函数值域的求法：逐段求出函数值的范围，最后去并集。 解答函数应用题的一般步骤： 实际问题 建立函数模型 数学结果 实际结果 $$